Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1937] S.Ákos2007-03-07 20:07:40

Nem tudom, szerintem nem jó. Például n=1-re \frac12et ad, ami az intervallumok számának egész volta miatt lehetetlen.

Előzmény: [1932] Cckek, 2007-03-01 23:37:51
[1936] lorantfy2007-03-07 10:06:58

Bocs elírtam! (Zöld könyv 3676. példa)

Előzmény: [1935] Sirpi, 2007-03-07 08:01:09
[1935] Sirpi2007-03-07 08:01:09

Mármint -2 :-)

Előzmény: [1934] lorantfy, 2007-03-06 22:24:30
[1934] lorantfy2007-03-06 22:24:30

Egy feladat a Zöld könyvből:

[1933] Doom2007-03-06 07:29:59

Legutóbb rossz helyre tettem, remélem itt már jó...

Egy 'a' oldalú szabályos háromszög minden csúcsában 1-1 kutya áll (A, B és C), majd egyszerre elkezdenek futni egymás felé azonos sebességgel: A B felé, B C felé és C pedig A irányában. Mennyi idő múlva találkoznak?

Segítségként egy "sejtés": egy furcsa "spirál-alakot" megtéve a háromszög középpontjában fognak találkozni, mégpedig egyszerre.

[1932] Cckek2007-03-01 23:37:51

Így sem érthető teljesen, és nem is tudom, hogyan lehetne ezt helyesen megfogalmazni, de abban az esetben ha n=ab, amit egy egyenlőtlenség helytelen alkalmazásával kapunk!!

\sum_{i=1}^{n}\left\{\frac{d(i)}{2}\right\}, jön ki, ahol {x} az x\inR törtrészét jelöli. Erre gondoltál??

Előzmény: [1930] S.Ákos, 2007-02-28 16:02:40
[1931] S.Ákos2007-02-28 16:05:14

függetlenül

Előzmény: [1930] S.Ákos, 2007-02-28 16:02:40
[1930] S.Ákos2007-02-28 16:02:40

Elnézést kérek az érthetelenségért és a lassú reagálásért

1) n\inZ+

2) az ai-k [a,b] intervallum beli valós számok, és föggetlenül választásuktól reciprokösszegük is [a,b]-beli valós szám lesz

3) ha n db valós számot választasz ki, lehetséges, hogy lesz több olyan [a,b] intervallum, amelyre teljesül 2), \varepsilon(n) ezek számát jelöli egy adott n-hez

És a feladat helyesen: Határozzuk meg \sum_{i=1}^n\varepsilon(i)-\bigg[\frac{d(i)}2\bigg] pontos értékét!-Remélem, így érthetőbb

Előzmény: [1922] jenei.attila, 2007-02-26 20:16:10
[1929] Cckek2007-02-26 23:25:53

Gyönyörű okfejtés. Álltalánosan az adott feltételek mellett:

\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k^\alpha}{n^{\alpha+1}}\right)=\frac{1}{\alpha+1}f'_j(0),\alpha\in N^*

Előzmény: [1925] nadorp, 2007-02-26 21:39:15
[1928] nadorp2007-02-26 22:14:22

És csak a teljesség kedvéért, legyen az eredeti feladatban f(x)=1-\sqrt{1+x}

Előzmény: [1925] nadorp, 2007-02-26 21:39:15
[1927] Lóczi Lajos2007-02-26 22:08:48

j, mint jobbderivált

Előzmény: [1926] jenei.attila, 2007-02-26 21:57:16
[1926] jenei.attila2007-02-26 21:57:16

Én csak azt nem értem, hogy mit jelöl a j index.

Előzmény: [1923] Cckek, 2007-02-26 20:25:22
[1925] nadorp2007-02-26 21:39:15

Szia Cckek !

Kicsit gyorsan reagáltál :-), de azért egy heurisztikát én is vázolnék ( nem bizonyítás, de szerintem befejezhető, a Te megoldásod viszont teljesen korrekt)

Legyen g(x)=\frac1{x^2}\int_0^xf(t)dt (x>0). Ekkor

\lim_{x\to0}{g(x)}= \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{2x}=\frac12f^{'}(0). Tehát

\lim_{n\to\infty}n^2\int_0^{\frac1n}f(t)dt=\frac12f^{'}(0). A kérdéses szumma éppen a balodalnak egy integrálközelítő összege.

Előzmény: [1923] Cckek, 2007-02-26 20:25:22
[1924] Cckek2007-02-26 20:28:06

Ne feledjük, hogy f(0)=0:))

Előzmény: [1923] Cckek, 2007-02-26 20:25:22
[1923] Cckek2007-02-26 20:25:22

A jobboldali derivált értelmezéséből:

\forall \epsilon>0, \exists n_{\epsilon} úgy, hogy minden n\ge n_{\epsilon} esetén

f'_j(0)-\epsilon<\frac{f\left(\frac{k}{n^2}\right)}{\left(\frac{k}{n^2}\right)}<f'_j(0)+\epsilon.

