Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1893] Cckek2007-02-14 19:51:20

Ez a feladat túl szép ahoz, hogy megoldatlanul maradjon:

a1\in(0,1) Ha ak\in(0,1) akkor ak+1=ak2(ak-1)+1, de -1<ak-1<0 tehát 1-ak2<ak2(ak-1)+1<1 az-az ak+1\in(0,1). A matematikai indukció elve szerint an\in(0,1),\foralln\inN.

an+1-an=an3-an2-an+1=(an-1)2(an+1)>0 tehát an növekvő. Legyen an határértéke l. Ekkor l=l3-l2+1,l\in[0,1] tehát l=1. Tehát létezik egy bn csökkenő sorozat, bn\to0 úgy hogy an=1-bn. Írhatjuk:

1-bn+1=(1-bn)3-(1-bn)2+1\impliesbn+1=bn(1-bn)2 ezért

\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=(1-b_{n})^{2}

ahonnan tagonként felírva majd összeszorozva kapjuk, hogy

\frac{b_{n+1}}{b_{1}}=(1-b_{1})^{2}(1-b_{2})^{2}\cdots (1-b_{n})^{2} ahonnan (1-b_{1})(1-b_{2})\cdots (1-b_{n})=\sqrt{\frac{b_{n+1}}{b_{1}}}.

Tehát

\lim_{n \to \infty}\left( a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}\right)=\lim_{n \to \infty}(1-b_{1})(1-b_{2})\cdots (1-b_{n})=\lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{b_{n+1}}{b_{1}}}=0

Előzmény: [1890] Cckek, 2007-02-10 12:44:33
[1892] jonas2007-02-12 18:03:59

A feladatot nem találtam meg, de az állítást a Járai-könyvben igen (162. oldal).

Ez azt állítja, hogy a racionális számok halmaza nem áll elő megszámlálhatóan sok nyílt halmaz metszeteként.

Előzmény: [1854] jonas, 2007-01-31 15:08:11
[1891] HoA2007-02-10 16:32:44

Mint matektanárunk szokta mondani, az eredmény közlése nem egyenlő a feladat megoldásával. Ha valakinek kell egy kis segítség az ilyen típusú feladatok megoldásához, hát lássuk: 1. megközelítés. Ki mond igazat?

I: Az első ajtó mond igazat -> a nyeremény a 2. mögött van -> a 2. is igazat mond -> ellentmondás azzal, hogy csak egy mond igazat

II: a második ajtó mond igazat -> mivel csak egy ajtó mond igazat, az 1. ajtó hazudik -> a 3. is igazat mond -> ellentmondás azzal, hogy csak egy mond igazat

III. a harmadik ajtó mond igazat -> mivel csak egy ajtó mond igazat, az 2. ajtó hazudik -> a nyeremény a 3. mögött van -> az 1. hazudik -> JÓ MEGOLDÁS

2. megközelítés: Hol a nyeremény?

I: Az első ajtó mögött -> 1. hazudik, 2. igazat mond, 3. igazat mond -> két igazmodó: ellentmondás

II: A második ajtó mögött -> 1. igazat mond, 2. igazat mond -> két igazmodó: ellentmondás

III: A harmadik ajtó mögött -> 1. hazudik, 2. hazudik, 3. igazat mond -> JÓ MEGOLDÁS

Előzmény: [1889] Anum, 2007-02-10 11:00:54
[1890] Cckek2007-02-10 12:44:33

Az \{a_n\}_{n\ge1} sorozat a következőképpen adott:

a1\in(0,1), an+1=an3-an2+1.

Számítsuk ki a következő határértéket:

\lim_{n\to \infty}a_1\cdot a_2\cdot...\cdot a_n.

[1889] Anum2007-02-10 11:00:54

a 3-as mögött.

Előzmény: [1888] tim20, 2007-02-10 10:28:37
[1888] tim202007-02-10 10:28:37

Sziasztok!

3 ajtó közül az egyik mögött nyeremény rejtőzik. Ám az ajtók közül csak az egyik mond igazat. Melyik ajtó mögött találod a nyerményed? 1.ajtó: "A 2-es mögött van." 2.ajtó: "Nem a 3-as mögött van." 3.ajtó: "Az 1-es hazudik!"

Lehetőségek:

1. ajtó 2. ajtó 3. ajtó nem lehet meghatározni, hogy melyik mögött van egyik mögött sincs

[1887] Cckek2007-02-06 17:33:44

Valóban szép interpolációs polinom, akkor az ajánlom szerkesszük meg trigonometrikus interpolaciós polinomját is, úgy hogy 1,2,3,...,8 helyeken a polinom ezeket az értékeket vegye fel:)

Előzmény: [1886] HoA, 2007-02-06 16:48:13
[1886] HoA2007-02-06 16:48:13

Igazán díjazom a humorotokat, de azért ne hülyítsük az ifjúságot! LócziLajos rámutatott, hogy tetszőleges y1,y2,...,yk racionális értékekhez megadható olyan, legfeljebb k-1 -edfokú racionális együtthatós polinom, mely az 1,2, ... , k helyeken éppen az adott értékeket veszi fel ( vagy máshol, ld. második példa ) Ekkor persze mondhatjuk, hogy megvan a "szabály" , a sorozat folytatása a polinom következő egész helyeken felvett értéke.

