Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[193] lorantfy2003-12-13 11:00:24

34.c) feladat b része

Ha a füzeteket áruló néni előrehívja azt az „x” számú embert aki 500 Ft-al tud fizetni, akkor miután eladta nekik a füzetet (k+x) 500Ft-os bankjegye lesz, hogy visszaadjon a megmaradó (n-x) 1000 Ft-al fizetőnek. Mikor nem tud visszaadni? Ha

 k+x \le n-x \quad \implies \quad x \le \frac{n-k}{2}

(Egyenlőség NINCS, csak nem találok külön kisebb jelet! Segítség!)

Legyen  m=\frac{n-k}{2} (Elnézést! Az előző hozzászólásban ezt rosszul írtam!)

Tehát, ha az n ember közül csak 0,1,2 … m-1 tud 500 Ft-al fizetni, akkor nem tud a néni visszaadni. Ezen esetek összege:

 \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{m-1}

A p2 valószínűség, (2n az összes esetek száma)

p_22^n=\sum_{i=1}^{m-1} \binom{n}{i}

Tehát p1=2p2

Előzmény: [192] lorantfy, 2003-12-12 23:59:35
[192] lorantfy2003-12-12 23:59:35

Kedves Fórumosok!

Érdemes "beleélni" magatokat ebbe a füzeteladási feladatba, mert bár lassan de szépen alakul.

Próbáljuk megfogalmazni a bináris fa alapján készült előző táblázat eredményét általánosan.

k db 500 Ft van kezdetben az eladónál és n emberünk van.

Legyen az egyszerűbben írhatóság kedvéért k és n páros!

m=\frac{k}{2}, E= az eladott könyvek száma, S=esetek száma.

E= ... k k+1 k+2 k+3 ... n-4 n-3 n-2 n-1 n
S= 0 \binom{n}{0} \binom{n}{0} \binom{n}{1} \binom{n}{1} \binom{n}{m-2} \binom{n}{m-2} \binom{n}{m-1} \binom{n}{m-1} \sum

Az, hogy a néni valamikor nem tud visszaadni azt jelenti nem adott el minden könyvet. Ezen esetek számának összege:

p_12^n=2\sum_{i=0}^{m-1}\binom{n}{i}

Megvan a 34.c) feladat a) részének p1 valószínűsége.

Már csak azt kell belátni, hogy

p_22^n=\sum_{i=0}^{m-1}\binom{n}{i}

de erre már csak holnap kerülhet sor. :-)

Előzmény: [191] lorantfy, 2003-12-12 00:48:45
[191] lorantfy2003-12-12 00:48:45

Kedves Fórumosok!

Egy rövid folytatásra futotta ma az időmből, remélve, hogy lesz aki bekapcsolódik.

Ha k értékét 1-el növeljük akkor azon esetekben, ahol eddig 0 db-ot adtunk el, most 1-et fogunk, ahol eddig 1-et, most 2 db-ot adunk el... Az esetek száma 1-el nagyobb db-számra tolódik el. n= 5 esetében ezt mutatja a táblázat. Az 5-ös eladás oszlopában összegződnek a jobbra tolódó értékek. Jobb oldalon annak a valószínüsége \phi, hogy minden (5db) könyvet eladtunk. (Az esetek számával (25=32) osztottam az 5 db-os eladások számát.)Annak valószinüsége, hogy a néni valamikor nem tudott visszaadni 1-\phi, hiszen akkor nem adott el minden könyvet. Tehát csak ezt kell n-re megfogalmazni és megvan Géza 34.c) feladatának a) része!

k 0 1 2 3 4 5 \phi
0 1 1 5 5 10 10 \frac{10}{32}
1 0 1 1 5 5 20 \frac{20}{32}
2 0 0 1 1 5 25 \frac{25}{32}
3 0 0 0 1 1 30 \frac{30}{32}
4 0 0 0 0 1 31 \frac{31}{32}
5 0 0 0 0 0 32 1
Előzmény: [186] lorantfy, 2003-12-10 13:41:47
[190] Hajba Károly2003-12-12 00:23:33

Kedves László!

Gratula!

