Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1987] jonas2007-04-18 08:09:56

315. Persze, hogy fel lehet. Csak egy kis indukció kell hozzá.

Felsorolod az összes (nem konstans) végtelen számtani sorozatot, ami természetes számokból áll. Ilyenből persze csak megszámlálható sok van. Sorba mész rajtuk, és mindegyikből egy elemet beraksz az első halmazba, aztán egyet a második halmazba. Mivel úgy csináltad a felsorolást, hogy mindegyik számtani sorozat előtt csak véges sok másik van, csak véges sok számról döntöttél véglegesen, tehát van még két olyan szám, amivel el tudod rontani a soron jövő sorozatot. Végül a maradék természetes számokat berakod az első halmazba.

Előzmény: [1985] Csimby, 2007-04-18 02:23:52
[1986] Sirpi2007-04-18 07:11:35

Csak nem a konstrukciómról jutott eszedbe ez a feladat? :-)

Előzmény: [1985] Csimby, 2007-04-18 02:23:52
[1985] Csimby2007-04-18 02:23:52

[100\pi]+1. feladat Fel lehet-e bontani a természetes számok halmazát két részhalmazra úgy, hogy egyikben se legyen végtelen számtani sorozat?

[1984] Sirpi2007-04-17 23:55:41

Konstrukió (lehet máshogy amúgy?):

{1},{2,3},{4,5,6,7},{8,9,10,11,12,13,14,15}...

Előzmény: [1983] Yegreg, 2007-04-17 17:05:52
[1983] Yegreg2007-04-17 17:05:52

semmi baj, tényleg gyorsan meg lehet oldani, viszont valóban a konstrukció az érdekesebb része, kíváncsi vagyok, hogy ti is azt a konstrukciót adjátok-e, mint én találtam

[1982] Sirpi2007-04-17 16:04:29

Hát így kapásból log2k elég, és annyi kell is, mert a 2-hatványokat mind külön kupacba kell rakni. Bocs a gyors lelövésért (nem is írom le a teljes konstrukciót), nem ismertem, csak gyorsan végiggondoltam :-) Jó feladat amúgy.

Előzmény: [1981] Yegreg, 2007-04-17 14:38:30
[1981] Yegreg2007-04-17 14:38:30

Egy egyszerű, de szerintem érdekes feladat (ami úgy "jutott eszembe", hogy egy másik feladatot rosszul olvastam el :) )

Adottak az 1, 2, ... k számok. Legalább hány csoportba kell osztani őket, hogy ne legyen egy csoportban sem osztó-többszörös?

[1980] Lóczi Lajos2007-04-17 10:02:58

i-gen, hiszen i^i=e^{i\cdot \ln(i)}=e^{i\cdot (i \pi/2+2\pi m i)}=e^{-\pi/2-2\pi m}, ahol m tetszőleges egész.

Persze i ellentettje éppúgy jó. (Ezután azt a kérdést tettem fel magamnak, van-e még ezeken kívül ilyen tulajdonságú komplex szám. Azt találtam, hogy végtelen sok van, de csak megszámlálható, a valós részüket egy egyszerű képlet megadja, a képzetes részüket meg egy kicsit bonyolultabb. Akinek van kedve, keresse meg ezeket a "rácspontokat" a síkon.)

Előzmény: [1979] ágica, 2007-04-17 07:53:44
[1979] ágica2007-04-17 07:53:44

i? :)

Előzmény: [1978] Lóczi Lajos, 2007-04-17 00:07:56
[1978] Lóczi Lajos2007-04-17 00:07:56

Az egyik lehetséges válasz egy betűs.

Előzmény: [1975] Lóczi Lajos, 2007-04-12 22:53:58
[1977] Lóczi Lajos2007-04-15 20:10:22

Szerintem nem, pl. a k=0 esetben rögtön valós lesz z, amit kizártunk. De mondjuk a k=1, a=\pi esetén kapott z:=\pi+i\pitg (1) sem lesz jó, hiszen tetszőleges m egész szám esetén fennáll, hogy


z^z={\rm{exp}}(z\cdot \ln(z))=
{\rm{exp}}\left(z\cdot \left(\frac{\ln ({\pi }^2 + {\pi }^2{\tg^2 (1)})}{2}+i+2\pi m i\right)\right)=...

