Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1880] Cckek2007-02-06 11:06:01

Egyszerűbben a természetes számok négyzetének a számjegyeinek az ósszege:)

Előzmény: [1881] Cckek, 2007-02-06 11:01:11
[1881] Cckek2007-02-06 11:01:11

Jelöljük \phi(a)-val az "a" szám utolsó, \pi(a)-val az "a" szám utolsó elötti számjegyét. Akkor

\phi(12)+\pi(12)=1,\phi(22)+\pi(22)=4,\phi(32)+\pi(32)=9,\phi(42)+\pi(42)=7,... Tehát a sorozat következő tagja:

\phi(92)+\pi(92)=1+8=9.

Előzmény: [1878] tim20, 2007-02-06 10:15:01
[1879] Sirpi2007-02-06 10:46:11

...9, 1, 4, 9, 16, 16, 9, 13, 19, 9, 10, 4, 9...

Egyelőre nem lőném le, annyi segítség, hogy az elejéből látszik, hogy a négyzetszámokhoz van köze a dolognak.

Előzmény: [1878] tim20, 2007-02-06 10:15:01
[1878] tim202007-02-06 10:15:01

Sziasztok!

Találtam egy feladványt, de nem jövök rá a logikájára, pedig biztosan egyszerű. Szerintetek mi lesz a következő szám ebben a számsorban: 1,4,9,7,7,9,13,10, ?

Ugye valaki tud segíteni?

[1877] Cckek2007-02-06 08:29:21

Köszi.:) Akkor igaz kell legyen a harmonikus középre is ? Az-az

\lim_{n\to \infty}\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_iy_{n+1-i}}}=\lim_{n\to \infty}x_ny_n

Előzmény: [1876] Lóczi Lajos, 2007-02-06 02:52:19
[1876] Lóczi Lajos2007-02-06 02:52:19

Ez a feladat nem más, mint apró általánosítása annak a jól ismert elemi állításnak, hogy egy konvergens sorozat limesze azonos a sorozatból képezett számtaniközép-sorozat limeszével.

Jelölje xn limeszét X, Y jelentése hasonló. Jelölje K a két sorozat abszolútértékének egy közös felső korlátját.

Nyilván azt kell igazolni, hogy

\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i y_{n+1-i}-XY\right|

nullsorozat. De ezt -- az AB-CD=A(B-D)+D(A-C) összefüggés figyelembe vételével -- nyilván felülről becsülhetjük az alábbival:

 \frac{1}{n} |Y|\sum_{i=1}^{n} |x_i-X|+ \frac{1}{n} K \sum_{i=1}^{n} |y_i-Y|.

A befejezéshez elég megmutatni, hogy ezek nullsorozatok. Nyilván elég azt belátni, hogy ha xn\toX, akkor  \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i-X| \to 0.

Rögzítsünk egy \varepsilon>0 számot, és legyen N(\varepsilon) az a küszöbindex, melyre minden n>N(\varepsilon) esetén |xn-X|<\varepsilon. Legyen n>N(\varepsilon). Ekkor

 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |x_i-X| \le \frac{(K+|X|) N(\varepsilon)+\varepsilon\cdot n}{n}\le 2\varepsilon,

ha n elég nagy.

Előzmény: [1874] Cckek, 2007-02-05 17:27:15
[1875] pogre2007-02-05 17:41:49

nah én tök béna vok a matekhoz tehát ne nevessetek ki a feladatommal!!! A sugarak intenzitása exponenciálisan csökken anyagokba való behatoláskor! 6mm mélységben az intenzitás az eredeti 10 százalékára csökken csökken!

a) Írj fel formulát az intenzitás csökkenésére b)mekkora lesz az intenzitás 2mm mélységben

[1874] Cckek2007-02-05 17:27:15

lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_{n+1-i}=lim_{n\to \infty}x_ny_n

Előzmény: [1872] Cckek, 2007-02-05 16:59:26
[1873] Sirpi2007-02-05 17:21:37

Valami itt nem jó... Ha pl. xi=yi\equiv1, akkor jobb oldal 1, a bal pedig \infty.

