Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1944] Fálesz Mihály2007-03-13 13:43:26

A zeta-függvény szorzat alakjából és néhány ismert értékéből kijön.

\zeta(s)=\prod_p\frac1{1-\frac1{p^s}} ~~~~ ({\rm re}~s>1)

.

\prod_p\left(1-\frac1{p^2}\right)=\frac1{\zeta(2)}=\frac6{\pi^2},

\prod_p\left(1-\frac1{p^4}\right)=\frac1{\zeta(4)}=\frac{90}{\pi^4},


\prod_p\frac{p^2+1}{p^2-1}=
\prod_p\frac{1-\frac1{p^4}}{\big(1-\frac1{p^2}\big)^2}
=\frac{90/\pi^4}{(6/\pi^2)^2}=\frac52.

Előzmény: [1941] Lóczi Lajos, 2007-03-10 18:10:09
[1943] Csimby2007-03-11 13:39:10

309.feladat Van e olyan valós szám amelynek bármely egész számrendszerben felírt alakjában minden számjegy szerepel legalább egyszer.

310.feladat Igaz-e, hogy additív halmazfüggvények szorzata is additív?

Amúgy nincs kedvetek visszatérni a feladatok sorszámozásához? Szerintem az olyan jól bejött eddig...

[1942] ágica2007-03-10 21:13:18

Eszerint az oldal szerint a szorzat értéke 5/2, és az eredmény Ramanujantól származik:

http://mathworld.wolfram.com/PrimeProducts.html

Az első 30-40 prímre kiszámolva a szorzatot egyébként már elég jól meg is sejthető az eredmény.

Előzmény: [1941] Lóczi Lajos, 2007-03-10 18:10:09
[1941] Lóczi Lajos2007-03-10 18:10:09

Elképzelhető, hogy mi nem tudjuk megoldani a feladatot, mert nehéz; azért írtam be csak, mert meglepően egyszerű s szép a végeredménye. Inkább sejtsük meg numerikusan, vagy keressük meg az interneten az értékét, illetve, hogy ki az, aki rátalált erre a formulára. (Bár azt is el tudom képzelni, hogy igazából nem is számít, hogy pontosan prímekről van benne szó, és esetleg elég lenne egy alsó/felső becslés az n-edik prímszámra, és abból is ugyanaz az érték jönne ki?)

Előzmény: [1940] Cckek, 2007-03-10 17:25:37
[1940] Cckek2007-03-10 17:25:37

Ha L-el jelöljük a határértéket:

e^{\sum_{n\ge 1}\frac{2}{p_n^2+1}}\le L\le e^{\sum_{n\ge 1}\frac{2}{p_n^2-1}}, de innen tovább???

Előzmény: [1939] Lóczi Lajos, 2007-03-09 23:53:09
[1939] Lóczi Lajos2007-03-09 23:53:09

Jelölje pn az n-edik prímszámot.

Határozzuk meg a \prod_{n=1}^\infty \frac{p_n^2+1}{p_n^2-1} végtelen szorzat értékét.

[1938] Cckek2007-03-09 07:09:57

Felhasználva hogy

\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}

kapjuk

\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=2\frac{\sqrt{1+\frac1n}+1}{\sqrt{1+\frac1n}+\sqrt{1-\frac1n}}

Előzmény: [1936] lorantfy, 2007-03-07 10:06:58
[1937] S.Ákos2007-03-07 20:07:40

Nem tudom, szerintem nem jó. Például n=1-re \frac12et ad, ami az intervallumok számának egész volta miatt lehetetlen.

Előzmény: [1932] Cckek, 2007-03-01 23:37:51
[1936] lorantfy2007-03-07 10:06:58

Bocs elírtam! (Zöld könyv 3676. példa)

Előzmény: [1935] Sirpi, 2007-03-07 08:01:09
[1935] Sirpi2007-03-07 08:01:09

Mármint -2 :-)

Előzmény: [1934] lorantfy, 2007-03-06 22:24:30
[1934] lorantfy2007-03-06 22:24:30

Egy feladat a Zöld könyvből:

[1933] Doom2007-03-06 07:29:59

Legutóbb rossz helyre tettem, remélem itt már jó...

Egy 'a' oldalú szabályos háromszög minden csúcsában 1-1 kutya áll (A, B és C), majd egyszerre elkezdenek futni egymás felé azonos sebességgel: A B felé, B C felé és C pedig A irányában. Mennyi idő múlva találkoznak?

Segítségként egy "sejtés": egy furcsa "spirál-alakot" megtéve a háromszög középpontjában fognak találkozni, mégpedig egyszerre.

[1932] Cckek2007-03-01 23:37:51

Így sem érthető teljesen, és nem is tudom, hogyan lehetne ezt helyesen megfogalmazni, de abban az esetben ha n=ab, amit egy egyenlőtlenség helytelen alkalmazásával kapunk!!

