Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1982] Sirpi2007-04-17 16:04:29

Hát így kapásból log2k elég, és annyi kell is, mert a 2-hatványokat mind külön kupacba kell rakni. Bocs a gyors lelövésért (nem is írom le a teljes konstrukciót), nem ismertem, csak gyorsan végiggondoltam :-) Jó feladat amúgy.

Előzmény: [1981] Yegreg, 2007-04-17 14:38:30
[1981] Yegreg2007-04-17 14:38:30

Egy egyszerű, de szerintem érdekes feladat (ami úgy "jutott eszembe", hogy egy másik feladatot rosszul olvastam el :) )

Adottak az 1, 2, ... k számok. Legalább hány csoportba kell osztani őket, hogy ne legyen egy csoportban sem osztó-többszörös?

[1980] Lóczi Lajos2007-04-17 10:02:58

i-gen, hiszen i^i=e^{i\cdot \ln(i)}=e^{i\cdot (i \pi/2+2\pi m i)}=e^{-\pi/2-2\pi m}, ahol m tetszőleges egész.

Persze i ellentettje éppúgy jó. (Ezután azt a kérdést tettem fel magamnak, van-e még ezeken kívül ilyen tulajdonságú komplex szám. Azt találtam, hogy végtelen sok van, de csak megszámlálható, a valós részüket egy egyszerű képlet megadja, a képzetes részüket meg egy kicsit bonyolultabb. Akinek van kedve, keresse meg ezeket a "rácspontokat" a síkon.)

Előzmény: [1979] ágica, 2007-04-17 07:53:44
[1979] ágica2007-04-17 07:53:44

i? :)

Előzmény: [1978] Lóczi Lajos, 2007-04-17 00:07:56
[1978] Lóczi Lajos2007-04-17 00:07:56

Az egyik lehetséges válasz egy betűs.

Előzmény: [1975] Lóczi Lajos, 2007-04-12 22:53:58
[1977] Lóczi Lajos2007-04-15 20:10:22

Szerintem nem, pl. a k=0 esetben rögtön valós lesz z, amit kizártunk. De mondjuk a k=1, a=\pi esetén kapott z:=\pi+i\pitg (1) sem lesz jó, hiszen tetszőleges m egész szám esetén fennáll, hogy


z^z={\rm{exp}}(z\cdot \ln(z))=
{\rm{exp}}\left(z\cdot \left(\frac{\ln ({\pi }^2 + {\pi }^2{\tg^2 (1)})}{2}+i+2\pi m i\right)\right)=...

Itt véve pl. az m=0 esetet a következő számot kapjuk:


...={\rm{exp}}\left(\frac{\pi \ln ({\pi }^2 + {\pi }^2{\tg^2 (1)})}{2} - \pi \tg (1)\right)\cdot
{\rm{exp}}\left(i\left(
\pi  + \frac{\pi \ln ({\pi }^2 + {\pi }^2{\tg^2(1)})\tg (1)}{2}\right)\right),

ami sajnos nem valós.

Előzmény: [1976] Cckek, 2007-04-15 12:03:09
[1976] Cckek2007-04-15 12:03:09

Talán z=a+ia\tg\left(\frac{k\pi}{a}\right), k\in Z, a\in R^*, a\neq \frac{2k}{p},p\in Z

Előzmény: [1975] Lóczi Lajos, 2007-04-12 22:53:58
[1975] Lóczi Lajos2007-04-12 22:53:58

[100\pi]. feladat. Adjunk példát olyan x komplex, de nem valós számra, hogy xx minden értéke valós.

[1974] Lóczi Lajos2007-04-12 22:48:13

Szerintem is ezek.

Előzmény: [1970] Alma, 2007-04-12 18:28:36
[1973] Lóczi Lajos2007-04-12 22:46:23

Egyetértek.

Előzmény: [1969] Alma, 2007-04-12 18:14:51
[1972] Lóczi Lajos2007-04-12 22:45:43

Az első páros jó, a második viszont nem stimmel.