HK

Előzmény: [189] lorantfy, 2003-12-11 22:40:16
[189] lorantfy2003-12-11 22:40:16

Megoldás a 43. feladatra:

A háromszög körülírt körének O középpontja csak akkor van a háromszög kerületén, ha az derékszögű. Ekkor viszont az M magasságpont a derékszögű csúcsba esik. Így OM = R= AB/2, OM csak a rövidebbik befogóval egyezhet meg. Tehát a háromszög szögei 30-60-90 fok. Szerkesztése: 2OM=AB fölé Thálesz kört, aztán A-ból OM=R-el körözve kimetszük a C pontot. (A feladat szövegében ez áll:„tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is” - ez csak annyit jelent, hogy azt még nem tudjuk, hogy a másik végpontja is (De mostmár tudjuk!), nem pedig azt, hogy a másik végpontja nem lehet a háromszög pontja)

Euler egyenes: A háromszög O, S, M ponjai erre az egyenesre esnek. Ráadásul MS=2OS.

Aki kíváncsi az Euler egyenes nevezetes pontjai és a beírt kör K középpontjának kapcsolatára, nézze meg a „Nehezebb matematikai problémák” témában Rácz Béla 7. feladatát.

Előzmény: [188] Hajba Károly, 2003-12-11 01:06:29
[188] Hajba Károly2003-12-11 01:06:29

Elnézést, pontosítok:

43. feladat: Legyen adott egy háromszög Euler-féle OM szakasza; tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is ill. a háromszög egyik oldalhossza megegyezik az OM szakasz hosszával. Szerkesszük meg a háromszöget!

HK

Előzmény: [187] Hajba Károly, 2003-12-11 01:03:40
[187] Hajba Károly2003-12-11 01:03:40

35. feladat: Legyen adott egy háromszög Euler-féle OM szakasza; tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is ill. a háromszög egyik oldalhossza megegyezik az OM szakasz hosszával. Szerkesszük meg a háromszöget!

HK

[186] lorantfy2003-12-10 13:41:47

Kedves Fórumosok!

Reméltem, hogy valakinek megtetszik ez a bináris fa, de még nem késő! Felírtam a csúcsokhoz az eladások számát. A táblázatban az első oszlopban az n értéke, a következő oszlopokban az áll, hogy adott n esetén hány esetben volt 0,1,2,3,4,5 füzet eladás.

n 0 1 2 3 4 5
1 1 1  
2 1 1 2
3 1 1 3 3
4 1 1 4 4 6
5 1 1 5 5 10 10

Ezek a számsorok mindenkinek ismerősek (Pascal hrsz. Binomiális tétel) A sorrend kicsit más. Remélhetőleg valaki be is bizonyítja, én most csak ebből a pár értékből általánosítok: Legyen  \frac n2 egész része: m. Ekkor a 2n esetből  \binom nm esetben fogunk n db füzetet eladni k=0 befektettéssel. Következik k értékének 1-el való növelése. Ekkor ennek a fának a jobb oldali (fél) részfájára kell áttérni.

Előzmény: [184] lorantfy, 2003-12-09 12:37:33
[185] Kós Géza2003-12-10 13:16:34

Egy kis érdekesség.

Továbbra is feltételezzük , hogy a vendégeknél 50-50% valószínűséggel van egyetlen 500 vagy egyetlen 1000 forintos bankjegy. A vendégek száma n, a jegyszedőnél kezdetben k darab 500 forintos van.

a) A vendégek véletlenszerűen sorbaállnak, fizetnek, a jegyszedő néni visszaad, ha tud. Jelöljük p1-gyel annak a valószínűségét, hogy valamikor nem tud visszaadni.

b) A jegyszedő úgy dönt, hogy a sorban előrehívja azokat, akiknél 500 forintos pénz van. Jelöljük p2-vel annak a valószínűségét, hogy így sem sikerül mindenkinek visszaadni.

34.c feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha n és k azonos paritású, akkor p1=2p2.

(A Catalan-számokat jól ismerők előnyben!)

Előzmény: [138] Ratkó Éva, 2003-12-03 14:33:47
[184] lorantfy2003-12-09 12:37:33

Pontosítás az előzőhöz:

A következő vevőnek 50% eséllyel van 500 Ft-osa és 50%, hogy 1000 Ft-osa van. Ez végig állandó. (Nem függ attól, hányan fizettek már pl. 1000 Ft-al.)

Előzmény: [183] lorantfy, 2003-12-09 01:07:25
[183] lorantfy2003-12-09 01:07:25

Kedves Éva!