\sum_{i=1}^{n}\left\{\frac{d(i)}{2}\right\}, jön ki, ahol {x} az x\inR törtrészét jelöli. Erre gondoltál??

Előzmény: [1930] S.Ákos, 2007-02-28 16:02:40
[1931] S.Ákos2007-02-28 16:05:14

függetlenül

Előzmény: [1930] S.Ákos, 2007-02-28 16:02:40
[1930] S.Ákos2007-02-28 16:02:40

Elnézést kérek az érthetelenségért és a lassú reagálásért

1) n\inZ+

2) az ai-k [a,b] intervallum beli valós számok, és föggetlenül választásuktól reciprokösszegük is [a,b]-beli valós szám lesz

3) ha n db valós számot választasz ki, lehetséges, hogy lesz több olyan [a,b] intervallum, amelyre teljesül 2), \varepsilon(n) ezek számát jelöli egy adott n-hez

És a feladat helyesen: Határozzuk meg \sum_{i=1}^n\varepsilon(i)-\bigg[\frac{d(i)}2\bigg] pontos értékét!-Remélem, így érthetőbb

Előzmény: [1922] jenei.attila, 2007-02-26 20:16:10
[1929] Cckek2007-02-26 23:25:53

Gyönyörű okfejtés. Álltalánosan az adott feltételek mellett:

\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k^\alpha}{n^{\alpha+1}}\right)=\frac{1}{\alpha+1}f'_j(0),\alpha\in N^*

Előzmény: [1925] nadorp, 2007-02-26 21:39:15
[1928] nadorp2007-02-26 22:14:22

És csak a teljesség kedvéért, legyen az eredeti feladatban f(x)=1-\sqrt{1+x}

Előzmény: [1925] nadorp, 2007-02-26 21:39:15
[1927] Lóczi Lajos2007-02-26 22:08:48

j, mint jobbderivált

Előzmény: [1926] jenei.attila, 2007-02-26 21:57:16
[1926] jenei.attila2007-02-26 21:57:16

Én csak azt nem értem, hogy mit jelöl a j index.

Előzmény: [1923] Cckek, 2007-02-26 20:25:22
[1925] nadorp2007-02-26 21:39:15

Szia Cckek !

Kicsit gyorsan reagáltál :-), de azért egy heurisztikát én is vázolnék ( nem bizonyítás, de szerintem befejezhető, a Te megoldásod viszont teljesen korrekt)

Legyen g(x)=\frac1{x^2}\int_0^xf(t)dt (x>0). Ekkor

\lim_{x\to0}{g(x)}= \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{2x}=\frac12f^{'}(0). Tehát

\lim_{n\to\infty}n^2\int_0^{\frac1n}f(t)dt=\frac12f^{'}(0). A kérdéses szumma éppen a balodalnak egy integrálközelítő összege.

Előzmény: [1923] Cckek, 2007-02-26 20:25:22
[1924] Cckek2007-02-26 20:28:06

Ne feledjük, hogy f(0)=0:))

Előzmény: [1923] Cckek, 2007-02-26 20:25:22
[1923] Cckek2007-02-26 20:25:22

A jobboldali derivált értelmezéséből:

\forall \epsilon>0, \exists n_{\epsilon} úgy, hogy minden n\ge n_{\epsilon} esetén

f'_j(0)-\epsilon<\frac{f\left(\frac{k}{n^2}\right)}{\left(\frac{k}{n^2}\right)}<f'_j(0)+\epsilon.

Összegezve kapjuk, hogy:

\frac{n(n+1)}{2}\frac{f'_j(0)-\epsilon}{n^2}<\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n^2}\right)<\frac{n(n+1)}{2}\frac{f'_j(0)+\epsilon}{n^2}

Előzmény: [1920] Lóczi Lajos, 2007-02-26 19:31:12
[1922] jenei.attila2007-02-26 20:16:10

Ákos ne haragudj, de ez teljesen értelmetlen amit írsz. Próbáld meg légyszíves világosabban megfogalmazni. Pl. Mi az n, mi köze a reciprok összegnek az az ai-khez rendelt valós számokhoz (talán az ai-k maguk [a,b] intervallumbeli valós számok? Egyáltalán mik az ai-k)és mit jelent a "jelölje az n-hez tartozó intervallumok számát \varepsilon(n)" mondat?

Előzmény: [1918] S.Ákos, 2007-02-25 19:24:35
[1921] Lóczi Lajos2007-02-26 19:36:56

Nekem is hasonló jellegű az érvelésem a feladatra (csak kikerültem az exponenciális függvényt és végig logaritmusokkal számoltam).

Előzmény: [1915] Cckek, 2007-02-24 10:29:37
[1920] Lóczi Lajos2007-02-26 19:31:12

Kíváncsi lennék ennek az állításnak a bizonyítására. Tudnál mondani hozzá valamit?

Előzmény: [1917] Cckek, 2007-02-24 21:53:16

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]