Előzmény: [1967] Cckek, 2007-04-12 10:43:38
[1971] Alma2007-04-12 18:31:52

Természetesen mindkét megoldásomban k\inZ :)

Előzmény: [1970] Alma, 2007-04-12 18:28:36
[1970] Alma2007-04-12 18:28:36

Azt hiszem meg van a b) is, de egy kicsit más jött ki:

x=ln(\frac4{5\pm3})i+\pi/2+k\pi

Előzmény: [1968] Lóczi Lajos, 2007-04-12 13:53:55
[1969] Alma2007-04-12 18:14:51

Nekem is valami hasonló jött ki, csak én megkaptam a végtelen sok megoldást. Nem kell sokat változtatni az előző megoldáson, csak egy icipicit: a) x=ln(\frac1{2007\pm\sqrt{2007^2-1}})i+2k\pi A b) eseten még nem gondolkoztam.

Előzmény: [1968] Lóczi Lajos, 2007-04-12 13:53:55
[1968] Lóczi Lajos2007-04-12 13:53:55

Mindenesetre valahogy jelezni kellene, hogyan lesz végtelen sok megoldás.

Előzmény: [1967] Cckek, 2007-04-12 10:43:38
[1967] Cckek2007-04-12 10:43:38

b) x=\frac{\pi}{2}\pm i\ln2 és ha nem számoltam el akkor

x=-i\ln\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\pm \rm{arctg}\frac{3\sqrt{11}}{11}

Előzmény: [1965] Lóczi Lajos, 2007-04-11 22:22:31
[1966] Cckek2007-04-12 09:48:16

a) x=-i \ln\left(2007\pm \sqrt{2007^2-1}\right)

Előzmény: [1965] Lóczi Lajos, 2007-04-11 22:22:31
[1965] Lóczi Lajos2007-04-11 22:22:31

313. feladat. Adjuk meg az összes olyan x (komplex) számot, amelyre

a.) cos (x)=2007

b.) \cos^2(x)=-\frac{9}{16}.

[1964] Lóczi Lajos2007-04-10 20:51:34

Be tudnád bizonyítani, hogy pl. az n=1 esetén adódó -\frac{\pi }{3 \sqrt{3}}+\log (3) érték irracionális?

Előzmény: [1963] Cckek, 2007-04-09 10:40:38
[1963] Cckek2007-04-09 10:40:38

Kellemes ünnepeket mindenkinek.

\int_{0}^{1}\frac{(x+1)^n+(x-1)^n}{x^2+x+1}dx mely n-re racionális?

[1962] Cckek2007-04-06 07:35:31

Ha már algebrai strukturáknál tartunk... Legyen A egy 4 elemű gyűrű. A akkor és csak akkor test ha az x2+x+1=0 egyenletnek van egy gyöke A-ban.

[1961] nadorp2007-04-02 08:19:54

A könyv ismerős, mert a szerzők tanítottak is engem. A példa úgy rémlik, hogy nálunk is szerepelt gyakorlaton.

Előzmény: [1960] Lóczi Lajos, 2007-04-02 01:28:13
[1960] Lóczi Lajos2007-04-02 01:28:13

(Még néhány ilyen típusú, érdekes feladatot illetően l. pl. Szendrei-Czédli-Szendrei: Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1993. Az itteni feladat amúgy a Gyűrűk fejezet 15. feladatában szerepel.)

Előzmény: [1959] nadorp, 2007-04-01 18:31:09
[1959] nadorp2007-04-01 18:31:09

Először oldjunk meg egy egyszerűbbet, nevezetesen: Ha egy gyűrűben 1-ab invertálható, akkor 1-ba is az. Megoldás:

Feltehető, hogy sem "a" sem "b" nem a zéróelem. Legyen (1-ab)c=1, azaz abc=c-1. Ekkor

babc=bc-b

babca=bca-ba

ba=bca-babca=(1-ba)bca

1-ba=1-(1-ba)bca. Tehát

(1-ba)(1+bca)=1, azaz 1-ba jobb inverze 1+bca. Hasonlóan adódik a bal inverzre is ugyanez az érték.

Mivel (xy)2=x(yxy) és (yx)2=(yxy)x ezért ha 1-(xy)2 inverze c, akor az előzőek szerint 1-(yx)2 inverze 1+yxycx

Előzmény: [1956] Cckek, 2007-03-31 20:27:37
[1958] Cckek2007-04-01 13:54:43

Mármint (R,+) és (C,+) között? Mert (x,y) nem R-ből van.

Előzmény: [1957] epsilon, 2007-04-01 12:10:27

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]