Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2012] jonas2007-04-24 13:22:18

Hasonló feladat, hogy rakj le húsz érmét az asztalra úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban öt legyen.

A megoldás, hogy egymásra kell rakni két érmét:

Előzmény: [2008] DirtyD, 2007-04-24 11:48:07
[2011] Sirpi2007-04-24 13:10:26

Nem akartam bő lére ereszteni a magyarázkodást, képet meg pláne nem akartam hekkelni :-) Szóval köszi a kiegészítést, és tényleg így teljes értékű a megoldás.

Előzmény: [2010] jonas, 2007-04-24 12:25:26
[2010] jonas2007-04-24 12:25:26

Ha így tálalod a megoldást, akkor rejtvényújság-szaga van. Mondjuk inkább azt, hogy öt általános helyzetű egyenes metszéspontjai. Ez speciálisan a csillagötszöget is tartalmazza, de más helyzet is elképzelhető.

Előzmény: [2009] Sirpi, 2007-04-24 11:53:50
[2009] Sirpi2007-04-24 11:53:50

Csillagötszög.

Előzmény: [2008] DirtyD, 2007-04-24 11:48:07
[2008] DirtyD2007-04-24 11:48:07

Sziasztok! Még új vagyok és remélem, hogy nem szerepelt még a következő feladat: Van 10 facsemete, amit 5 sorban úgy kellene elültetni, hogy minden sorba 4 csemete legyen! Lehet nagyon gagyi, de a baráti társaságban még senki nem oldotta meg!

[2007] lorantfy2007-04-23 12:05:28

Igazad van! Nógrád Komárom-E-t elnéztem, a másikat megnéztem másik térképen: Bács-Kiskun határos Baranyával.

Előzmény: [2005] jonas, 2007-04-22 18:07:13
[2006] Lóczi Lajos2007-04-23 10:07:03

317. feladat. Bizonyítsuk be, hogy

\int_{0}^{\pi}e^{\cos(x)}\cos(\sin(x)) dx=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\sqrt{2-x^2} dx.

[2005] jonas2007-04-22 18:07:13

Vagyis a gráf szerintem így van helyesen.

Előzmény: [2004] jonas, 2007-04-22 17:57:21
[2004] jonas2007-04-22 17:57:21

Nógrád megye viszont nem szomszédos Komárom-Esztergom megyével, ez a térképen és az atlaszban is így van, de a gráfon hibás.

Előzmény: [2002] lorantfy, 2007-04-22 17:39:23
[2003] jonas2007-04-22 17:47:55

Megnéztem egy atlaszt, abban Bács-Kiskun megye szomszédos Baranyával, míg ezen a képen nem. Lehet, hogy azóta megváltozott?

Előzmény: [1998] lorantfy, 2007-04-21 22:16:26
[2002] lorantfy2007-04-22 17:39:23
Előzmény: [2001] jonas, 2007-04-22 17:08:47
[2001] jonas2007-04-22 17:08:47

Igen, ez már tényleg nehezebb.

Előzmény: [2000] lorantfy, 2007-04-22 10:14:30
[2000] lorantfy2007-04-22 10:14:30

Köszi! Idáig könnyű volt! Még az a kérdés, hogy a 7 megyét hányféleképpen lehet létrehozni?

Előzmény: [1999] jonas, 2007-04-21 23:05:14
[1999] jonas2007-04-21 23:05:14

Ha jól látom, nincs négy páronként szomszédos megye, tehát háromnál többet nem lehet összevonni. Ez azt jelenti, hogy legalább |-19/3-|=7 megye biztosan marad.

Ennyit viszont pont létre lehet hozni.

Előzmény: [1998] lorantfy, 2007-04-21 22:16:26
[1998] lorantfy2007-04-21 22:16:26

306. feladat: Legalább hány megye lesz Magyarországon, ha

1. Bármely két megyét összevonhatunk, ha szomszédosak.

2. Nem kerülhet egy új megyébe két régi megye, ha eredetileg nem voltak szomszédosak.

[1997] Csimby2007-04-19 21:02:54

Ja, megértettem, csak az nem volt világos múltkor, hogy pl. 0,2,4,6,... sorozatból ha beteszed a 2-est az egyik, 4-est a másik halmazba, akkor attól még mi garantálja, hogy 6,8,10,... számtani sorozat nem kerül be teljes egészében az egyik halmazba. Köszi.

Előzmény: [1993] jonas, 2007-04-18 20:54:31
[1996] Csimby2007-04-19 20:52:50

Igen, én is erre gondoltam.

Előzmény: [1992] SAMBUCA, 2007-04-18 20:45:34
[1995] Lóczi Lajos2007-04-19 18:16:46

Csakhogy a kérdésem arra vonatkozott, hogy xx (általában) végtelen sok értéke MIND legyen valós. Ezt a kritériumot az Általad megadott számok már nem mind teljesítik, legyen pl. \phi=1, ekkor xx végtelen sok értéke

x^x=\rm{exp}\left({\frac{ 2 i   m\pi \cos (1)}{e^{\cot (1)}} - 
    \frac{\cos (1)\cot (1)}{e^{\cot (1)}} - \frac{\sin (1)}{e^{\cot (1)}} - 
    \frac{2 m \pi \sin (1)}{e^{\cot (1)}}}\right),

ahol m tetszőleges egész. Ha itt most m=1, akkor nemvalós szám adódik.