Itt véve pl. az m=0 esetet a következő számot kapjuk:


...={\rm{exp}}\left(\frac{\pi \ln ({\pi }^2 + {\pi }^2{\tg^2 (1)})}{2} - \pi \tg (1)\right)\cdot
{\rm{exp}}\left(i\left(
\pi  + \frac{\pi \ln ({\pi }^2 + {\pi }^2{\tg^2(1)})\tg (1)}{2}\right)\right),

ami sajnos nem valós.

Előzmény: [1976] Cckek, 2007-04-15 12:03:09
[1976] Cckek2007-04-15 12:03:09

Talán z=a+ia\tg\left(\frac{k\pi}{a}\right), k\in Z, a\in R^*, a\neq \frac{2k}{p},p\in Z

Előzmény: [1975] Lóczi Lajos, 2007-04-12 22:53:58
[1975] Lóczi Lajos2007-04-12 22:53:58

[100\pi]. feladat. Adjunk példát olyan x komplex, de nem valós számra, hogy xx minden értéke valós.

[1974] Lóczi Lajos2007-04-12 22:48:13

Szerintem is ezek.

Előzmény: [1970] Alma, 2007-04-12 18:28:36
[1973] Lóczi Lajos2007-04-12 22:46:23

Egyetértek.

Előzmény: [1969] Alma, 2007-04-12 18:14:51
[1972] Lóczi Lajos2007-04-12 22:45:43

Az első páros jó, a második viszont nem stimmel.

Előzmény: [1967] Cckek, 2007-04-12 10:43:38
[1971] Alma2007-04-12 18:31:52

Természetesen mindkét megoldásomban k\inZ :)

Előzmény: [1970] Alma, 2007-04-12 18:28:36
[1970] Alma2007-04-12 18:28:36

Azt hiszem meg van a b) is, de egy kicsit más jött ki:

x=ln(\frac4{5\pm3})i+\pi/2+k\pi

Előzmény: [1968] Lóczi Lajos, 2007-04-12 13:53:55
[1969] Alma2007-04-12 18:14:51

Nekem is valami hasonló jött ki, csak én megkaptam a végtelen sok megoldást. Nem kell sokat változtatni az előző megoldáson, csak egy icipicit: a) x=ln(\frac1{2007\pm\sqrt{2007^2-1}})i+2k\pi A b) eseten még nem gondolkoztam.

Előzmény: [1968] Lóczi Lajos, 2007-04-12 13:53:55
[1968] Lóczi Lajos2007-04-12 13:53:55

Mindenesetre valahogy jelezni kellene, hogyan lesz végtelen sok megoldás.

Előzmény: [1967] Cckek, 2007-04-12 10:43:38
[1967] Cckek2007-04-12 10:43:38

b) x=\frac{\pi}{2}\pm i\ln2 és ha nem számoltam el akkor

x=-i\ln\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\pm \rm{arctg}\frac{3\sqrt{11}}{11}

Előzmény: [1965] Lóczi Lajos, 2007-04-11 22:22:31
[1966] Cckek2007-04-12 09:48:16

a) x=-i \ln\left(2007\pm \sqrt{2007^2-1}\right)

Előzmény: [1965] Lóczi Lajos, 2007-04-11 22:22:31
[1965] Lóczi Lajos2007-04-11 22:22:31

313. feladat. Adjuk meg az összes olyan x (komplex) számot, amelyre

a.) cos (x)=2007

b.) \cos^2(x)=-\frac{9}{16}.

[1964] Lóczi Lajos2007-04-10 20:51:34

Be tudnád bizonyítani, hogy pl. az n=1 esetén adódó -\frac{\pi }{3 \sqrt{3}}+\log (3) érték irracionális?

Előzmény: [1963] Cckek, 2007-04-09 10:40:38
[1963] Cckek2007-04-09 10:40:38

Kellemes ünnepeket mindenkinek.

\int_{0}^{1}\frac{(x+1)^n+(x-1)^n}{x^2+x+1}dx mely n-re racionális?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]