Egy újabb próbálkozás:

34.b feladat

n db füzetet szeretnénk eladni n embernek. A füzet ára 500 Ft. Az emberek felének van 500 Ft-ja, másik felének csak 1000 Ft-osa van.

1.Ha 1000 Ft-al akar fizetni valaki és nincs 500 Ft-unk vissza, akkor nem vesz, ha tudunk visszaadni, akkor vesz.

2.Ha 500 Ft-al fizet valaki, akkor persze vesz füzetet és lesz egy visszaadható 500 Ft-unk.

Mennyi a valószinüsége, hogy mind az n könyvet eladjuk:

1.Ha kezdetben nincs 500 Ft-osunk (k=0)

2.Ha k db 500 Ft-ossal indulunk.

Árázoljuk az eseményeket egy bináris fával. A csúcsokba írjuk az 500 Ft-osaink számát. Az élek szine kék ha vettek, piros, ha nem vettek füzetet. Ha jobbra lépek 500 Ft-al fizettek, ha balra akkor 1000 Ft-al. Piros a vonal, ha nullás pontból balra lépünk, különben kék. Az összes eset száma 2n. Ahány kék vonallal jutunk le, annyi füzetet adtunk el.

Próbáljátok általánosítani! n=5 esetén a következő értékek adódnak:

k=0 : 50%, k=1 : 62,5%, k=2 : 78%, k=3 : 93%, k=4 : 97%, k=5 : 100

Előzmény: [181] Ratkó Éva, 2003-12-08 17:17:54
[182] Pach Péter Pál2003-12-08 20:18:19

Két újabb feladat:

41. feladat

Legyenek a,b,c,d,e egész számok. Tudjuk, hogy összegük és négyzetösszegük is osztható a páratlan p számmal. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a5+b5+c5+d5+e5-5abcde is osztható p-vel.

42. feladat

Legyenek P és Q pozitív páratlan relatív prím számok. Bizonyítsuk be, hogy

\sum_{0<x<\frac{Q}{2}}{\left[\frac{Px}{Q}\right]}+\sum_{0<y<\frac{P}{2}}{\left[\frac{Qy}{P}\right]}=\frac{(P-1)(Q-1)}{4}.

[181] Ratkó Éva2003-12-08 17:17:54

Kedves Mindenki!

Ajánlom figyelmetekbe a 34. feladatot, amit nem én találtam ki, hanem egy valóban létező probléma. (A színházat nem akartam megnevezni, nem az a lényeg.) És kíváncsi vagyok, együttes erővel lehet-e vele valamit kezdeni.

Előzmény: [142] lorantfy, 2003-12-04 00:37:11
[180] Hajba Károly2003-12-08 10:43:39

40. feladat: Tekintsük az ábra szerinti M*N-es lapocskát a kör helyekkel, melynek d szimmetriatengelye van. Képezzük az összes (n) olyan változatot, melyben k szinezett korongot helyeztünk el és sem tüktözéssel, sem forgatással két változatot nem lehet egymásba mozgatni. Mennyi n értéke M, N és k függvényében?

Kedves Topikolók!

Bevallom, a fenti feladatot kitaláltam, de a választ rá nem tudom, még nem találtam meg a pontos összefüggést, így szabad a gazda, a válasz engem is nagyon izgat. :o)

HK

[179] lorantfy2003-12-08 07:49:21

Kedves Károly!

Igazad van. Annyira belelkesedtem, hogy az 5x5-ösből rögtön kijön a 7x7-es, hogy nem olvastam el az eredeti kiírást, miszerint záródnia kell. Majd próbálkozom...

Előzmény: [178] Hajba Károly, 2003-12-07 23:26:47
[178] Hajba Károly2003-12-07 23:26:47

Kedves László!

Elmesélem a feladattal kapcsolatos történetemet. Még elsős gimis lehettem, mikor feladták nekem, a feladója sem ismerte a megoldást. Fél évig görcsöltem rajta és kb. 12 vissza nem záródó megoldást találtam, míg meg nem leltem azt, amelyik az eredeti kiírásban is szerepel. Miszerint vissza kell záródnia a kiindulási pontba.

Tehát eddig a könnyebbik változata lett megoldva és sok sikert kívánok a nehezebbik megoldásához.

HK

Előzmény: [177] lorantfy, 2003-12-07 23:17:49
[177] lorantfy2003-12-07 23:17:49

és a 12. feladat behúzása 12 szakasszal.