Előzmény: [1994] Ali, 2007-04-19 10:50:57
[1994] Ali2007-04-19 10:50:57

Azért ezek egy kicsit többen vannak, és nem feltétlenül rácspontok.

x=e^{-\varphi\cdot\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}+i\varphi} és \varphi\neqk\pi

Előzmény: [1980] Lóczi Lajos, 2007-04-17 10:02:58
[1993] jonas2007-04-18 20:54:31

Akkor megpróbálom mégegyszer elmondani, de még mindig szemléletesen, pontos indukciós feltétel nélkül.

Nyilván csak azokkal a számtani sorozatokkal kell foglalkozni, amiknek a kezdőeleme, és a differenciája is természetes szám (és az utóbbi nem nulla). Ilyen számtani sorozatból csak megszámlálható sok van, valahogy tehát sorba rendezzük őket úgy, hogy mindegyiket hozzárendeljük \omega egyik eleméhez. Például legyen az első sorozat S0={0+1k}, a második S1={1+1k}, a harmadik S2={0+2k}, utána sorban S3={2+1k}, S4={1+2k}, S5={0+3k}, S6={3+1k}, S7={2+2k}, ... A sorrend nem is lényeges, csak az, hogy egy se maradjon ki, tehát minden ilyen számtani sorozat egyenlő Sn-nel valamely n\in\omega-ra.

Utána a két halmazt lépésenként konstruáljuk meg úgy, hogy kiindulunk az A0={} és B0={} üres halmazokból, és bővítjük őket, amíg végül teljesítik a feltételeket. Azt szeretnénk elérni, hogy egyik halmaznak se legyen teljes egészében része valamelyik a fenti számtani sorozatokból, amit úgy érhetünk el, hogy minden számtani sorozatból berakunk egy elemet az A halmazba, és egyet a B halmazba. Ez elég, mert a két halmaz végig diszjunkt lesz.

Így aztán a következőképpen járunk el. Ha már megvan az An és Bn halmaz, akkor ezekből az An+1 és Bn+1 halmazokat egy-egy természetes szám hozzáadásával kapjuk meg, a két számot pedig úgy választjuk ki, hogy (1) mindkettő benne legyen az Sn számtani sorozatban, (2) különbözzenek egyástól és az An\cupBn elemeitől is. Ilyen két számot mindig lehet választani, mert az Sn-nek végtelen sok eleme van, de An\cupBn véges, így még mindig végtelen sok szám marad nekünk, amelyek közül kettőt ki kell választani.

Például tegyük fel, hogy A1={0},B1={1},A2={0,2},B2={1,3}. Utána S2={0+2k}={0,2,4,6,8,....} amiből ki kell válsztanunk két olyan elemet, ami az A2\cupB2-ben nincs benne, ezek lehetnek a 4 és a 6, így aztán A3={0,2,4},B3={1,3,6} stb.

Miután így minden n\in\omega-ra megkaptuk az An és Bn halmazokat, legyen A*=\cupnAn és B*=\cupnBn. Ez a két halmaz diszjunkt, és mindkettő tartalmaz legalább egy elemet minden érdekes számtani sorozatból. Az viszont még nem feltétlenül teljesül, hogy együtt minden természetes számot tartalmaznának (noha úgy is könnyen végre lehetne hajtani az indukciós lépést, hogy ez is teljesüljön), ezért legyen A=\omega-B* és B=B*. Mivel A*\subsetA és B*\subsetB, ezért továbbra is mindkét halmazban van minden sorozatból elem, viszont az is igaz, hogy A\cupB=\omega és A\capB=0. Ezért aztán az A és a B halmaz teljesíti a feltételeket.

Előzmény: [1989] Csimby, 2007-04-18 17:08:10
[1992] SAMBUCA2007-04-18 20:45:34

Na most hátha:)

(1)(4,5,6)(11,12,13,14,15)(22,23,24,25,26,27,28)...

(2,3)(7,8,9,10)(16,17,18,19,20,21)(29,30,31,32,33,34,35,36)...

azaz 1 ide, 2 oda, 3 ide, ...

Előzmény: [1985] Csimby, 2007-04-18 02:23:52
[1991] SAMBUCA2007-04-18 20:35:48

jó, ezt kéretik nem elolvasni :)

Előzmény: [1990] SAMBUCA, 2007-04-18 20:34:57
[1990] SAMBUCA2007-04-18 20:34:57

Prímek, nemprímek?

Előzmény: [1985] Csimby, 2007-04-18 02:23:52
[1989] Csimby2007-04-18 17:08:10

Biztosan bennem van a hiba, de nem teljesen értem a megoldásodat. Mindenesetre meg lehet adni két konkrét halmazt melyekről rögtön látszik hogy jók. És Sirpinek igaza van :-)

Előzmény: [1987] jonas, 2007-04-18 08:09:56
[1988] Yegreg2007-04-18 16:53:38

érdekes, Sirpi konstrukciója sokkal természetesebb, mint az enyém, nekem eszembe sem jutott, de akkor már leírom az enyémet is: a számok kanonikus alakjában a prímkitevők összege szerint csoportosítunk. Így elég [log2(n)]+1 csoport, és nyilván nem lesz egy csoportban osztó és többszörös.

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]