Bohner Géza ötlete még keményebb, tkp. azt mondja, bármi megfelel, aminek az eleje megegyezik a megadottakkal. Mondjuk az adott számok Hófehérke és a hét törpe születésnapjának "nap" részei, és a következő szám a királyfi szülinapjának "nap"-ja. (Hogy ezeket honnan tudjuk, az más kérdés :-))

Félretéve a tréfát, nem mindig olyan egyértelmű rájönni az "igazi" szabályra, vagyis arra, amire a feladat kitűzője gondolt. Nekem már jött ki IQ-teszt -szerű feladatokban más "következő száma a sorozatnak" mint ami a megoldások között szerepelt, pedig igyekeztem a feladatkitűzők matematikai szintjére "emelkedni".

Előzmény: [1884] BohnerGéza, 2007-02-06 12:42:04
[1885] tim202007-02-06 13:13:02

És így is az jön ki igaz , hogy a következő szám a számsorozatban a 9-es lesz?

Előzmény: [1884] BohnerGéza, 2007-02-06 12:42:04
[1884] BohnerGéza2007-02-06 12:42:04

Még az előző hozzászólásénál is egyszerűbb szabály!

Legyen a sorozat első nyolc tagja 1,4,9,7,7,9,13,10, majd a többi tetszőleges, például 77, 77, 77, ...

Azért a feladat feladója valószínűleg Cckek [1881]-ben adott válaszára gondolt!

Előzmény: [1878] tim20, 2007-02-06 10:15:01
[1883] Lóczi Lajos2007-02-06 12:12:31

Inkább nekem higgyél! "Négyzetszámok", meg "számjegyek összege" ... brrr, de bonyolult. Vegyük csak az egyszerű racionális számokat és a polinomokat, hiszen már az ókoriak is...

1. Nézzük a

p(x)=144 - \frac{48141x}{140} + \frac{12351x^2}{40} - 
  \frac{687x^3}{5} + \frac{271x^4}{8} - 
  \frac{189x^5}{40} + \frac{7x^6}{20} - 
  \frac{3x^7}{280}

polinomot. Itt p(1)=1,p(2)=4,p(3)=9,...,p(8)=10. A 9. tag tehát -99 lesz, mert p(9)=-99.

Csak ez a megoldás lehet jó! Kipróbáltam ugyanis: vettem egy másik polinomot, mondjuk:

q(x)=1 - \frac{1723x}{140} + \frac{72x^2}{5} - 
  \frac{1701x^3}{320} + \frac{121x^4}{128} - 
  \frac{57x^5}{640} + \frac{11x^6}{2560} - 
  \frac{3x^7}{35840}.

Nocsak! Páros helyeken tökéletes az egyezés: q(0)=1,q(2)=4,q(4)=9,...,q(14)=10. Mivel 14+2=16 és q(16)=-99, a sorozat 9. helyén álló szám tényleg a -99.

:-)

Előzmény: [1878] tim20, 2007-02-06 10:15:01
[1882] Lóczi Lajos2007-02-06 11:24:55

Igen, érdemes lenne megvizsgálni, hogy igaz-e: problémát az okozhat, ha valamelyik sorozat nullához tart.

Előzmény: [1877] Cckek, 2007-02-06 08:29:21
[1880] Cckek2007-02-06 11:06:01

Egyszerűbben a természetes számok négyzetének a számjegyeinek az ósszege:)

Előzmény: [1881] Cckek, 2007-02-06 11:01:11
[1881] Cckek2007-02-06 11:01:11

Jelöljük \phi(a)-val az "a" szám utolsó, \pi(a)-val az "a" szám utolsó elötti számjegyét. Akkor

\phi(12)+\pi(12)=1,\phi(22)+\pi(22)=4,\phi(32)+\pi(32)=9,\phi(42)+\pi(42)=7,... Tehát a sorozat következő tagja:

\phi(92)+\pi(92)=1+8=9.

Előzmény: [1878] tim20, 2007-02-06 10:15:01
[1879] Sirpi2007-02-06 10:46:11

...9, 1, 4, 9, 16, 16, 9, 13, 19, 9, 10, 4, 9...

Egyelőre nem lőném le, annyi segítség, hogy az elejéből látszik, hogy a négyzetszámokhoz van köze a dolognak.

Előzmény: [1878] tim20, 2007-02-06 10:15:01
[1878] tim202007-02-06 10:15:01

Sziasztok!

Találtam egy feladványt, de nem jövök rá a logikájára, pedig biztosan egyszerű. Szerintetek mi lesz a következő szám ebben a számsorban: 1,4,9,7,7,9,13,10, ?

Ugye valaki tud segíteni?