Előzmény: [60] Hajba Károly, 2003-11-13 00:31:47
[176] lorantfy2003-12-07 23:11:25

Kedves Károly!

Adom a megoldást a 39. feladatra és így megvan az elmaradt 12. feladat is.

Előzmény: [169] Hajba Károly, 2003-12-06 00:29:36
[175] lorantfy2003-12-07 14:26:31

Kedves Gyuri!

Itt pedig mindhárom pontban egyetértek veled! Kezdem felfogni a lényeget, bár ez a rekurzív gondolkodás nem embernek való. Nem értelmeztem helyesen a szöveg azon részét, miszerint:

"azt csak a kivégzés napján reggel 6 órakor tudhatja meg az elitélt leghamarabb"

Tehát nem is kell megmondani neki előtte, hogy ki fogják végezni.

(A 3. pontból azonban kiderült, hogy nincs technikai akadálya annak a kérésemnek, hogy írj ékezettel! Előre is köszönöm!)

Előzmény: [173] Gyuri, 2003-12-06 01:58:29
[174] lorantfy2003-12-07 13:25:38

Kedves Gyuri!

Egyetértek veled mindkét pontban! (Most nem a kivégzéses példáról beszélek!)

Miért nem nyitottál egy Versenyfeladatok c. témát?

Persze a túl sok téma sem szerencsés, de ez a a téma már olyan gyorsan pörög, hogy sokszor "oldalakat" kell visszamenni egy hivatkozásért.

Aztán arra gondoltam kellene még egy olyan téma, ahol az új emberkéknek tennénk fel példákat, és csak első megoldó fórumosok tehetnének fel megoldást.

Tegnap ugyanis mikor beléptem a fórumba próbáltam elképzelni, hogy még átlagos középiskolás vagyok. Megtetszett egy feladat és próbáltam megoldani, de mire elszántam magam, hogy feltegyem a megoldást már valaki megelőzött. Szóval elment a kedvem az egésztől.

Én megnyitom ezt a két témát, aztán az idő majd eldönti, hogy életképesek lesznek-e.

Előzmény: [172] Gyuri, 2003-12-06 00:46:35
[173] Gyuri2003-12-06 01:58:29

Kedves László!

1. Meg ha vasarnap hajnali 2kor is volt a targyalas, a kovetkezo het nem kezdodhet ugyanazon a napon.

2. Ha a het elso napja a vasarnap lenne, akkor az ugyved eszmefuttatasa hallatan az elitelt a hajat tepne, vagy legalabbis sirvafakadna.

3. Fálesz Mihály világított rá legjobban a lényegre [159]-ben.

Udv: Gyuri

Előzmény: [170] lorantfy, 2003-12-06 00:36:46
[172] Gyuri2003-12-06 00:46:35

Kedves Zoli!

Ket megjegyzesem lenne a meghivasos versenyeket illetoen.

1. Azt hiszem ezek a feladatok egy Versenyfeladatok vagy valamilyen hasonlo topicban lennenek igazan megfelelo helyen. Talan attol Erdekes egy feladat, hogy valami szellemesseg, csalafintasag, meglepo eredmeny vagy humor fuszerezi.

2. Nagyra becsulom, hogy megosztod ezeket a feladatokat azokkal, akik ezekre a versenyekre soha nem juthatnak el. Mindig is ugy ereztem, hogy a magyar tehetsegkutatas egy csoppet belterjes. Orulok, hogy ha egy aprosagnak tuno dologgal is, de segitesz valtoztatni ezen.

Udv: Gyuri

Előzmény: [164] SchZol, 2003-12-05 22:05:01
[171] Pach Péter Pál2003-12-06 00:41:47

Megoldás a 26. feladatra

Bontsuk két részre R(k;n)-et! A korlátos tartományok maximális száma legyen S(k;n), a nem korlátos tartományok maximális száma pedig legyen T(k;n). Először határozzuk meg T(k;n)-et! A körök csak a sík korlátos részén „tevékenykednek”, látszik, hogy T(k;n)-et az egyenesek meghatározzák. Ha elég ügyesek vagyunk, és fel tudjuk úgy venni az (0<)n darab egyenest úgy, hogy semelyik kettő ne essen egybe, akkor 2n darab végtelen tartományt kapunk, különben pedig kevesebbet.