Összegezve kapjuk, hogy:

\frac{n(n+1)}{2}\frac{f'_j(0)-\epsilon}{n^2}<\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n^2}\right)<\frac{n(n+1)}{2}\frac{f'_j(0)+\epsilon}{n^2}

Előzmény: [1920] Lóczi Lajos, 2007-02-26 19:31:12
[1922] jenei.attila2007-02-26 20:16:10

Ákos ne haragudj, de ez teljesen értelmetlen amit írsz. Próbáld meg légyszíves világosabban megfogalmazni. Pl. Mi az n, mi köze a reciprok összegnek az az ai-khez rendelt valós számokhoz (talán az ai-k maguk [a,b] intervallumbeli valós számok? Egyáltalán mik az ai-k)és mit jelent a "jelölje az n-hez tartozó intervallumok számát \varepsilon(n)" mondat?

Előzmény: [1918] S.Ákos, 2007-02-25 19:24:35
[1921] Lóczi Lajos2007-02-26 19:36:56

Nekem is hasonló jellegű az érvelésem a feladatra (csak kikerültem az exponenciális függvényt és végig logaritmusokkal számoltam).

Előzmény: [1915] Cckek, 2007-02-24 10:29:37
[1920] Lóczi Lajos2007-02-26 19:31:12

Kíváncsi lennék ennek az állításnak a bizonyítására. Tudnál mondani hozzá valamit?

Előzmény: [1917] Cckek, 2007-02-24 21:53:16
[1919] Sirpi2007-02-25 23:58:52

Lehet hogy bennem van a hiba, de vesszek meg, ha ebből ezen a kései órán egy kukkot is értek :-)

Előzmény: [1918] S.Ákos, 2007-02-25 19:24:35
[1918] S.Ákos2007-02-25 19:24:35

Legyen adott egy [a;b] intervallum, ahol a;b\inZ+ és a\leb. Tudjuk, hogy ha az a1;a2;...;an számokhoz 1-1 [a;b]-ben levő valós számot rendelünk, akkor \sum_{i=1}^n \frac1a_i\in[a;b] teljesül. Jelölje az n-hez tartozó intervallumok számát \varepsilon(n)! Határozzuk meg \sum_{i=1}^n \varepsilon(i)-d(i) értékét. (d(k) k osztóinak számát jelöli)

(A feladatötletet egy régebben megjelent gyakorlófeladatsor egyik feladata adta.)

[1917] Cckek2007-02-24 21:53:16

Ami persze bizonyítandó. A 0-ban a jobboldali derivált létezése is elégséges.

Előzmény: [1916] Cckek, 2007-02-24 11:31:57
[1916] Cckek2007-02-24 11:31:57

Amúgy ez álltalánosítható. Ha f:I\toR folytonos, 0-ban differenciálható függvény, f(0)=0, akkor \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n^2}\right)=\frac12f'(0)

Előzmény: [1913] Lóczi Lajos, 2007-02-23 11:46:57
[1915] Cckek2007-02-24 10:29:37

Az e^y>\frac{16(1-y)}{(2-y)^4} egyenlőtlenség igazolása: Legyen

f:(0,1)\toR, f(y)=y-ln (1-y)+4ln (2-y).

f'(y)=1+\frac{1}{1-y}-\frac{4}{2-y}=\frac{y^2}{(1-y)(2-y)}> 0, tehát a függvény szigoruan nő, így

f(x)>\lim_{x \to 0}f(x)=\ln16, tehát

y-ln (1-y)+4ln (2-y)>ln 16 az-az

y>\ln\frac{16(1-y)}{(2-y)^4}.

Előzmény: [1911] Cckek, 2007-02-22 21:43:46
[1914] Lóczi Lajos2007-02-23 11:51:48

Bocsánat, sorfejTést akartam írni persze :-)

Előzmény: [1913] Lóczi Lajos, 2007-02-23 11:46:57
[1913] Lóczi Lajos2007-02-23 11:46:57

Jól ismert a binomiális sorfejésbo"l, hogy vannak olyan c1,c2 pozitív állandók, hogy minden, elég kis abszolút értéku" x esetén fennáll az

1+x/2-c_1 x^2\le \sqrt{1+x} \le 1+x/2+c_2 x^2

egyenlo"tlenség; egyébként pl. c1=c2=1 megfelelo" az |x|\le1 halmazon.

Ebbo"l a közrefogási elvvel és az

n-\sum_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{2n^2}+c\frac{k^2}{n^4}\right)=
-\frac{(n+1)(2c+4cn+3n^2)}{12n^3}\to -\frac{1}{4}

(n\to\infty) határértéket felhasználva adódik, hogy a keresett limesz értéke -1/4.

Előzmény: [1908] Cckek, 2007-02-22 15:09:59

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]