[1877] Cckek2007-02-06 08:29:21

Köszi.:) Akkor igaz kell legyen a harmonikus középre is ? Az-az

\lim_{n\to \infty}\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_iy_{n+1-i}}}=\lim_{n\to \infty}x_ny_n

Előzmény: [1876] Lóczi Lajos, 2007-02-06 02:52:19
[1876] Lóczi Lajos2007-02-06 02:52:19

Ez a feladat nem más, mint apró általánosítása annak a jól ismert elemi állításnak, hogy egy konvergens sorozat limesze azonos a sorozatból képezett számtaniközép-sorozat limeszével.

Jelölje xn limeszét X, Y jelentése hasonló. Jelölje K a két sorozat abszolútértékének egy közös felső korlátját.

Nyilván azt kell igazolni, hogy

\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i y_{n+1-i}-XY\right|

nullsorozat. De ezt -- az AB-CD=A(B-D)+D(A-C) összefüggés figyelembe vételével -- nyilván felülről becsülhetjük az alábbival:

 \frac{1}{n} |Y|\sum_{i=1}^{n} |x_i-X|+ \frac{1}{n} K \sum_{i=1}^{n} |y_i-Y|.

A befejezéshez elég megmutatni, hogy ezek nullsorozatok. Nyilván elég azt belátni, hogy ha xn\toX, akkor  \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i-X| \to 0.

Rögzítsünk egy \varepsilon>0 számot, és legyen N(\varepsilon) az a küszöbindex, melyre minden n>N(\varepsilon) esetén |xn-X|<\varepsilon. Legyen n>N(\varepsilon). Ekkor

 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |x_i-X| \le \frac{(K+|X|) N(\varepsilon)+\varepsilon\cdot n}{n}\le 2\varepsilon,

ha n elég nagy.

Előzmény: [1874] Cckek, 2007-02-05 17:27:15
[1875] pogre2007-02-05 17:41:49

nah én tök béna vok a matekhoz tehát ne nevessetek ki a feladatommal!!! A sugarak intenzitása exponenciálisan csökken anyagokba való behatoláskor! 6mm mélységben az intenzitás az eredeti 10 százalékára csökken csökken!

a) Írj fel formulát az intenzitás csökkenésére b)mekkora lesz az intenzitás 2mm mélységben

[1874] Cckek2007-02-05 17:27:15

lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_{n+1-i}=lim_{n\to \infty}x_ny_n

Előzmény: [1872] Cckek, 2007-02-05 16:59:26
[1873] Sirpi2007-02-05 17:21:37

Valami itt nem jó... Ha pl. xi=yi\equiv1, akkor jobb oldal 1, a bal pedig \infty.

Előzmény: [1872] Cckek, 2007-02-05 16:59:26
[1872] Cckek2007-02-05 16:59:26

Találkoztam egy nagyon érdekes feladattal, persze nem tudom megoldani:(

Legyenek xn, yn konvergens sorozatok. Bizonyítsuk be, hogy

lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n{x_iy_{n+1-i}}=lim_{n\to \infty}{x_ny_n}

[1871] Mhari2007-02-05 15:44:28

Sziasztok!

Köszönöm Nektek - Lóczi Lajos és Cckek - a gyors megoldást,tetszik mindkettőtöké, de a lelkivilágomhoz mégis Cckek-é áll közelebb, az olyan "hagyományos", rendezgetős, számolgatós. Én próbálkoztam mindennel, ami a fejemből kifért, de erre az egyszerű dologra nem is mertem gondolni, hogy a 4xy így bontsam fel. Hát hiába, aki tud, az tud. Üdv: Attila

[1870] Cckek2007-02-05 05:10:02

A legegyszerűbb talán ha a baloldali kifejezést tényezőkre bontjuk:

3x2+4xy+y2=3x2+3xy+xy+y2=3x(x+y)+y(x+y)=(3x+y)(x+y).

Mivel p prímszám ezért csak a következőképpen írható fel egész számok szorzataként:

1.p, p.1, (-1).(-p), (-p).(-1).

Tehát négy egyenletrendszert kell megoldanunk:

3x+y=1,x+y=p vagy 3x+y=p,x+y=1, 3x+y=-1,x+y=-p vagy 3x+y=-p,x+y=-1, ahonnan kapjuk a megoldáspárokat:

(x,y)\in\left \{ (\frac{1-p}{2},\frac{3p-1}{2}),(\frac{p-1}{2},\frac{3-p}{2})(\frac{p-1}{2},\frac{1-3p}{2})(\frac{1-p}{2},\frac{p-3}{2})\right \}.

Előzmény: [1867] Mhari, 2007-02-04 20:28:38
[1869] Lóczi Lajos2007-02-04 21:17:47

A megoldás:

Fejezzük ki a 3x2+4xy+y2=p egyenletből y-t a másodfokú egyenlet megoldóképletével. A gyökjel alatt x2+p áll, melynek nyilván teljes négyzetnek kell lennie, tehát valamely t egész számmal x2+p=t2. Itt p-re rendezve és faktorizálva kapjuk, hogy

1. t-x=1 és t+x=p

vagy

2. t-x=-1 és t+x=-p

3. t-x=p és t+x=1

4. t-x=-p és t+x=-1, amivel megoldottuk a kérdést.

Előzmény: [1868] Lóczi Lajos, 2007-02-04 20:58:25

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]