Így T(k;n)=2n.

Már csak S(k;n)-et kell meghatároznunk. (Egyelőre feltesszük, hogy a két maximum egyszerre is megvalósulhat.) Tegyük fel, hogy már néhány egyenest és kört megrajzoltunk, és most megrajzolunk még egy kört, ami az eddigi alakzatokat összesen m darab (különböző) pontban metszi. Azt állítjuk, hogy ilyenkor pontosan m új korlátos tartomány keletkezik. Valóban, ha végigmegyünk a körvonalon, akkor két „szomszédos” metszéspontot összekötő ív mindig egy korlátos tartományt oszt két (korlátos) részre, vagy pedig egy végtelenből „vág” le egy korlátos részt.

Ehhez teljesen hasonlóan, ha egy új egyenes összesen m különböző pontban metszi az eddigi alakzatokat, akkor m-1 új korlátos tartomány keletkezik, hiszen a „szomszédos” metszéspontokat összekötő szakaszokkal 1-1 új korlátos tartományt nyerünk, a megmaradó két félegyenessel pedig egyet sem.

Ha van k-1 darab körünk, akkor egy új kör ezeket összesen lf. (legfeljebb) k pontban metszi, mert a feladat feltételei szerint mind a k darab kör áthalad 1 ponton, két (különböző) körnek pedig lf. 2 metszéspontja van. Így S(k;n)=S(k-1;n)+k, azaz S(k;n)=1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}.

Ha van k-1 darab körünk, akkor egy egyenes ezeket összesen lf. k pontban metszi, hiszen a feladat kikötése szerint át kell haladnia a közös metszésponton. A már meglévő egyeneseket csak a közös metszéspontban metszi, de azt már számoltuk. Ez azt jelenti, hogy S(k;n)=S(k;0)+nk=\frac{k(k+1)}{2}+nk.

Az eddigiek alapján R(k;n)=S(k;n)+T(k;n)= \frac{k(k+1)}{2}+nk+2n. Az pedig könnyen végiggondolható, hogy létezik konstukció. (Pl.: úgy vegyük fel a k darab kört, hogy ne essenek egybe, de sugaruk egyezzen. Nem lehetséges, hogy a közös ponton kívül is van olyan pont, amelyen három kör is áthalad, mert ezen és a közös ponton keresztül adott sugárral csak két különböző kör rajzolható. Az egyenesek felvételénél csak véges sok irányt kell kizárni: ne essen egybe az előzőekkel, ne haladjon át a körök metszéspontjain, ne érintse a köröket. Ilyenkor kívánt számú metszéspont, és így kívánt számú tartomány keletkezik.)

Megjegyzés:

Úgy is megoldhatjuk a feladatot, hogy invertálunk egy olyan körre, aminek a közös pont a középpontja. Ekkor k+n darab egyenest kapunk, azonban közülük n darab egy ponton megy át.

Előzmény: [112] SchZol, 2003-11-29 21:46:42
[170] lorantfy2003-12-06 00:36:46

Kedves Gyuri!

Kínomban már nem tudok jobbat kitalálni:

Ha már vasárnap volt a tárgyalás - amikor ugye nem nagyon szoktak dolgozni a bírák - akkor mért ne lehetett volna az ítélet kihirdetése mondjuk reggel 5-kor. Így ettől kezdve ketyeg az 1 hét. Tehát akár aznap - vasárnap - reggel 6-kor már közölhetik is vele, hogy ma kivégzik.

Vagy ha a hetet szigorúan napokban számoljuk, akkor legyen olyan országban a tárgyalás, ahol a hét első napja a vasárnap és így a "következő hét" majd a következő vasárnappal kezdődik és szombattal ér véget.

Előzmény: [158] Gyuri, 2003-12-05 19:00:06
[169] Hajba Károly2003-12-06 00:29:36

Mivel eddig senki nem írt a 12. feladatról, ezért hozok néhány könnyebbet e műfajból.

39/A feladat: Kössük össze egy 6 egymásba kapcsolódó szakaszokból álló hurokkal az A szerint 4*4-es rácspontokat. (Azaz a kindulási pontba vissza kell érni!)

39/B feladat: Kössük össze egy 8 egymásba kapcsolódó szakaszokból álló lánccal a B szerinti 5*5-ös rácspontokat úgy, hogy a külső 4 sorból nem lóghat ki.

HK

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]