Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1969] Alma2007-04-12 18:14:51

Nekem is valami hasonló jött ki, csak én megkaptam a végtelen sok megoldást. Nem kell sokat változtatni az előző megoldáson, csak egy icipicit: a) x=ln(\frac1{2007\pm\sqrt{2007^2-1}})i+2k\pi A b) eseten még nem gondolkoztam.

Előzmény: [1968] Lóczi Lajos, 2007-04-12 13:53:55
[1968] Lóczi Lajos2007-04-12 13:53:55

Mindenesetre valahogy jelezni kellene, hogyan lesz végtelen sok megoldás.

Előzmény: [1967] Cckek, 2007-04-12 10:43:38
[1967] Cckek2007-04-12 10:43:38

b) x=\frac{\pi}{2}\pm i\ln2 és ha nem számoltam el akkor

x=-i\ln\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\pm \rm{arctg}\frac{3\sqrt{11}}{11}

Előzmény: [1965] Lóczi Lajos, 2007-04-11 22:22:31
[1966] Cckek2007-04-12 09:48:16

a) x=-i \ln\left(2007\pm \sqrt{2007^2-1}\right)

Előzmény: [1965] Lóczi Lajos, 2007-04-11 22:22:31
[1965] Lóczi Lajos2007-04-11 22:22:31

313. feladat. Adjuk meg az összes olyan x (komplex) számot, amelyre

a.) cos (x)=2007

b.) \cos^2(x)=-\frac{9}{16}.

[1964] Lóczi Lajos2007-04-10 20:51:34

Be tudnád bizonyítani, hogy pl. az n=1 esetén adódó -\frac{\pi }{3 \sqrt{3}}+\log (3) érték irracionális?

Előzmény: [1963] Cckek, 2007-04-09 10:40:38
[1963] Cckek2007-04-09 10:40:38

Kellemes ünnepeket mindenkinek.

\int_{0}^{1}\frac{(x+1)^n+(x-1)^n}{x^2+x+1}dx mely n-re racionális?

[1962] Cckek2007-04-06 07:35:31

Ha már algebrai strukturáknál tartunk... Legyen A egy 4 elemű gyűrű. A akkor és csak akkor test ha az x2+x+1=0 egyenletnek van egy gyöke A-ban.

[1961] nadorp2007-04-02 08:19:54

A könyv ismerős, mert a szerzők tanítottak is engem. A példa úgy rémlik, hogy nálunk is szerepelt gyakorlaton.

Előzmény: [1960] Lóczi Lajos, 2007-04-02 01:28:13
[1960] Lóczi Lajos2007-04-02 01:28:13

(Még néhány ilyen típusú, érdekes feladatot illetően l. pl. Szendrei-Czédli-Szendrei: Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1993. Az itteni feladat amúgy a Gyűrűk fejezet 15. feladatában szerepel.)

Előzmény: [1959] nadorp, 2007-04-01 18:31:09
[1959] nadorp2007-04-01 18:31:09

Először oldjunk meg egy egyszerűbbet, nevezetesen: Ha egy gyűrűben 1-ab invertálható, akkor 1-ba is az. Megoldás:

Feltehető, hogy sem "a" sem "b" nem a zéróelem. Legyen (1-ab)c=1, azaz abc=c-1. Ekkor

babc=bc-b

babca=bca-ba

ba=bca-babca=(1-ba)bca

1-ba=1-(1-ba)bca. Tehát

(1-ba)(1+bca)=1, azaz 1-ba jobb inverze 1+bca. Hasonlóan adódik a bal inverzre is ugyanez az érték.

Mivel (xy)2=x(yxy) és (yx)2=(yxy)x ezért ha 1-(xy)2 inverze c, akor az előzőek szerint 1-(yx)2 inverze 1+yxycx

Előzmény: [1956] Cckek, 2007-03-31 20:27:37
[1958] Cckek2007-04-01 13:54:43

Mármint (R,+) és (C,+) között? Mert (x,y) nem R-ből van.