Előzmény: [1872] Cckek, 2007-02-05 16:59:26
[1872] Cckek2007-02-05 16:59:26

Találkoztam egy nagyon érdekes feladattal, persze nem tudom megoldani:(

Legyenek xn, yn konvergens sorozatok. Bizonyítsuk be, hogy

lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n{x_iy_{n+1-i}}=lim_{n\to \infty}{x_ny_n}

[1871] Mhari2007-02-05 15:44:28

Sziasztok!

Köszönöm Nektek - Lóczi Lajos és Cckek - a gyors megoldást,tetszik mindkettőtöké, de a lelkivilágomhoz mégis Cckek-é áll közelebb, az olyan "hagyományos", rendezgetős, számolgatós. Én próbálkoztam mindennel, ami a fejemből kifért, de erre az egyszerű dologra nem is mertem gondolni, hogy a 4xy így bontsam fel. Hát hiába, aki tud, az tud. Üdv: Attila

[1870] Cckek2007-02-05 05:10:02

A legegyszerűbb talán ha a baloldali kifejezést tényezőkre bontjuk:

3x2+4xy+y2=3x2+3xy+xy+y2=3x(x+y)+y(x+y)=(3x+y)(x+y).

Mivel p prímszám ezért csak a következőképpen írható fel egész számok szorzataként:

1.p, p.1, (-1).(-p), (-p).(-1).

Tehát négy egyenletrendszert kell megoldanunk:

3x+y=1,x+y=p vagy 3x+y=p,x+y=1, 3x+y=-1,x+y=-p vagy 3x+y=-p,x+y=-1, ahonnan kapjuk a megoldáspárokat:

(x,y)\in\left \{ (\frac{1-p}{2},\frac{3p-1}{2}),(\frac{p-1}{2},\frac{3-p}{2})(\frac{p-1}{2},\frac{1-3p}{2})(\frac{1-p}{2},\frac{p-3}{2})\right \}.

Előzmény: [1867] Mhari, 2007-02-04 20:28:38
[1869] Lóczi Lajos2007-02-04 21:17:47

A megoldás:

Fejezzük ki a 3x2+4xy+y2=p egyenletből y-t a másodfokú egyenlet megoldóképletével. A gyökjel alatt x2+p áll, melynek nyilván teljes négyzetnek kell lennie, tehát valamely t egész számmal x2+p=t2. Itt p-re rendezve és faktorizálva kapjuk, hogy

1. t-x=1 és t+x=p

vagy

2. t-x=-1 és t+x=-p

3. t-x=p és t+x=1

4. t-x=-p és t+x=-1, amivel megoldottuk a kérdést.

Előzmény: [1868] Lóczi Lajos, 2007-02-04 20:58:25
[1868] Lóczi Lajos2007-02-04 20:58:25

Talán segít, ha látjuk, mit keresünk. Legyen p adott páratlan pozitív prím, x és y egészek. Ekkor az állítás az, hogy a 3x2+4xy+y2=p egyenlet (x,y) megoldásai \pm \left(\frac{p-1}{2},\frac{3-p}{2}\right) és \pm \left(\frac{p-1}{2},\frac{1-3p}{2}\right).

Előzmény: [1867] Mhari, 2007-02-04 20:28:38
[1867] Mhari2007-02-04 20:28:38

Sziasztok! ...hát gyerekek, én csak ámulok és bámulok a sok rajzszög láttán, de nekem sokkal prózaibb gondom van már megint. Ahogy elnézlek benneteket, az én problémám nem is probléma (csak nekem). Szóval a probléma: 3*x*x+4*x*y+y*y=p Ahol x,y egészek, p pedig prím szám. Mi a megoldás?

