[2057] Yegreg | 2007-05-04 16:24:05 |
Igazoljuk, hogy ha x1,x2,...,xn pozitív számok, akkor !
|
|
|
|
[2054] HoA | 2007-05-04 13:48:37 |
Attól még nem hibás egy feladat, hogy több megoldása van. Ha a kitűző azt szeretné, hogy csak egy legyen, szigorítsa a feltételeket. Tehát a 324. feladatra rímelő kitűzés: Hogyan lehet 6 gyufaszálból 4 olyan szabályos háromszöget kirakni, melyek oldala egy gyufaszál hosszú ?
|
Előzmény: [2053] jonas, 2007-05-04 13:25:40 |
|
|
|
[2051] Fálesz Mihály | 2007-05-04 10:47:19 |
324. feladat. Négy hajó halad a tengeren, bármelyik kettő távolsága pontosan 200 méter. Az egyik egy motorcsónak, a második egy jacht, a harmadik vitorlás hajó. Milyen hajó a negyedik?
|
|
[2050] Lóczi Lajos | 2007-05-03 22:15:57 |
Akkor most már elő van készítve a terep, hogy kiszámoljuk,
323. feladat. Mennyi a kvaterniók körében ij? (Mivel nálam rosszul olvasható: "i a j-ediken".)
|
|
|
|
[2047] jonas | 2007-05-03 15:58:36 |
A másik lehetőség a megoldásra az, hogy a kvaterniók gyűrűjét egy mátrixgyűrűként reprezentáljuk:
Így
Amin pedig a szokásos módon elvégezhetjük az exponenciálást (ezt elvileg zárt képlettel is ki lehetne fejezni, mert a mátrix 4x4-es, tehát a sajátértékeket legfeljebb negyedfokú egyenlet megoldásaként kaphatjuk). Így aztán az eredmény
Ezt pedig csak ki kell fejezni az 1,i,j,k-nak megfelelő mátrixok kombinációjaként, és megkapjuk, hogy eh=-7.03+0.75i+1.25j+1.76k.
|
|
|
[2045] Lóczi Lajos | 2007-05-03 00:53:09 |
Még mindig nem egészen értem. Amikor pl. levezetjük az eix=cos (x)+isin (x) összefüggést, akkor vajon használjuk-e az i2=-1 tulajdonságot? Ha igen, akkor nem látom, hogy i helyett m-et írva ennek helyessége hogyan marad meg, ha egyszer m2-1.
|
Előzmény: [2043] jonas, 2007-05-03 00:40:04 |
|
|
|
[2042] Lóczi Lajos | 2007-05-02 23:19:26 |
Két megjegyzésem van: az utolsó numerikus értékeid nincsenek összhangban az utolsó gyökös formulával.
A másik dolog fontosabb: felhasználtad az exponenciális függvény "szokásos" tulajdonságát, nevezetesen, hogy exp(a+b)=exp(a).exp(b). Ez azonban a nemkommutatív kvaterniók között általában nem áll fenn: ellenőrizhető, hogy pl. az exp(i).exp(j), exp(i+j) és exp(j).exp(i) kvaterniók mind különbözőek! Az érvelésedet ebből a szempontból tehát újra át kell vizsgálni.
|
Előzmény: [2038] jonas, 2007-05-02 16:57:17 |
|
[2041] Lóczi Lajos | 2007-05-02 22:54:49 |
(Csak egy apró megjegyzés: a reziduumtételben a jobboldali szummában az összegzést nem csak a pólusokra végezzük el, hanem az összes (izolált) szinguláris helyre, ami tehát a póluson felül lehet még lényeges szingularitás is.)
|
Előzmény: [2039] nadorp, 2007-05-02 20:29:29 |
|
|
|
|
[2037] Lóczi Lajos | 2007-05-01 16:39:17 |
Hm, a végeredményt tudva a bizonyítás már egyszerű.
Nyilván feltehető, hogy x0<y0, ekkor minden további tag pozitív lesz az iterációban. Könnyen igazolható, hogy létezik közös véges határérték, amit jelöljünk tehát L(x0,y0)-lal. Már részben említettem korábban, hogy L-re igazak az alábbiak: tetszőleges r>0 szám esetén
L(rx0,ry0)=rL(x0,y0), és nyilván
L(x0,y0)=L(xn,yn).
Jelölje 0<a<b esetén a megadott függvényt. Fel fogjuk használni, hogy .
Némi számolással igazolható, hogy tetszőleges r>0 és 0<a<b esetén f(ra,rb)=rf(a,b), illetve , vagyis f ugyanazokat a függvényegyenleteket teljesíti, mint L.
Ebből azt kapjuk, hogy
A jobb oldal n esetén tart -hoz, amiből kapjuk, hogy 0x0<y0 esetén
Megjegyzések, kérdések.
1. A bizonyítás kulcsa az volt, hogy képlettel megadtak számunkra egy olyan kétváltozós függvényt, amelyre igaz az függvényegyenlet. Vajon hogyan lehet erre rájönni? (Egy differenciálegyenlet megoldásaként egyébként származtatható ez az f, csak nem látom a kapcsolatot a függvényegyenlet és a differenciálegyenlet között.)
2. A feladat ősében, a Gausstól származó számtanimértaniközép-sorozat esetében az f(a,b) függvény szerepét az
elliptikus integrál játssza. Erre az analóg transzformációs tulajdonság igaz. Állítólag ezt az változócserével lehet belátni, de nekem nem sikerült eddig.
322. feladat. Igazoljuk, hogy a,b>0 esetén
3. Mi lehet a mi feladatunkban a mögöttes integrálreprezentáció? Ez választ adhat arra a megfigyelésemre is, hogy hogyan kell kiszámolni értékét akkor, ha 0y0x0. (Tulajdonképpen a megadott f(a,b) függvény ebben az esetben is jónak tűnik, és helyes eredményt ad, csak komplex számokkal kell menet közben számolnunk.)
|
Előzmény: [2036] Cckek, 2007-05-01 14:16:56 |
|
|
[2035] Lóczi Lajos | 2007-04-30 01:31:36 |
Vagy kicsit rendezettebb formában:
jelölje L(x0,y0) a sorozatok közös limeszét a kezdőérték függvényében. Mivel pozitív r>0 esetén fennáll az
L(rx0,ry0)=rL(x0,y0)
skálázási tulajdonság, elég csak az L(1,y0) alakú értékekkel foglalkoznunk, ahol y0>1. Így
,
illetve a két kilógó érték, amit megtaláltam:
L(0,1)=2/, és a meglepő (ami nincs a feladatban, mivel itt x0>y0).
Nos ezekre kellene keresni valami szép integrálformulát...
|
Előzmény: [2034] Lóczi Lajos, 2007-04-30 00:51:38 |
|
[2034] Lóczi Lajos | 2007-04-30 00:51:38 |
Némi kísérletezéssel az alábbiakat kaptam:
Ha (x0,y0)=(0,y0), akkor a közös limesz 2y0/.
Ha (x0,y0)=(1,2), akkor a közös limesz .
Ha , akkor a közös limesz 4/.
Sajnos ebből még nem tudom megsejteni a limeszfüggvény formáját a kezdőértékek függvényében, de könnyen elképzelhető, hogy a számtanimértaniközép-sorozathoz hasonló elliptikus integrál áll a háttérben, és akkor reménytelen lenne a tippelgetés...
|
Előzmény: [2027] Cckek, 2007-04-28 11:36:13 |
|
|