Előzmény: [1957] epsilon, 2007-04-01 12:10:27
[1957] epsilon2007-04-01 12:10:27

(x,y)->x+i×y miért nem lenne izomorfizmus?

Előzmény: [1948] Lóczi Lajos, 2007-03-24 21:55:34
[1956] Cckek2007-03-31 20:27:37

Bizonyítsuk be, hogy ha egy gyűrűben az 1-(xy)2 elem invertálható, akkor 1-(yx)2 is invertálható.

[1954] Lóczi Lajos2007-03-30 00:01:09

és már csak össze kell számolni, hány darabból áll

Előzmény: [1953] Lóczi Lajos, 2007-03-29 23:56:31
[1953] Lóczi Lajos2007-03-29 23:56:31

90548514656103281165404177077484163874504589675413336841320

Előzmény: [1955] Cckek, 2007-03-29 20:11:02
[1955] Cckek2007-03-29 20:11:02

Hány számjegye van \binom{200}{100}-nak?

[1952] Cckek2007-03-27 20:26:03

Köszi.

Előzmény: [1950] Lóczi Lajos, 2007-03-27 10:42:56
[1951] BohnerGéza2007-03-27 14:49:56
Előzmény: [1946] Cckek, 2007-03-24 19:20:01
[1950] Lóczi Lajos2007-03-27 10:42:56

egy válasz

Előzmény: [1949] Cckek, 2007-03-27 10:19:18
[1949] Cckek2007-03-27 10:19:18

Bizonyítsuk be, hogy az (R,+) és (C,+) csoportok izomorfak.

[1948] Lóczi Lajos2007-03-24 21:55:34

Deriváljuk az integrált az x paraméter szerint, majd használjuk a jól ismert \cos(t)=\frac{1-u^2}{1+u^2} helyettesítést, ahol u=tan (t/2). Ekkor az u változó szerint egy racionális törtfüggvényt kapunk, aminek van elemi primitív függvénye. Visszahelyettesítve a t változót az alábbit kapjuk:

\frac{t + 2{\rm{arctan}} (\frac{\left( 1 + x \right) \tan (\frac{t}{2})}{-1 + x})}{x}.

Ennek a megváltozása kell t=0 és t=\pi között. A függvény t=0-ban 0, a t\to\pi- határesetben pedig x-től függően kétféle értéket vesz fel: vagy nullát vagy 2\pi/x-et. Már csak x szerint kell a primitív függvényt visszakeresni, ami persze triviális. (Az x=0, x=1, x=-1 eseteket persze külön meg kell vizsgálni az eredeti határozott integrálban.)

Végeredmény: az eredeti integrál értéke 0, ha -1\lex\le1, míg 2\pilog |x|, ha x>1 vagy x<-1.

Előzmény: [1947] Cckek, 2007-03-24 19:44:40
[1947] Cckek2007-03-24 19:44:40

312.feladat Ha már integráloknál tartunk:

Számítsuk ki a következő integrált:

\int_{0}^{\pi}\ln(1-2xcost+x^2)dt

[1946] Cckek2007-03-24 19:20:01

Legyen I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}dx

Jelöljük \sqrt{\tan x}=t, tehát

I=\int_{0}^{1}\frac{2t^2}{1+t^4}dt=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{1}\left(\frac{t}{t^2-\sqrt{2}t+1}-\frac{t}{t^2+\sqrt{2}t+1}\right)dt

Írhatjuk:

I=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{1}\left(\frac{t}{(t-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}-\frac{t}{(t+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}\right)dt

ahonnan kiszámítható I értéke:

I=\frac{\sqrt{2}}{4}\ln\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2}arctg{(\sqrt{2}+1)}+\frac{\sqrt{2}}{2}arctg{(\sqrt{2}-1)}

Előzmény: [1945] Lóczi Lajos, 2007-03-20 03:00:23
[1945] Lóczi Lajos2007-03-20 03:00:23

311. feladat. Mekkora a tangensfüggvény négyzetgyökének görbe alatti területe 0 és \pi/4 között?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]