Van ennek egy édestestvére, x*y*y+2*x*y+x-243*y=0 ahol x,y pozitív természetes szám, de azt simán meg lehet oldani, nehézség nélkül.(Még nekem is sikerült!)

De az elsővel sehogyan sem boldogulok. Próbáltam megoldani, mint felületet, még ábrázoltam is a Derive-val, jól is nézett ki, de nem sokra mentem vele. (Megjegyzem tudom a megoldást, 4 pár van belőle, de megoldani nem tudom.) Ha valaki tud, segítsen megoldani!

Üdv: Attila

[1866] jonas2007-02-02 15:02:52

Pontosan.

Továbbá az olcsóbb rajzszögeknél a tűt a fej lemezéből vágják ki és hajlítják ki, tehát ilyenkor a körlapból hiányzik egy szakasz, ami ugyanonnan indul, mint ahonnan a tű. Ilyen rajzszögekből is elfér kontinuum sok.

Előzmény: [1865] Sirpi, 2007-02-02 13:36:53
[1865] Sirpi2007-02-02 13:36:53

Ha a tű nem indulhat kerületi pontból, akkor ez nem jelent általánosítást, hiszen minden rajzszög feje nyeshető úgy, hogy a tű a középpontból induljon.

Ha meg indulhat kerületi pontból (de továbbra sem lehet a fej síkjában), akkor simán el lehet kontinuum sokat helyezni.

Előzmény: [1864] Csimby, 2007-02-02 10:38:55
[1864] Csimby2007-02-02 10:38:55

A hétvégén áttanulmányozom amiket írtál, csak most vizsgáztam és nem volt rá időm. Amúgy még egy általánosítási lehetőség, ha a tű nem a fej középpontjából indul.

Előzmény: [1863] jonas, 2007-02-01 21:22:08
[1863] jonas2007-02-01 21:22:08

No, a rajzszögeket ábrázoló képekből mindjárt összegyűlik a kiállítás anyaga.

Előzmény: [1861] jonas, 2007-02-01 21:11:53
[1862] jonas2007-02-01 21:16:38

Ha ez működik így, akkor a gombás vagy T betűs ennek speciális esete. Sőt, a szállodásnak is, hiszen minden ember lenyelhet egy rajzszöget. Csak a nyolcasos feladatra nem ad semmit.

Előzmény: [1861] jonas, 2007-02-01 21:11:53
[1861] jonas2007-02-01 21:11:53

Még egy ábra a bizonyítás második feléhez: a kék vonal (valójában gúla) fölé nem nyúlhat másik rajzszög, ezért ahol a kék és a piros vonal metszi egymást, a fölé nem érhet az adott rajzszög alatti másik rajzszög közepe.

(Megjegyzem, nem feltétlenül van egy rajzszög alatti következő rajzszög, a rajzszögek fölfele torlódhatnak.)

Előzmény: [1860] jonas, 2007-02-01 21:02:26
[1860] jonas2007-02-01 21:02:26

Akkor most a változatosság kedvéért én próbálok meg egy bizonyítást a rajzszögesre (307. feladat).

Azt látom be, hogy megszámlálható soknál nem lehet több rajzszög. Tegyük fel ennek ellenkezőjét.

Először vegyünk egy olyan egyenes irányt, amivel megszámlálhatónál több rajzszög feje nem párhuzamos. Ilyen irány biztosan van: három páronként merőleges irány közül legalább az egyik biztosan ilyen.

Irányítsuk az összes fejet a szerint, hogy a kiválasztott irány mindegyiknek ugyanarra az oldalára mutasson. Két részre oszthatjuk a rajzszögeket a szerint, hogy a fejnek az előbbi irányítás szerint melyik oldalára áll ki a tűje. Vegyük a kettő közül csak a nagyobb csoportot.

Most vetítsük a rajzszögek fejét a kiválasztott irányban egy merőleges síkra -- kivéve azokat a rajzszögeket, amik párhuzamosak az iránnyal, tehát a vetületük lapos lenne. Vegyünk a síkon egy koordináta-rendszert, és vágjuk le az összes fejet olyan paralelogrammává, aminek ez a vetülete egy racionális koordinátájú téglalap, de azért a tű továbbra is a fej belsejéből induljon ki. Ilyen racionális koordinátájú vetületből csak megszámlálható sok van, tehát van megszámlálhatónál több olyan fej, aminek azonos a vetülete. (Lásd az ábrát.)

Vágjuk még le a rajzszögek tűit úgy, hogy ne lógjon ki a vetületük a fejek vetületéből.

Mármost nézzük a fejek közepét (ahol a piros egyenes metszi őket). Könnyen látható, hogy ha van egy rajzszögünk, akkor ehhez a tű irányában nem lehet akármilyen közel másik rajzszög, mert az nem metszheti sem a tűt, sem a fejet. Valójában ha a tű vége a vetítés irányában bizonyos távolságra van a fejtől, akkor a fej közepe a következő rajzszögek közepétől legalább fele ekkora távolságra van.

Ezért aztán mindegyik rajzszög közepétől a tűk irányában van egy pozitív hosszúságú szakasz, amin nincs másik rajzszög közepe. Ezen a szakaszon vehetünk egy racionális pontot, ezek mind különböznek, tehát csak megszámlálhatóan sok rajzszögünk lehet.

Előzmény: [1842] Csimby, 2007-01-31 12:23:56
[1859] Lacczyka2007-01-31 19:55:54

Az okfejtésed számomra teljesen jónak tűnik. Gratulálok.

Előzmény: [1857] HoA, 2007-01-31 16:38:22
[1858] Lóczi Lajos2007-01-31 19:27:30

Ha nem mértékelmélettel fogalakozó könyvet nézel, a Baire-tétel nem a végén lesz. A "Baire category theorem"-re rákeresve meg a neten a bizonyítást is könnyűszerrel felleled.

Előzmény: [1854] jonas, 2007-01-31 15:08:11
[1857] HoA2007-01-31 16:38:22

Azt hiszem jó nyomon járok, ezek nálam is speciális esetek: Hogyan lehet egy biztos halálraitélt szavazatával éppen megúszni?

Ha a kalózhajót egy olyan rendszernek tekintjük, melynek állapotait a kalózok száma szerint A1,A2,..- vel jelöljük, akkor A2-től A204-ig bezárólag A203 az egyetlen instabil állapot: az ajánlattevőt vízbe dobják és A202 lép életbe. Jelöljük a kalózokat a sor végéről számolva K1,K2,...-vel. A204 azért is érdekes állapot, mert itt először nem egyértelmű, ki kap az aranyból. K204 számára az A202-es állapot 102 vesztese közül bármelyik 100 megfelel. Ezekkel, valamint a saját és a halálraítélt K203 szavazatával megvan az 50%-a. A kisebb indexű állapotokban mindig a megelőző állapot veszteseinek kellett adni, hiszen ha valaki csak ugyanannyit kap , mint a kalóz vízbedobása esetén biztosan, akkor a 3) szabály szerint ellenszavazóvá válik. Ha a szabályok pontosak, ez szerintem azt eredményezi, hogy a következő stabil állapotban (A208) - és a nagyobb indexűekben is - az osztó saját magán (K208) és a három "halálraítélten" (K205,K206,K207) kívül bármelyik 100-nak adhat 1-1 aranyat, hiszen A202 nyertesei ( = A204 biztos vesztesei ) valamint K203 és K204 biztosan jobban járnak vele, mint A204-ben; ha pedig A202 egyik vesztese kap, nem lép be a 3) szabály, hiszen ő nem lehet biztos benne, hogy K204 adna-e neki, a biztos esemény áll szemben egy kb. 98%-os valószínűséggel.

Itt abba is hagyom. Nyilván a feladatot már kielemezték, csak azt jelezd, ha valahol tévedek.

Előzmény: [1840] Lacczyka, 2007-01-30 21:50:22

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]