Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2069] BohnerGéza2007-05-09 00:16:06

Elnézést! A 325. feladat van az előző hozzászólásban.

Előzmény: [2068] BohnerGéza, 2007-05-09 00:12:34
[2068] BohnerGéza2007-05-09 00:12:34

Mutassuk meg, hogy tetszőleges n pozitív egészre van n db pithagóraszi számhármas, melyekben az átfogó (vagy az egyik befogó) megegyezik!

[2067] Gubbubu2007-05-08 23:06:13

Persze, persze. Volt egy fizkémofő tanárom, aki mindig azt mondta: "ne azt írjátok, amit mondok, hanem amit gondolok" :-)).

Előzmény: [2066] Sirpi, 2007-05-08 16:23:26
[2066] Sirpi2007-05-08 16:23:26

Ha már kötözködés, akkor a halászbárka nem 200m-es, hanem \sqrt {\frac 23} \cdot 200 méteres hullám tetején kell, hogy legyen ;-)

Előzmény: [2064] Gubbubu, 2007-05-08 15:46:12
[2065] Gubbubu2007-05-08 15:47:25

Ugyanezen okok miatt a "léghajó" még kevésbé egzakt megoldás, hiszen ha a léghajó a tengeren halad, akkor ott valószínűleg valami baj történt :-)).

Előzmény: [2064] Gubbubu, 2007-05-08 15:46:12
[2064] Gubbubu2007-05-08 15:46:12

A negyedik egyértelműen egy halászbárka, amelyet egy 200 méter magas hullám épp a csúcsára vett. A másik három vízijármű egy 200 méter oldalhosszúságú egyenlőszárú háromszög három csúcsát alkotja, melyek mindegyike 200 méter távolságra van a halászbárkától.

A "tengeralattjáró" kifogásolható megoldás, mivel nem a szó szoros értelmében a "tengeren" halad, hanem a tenger>ben< (kivéve persze, ha épp felszíni üzemmódban halad. De akkor meg nem a szó szoros értelmében vett tengeralattjáró, hanem tengeralattjáró, amelyet halászbárkának használnak).

Ez az egzakt megoldás.

Előzmény: [2051] Fálesz Mihály, 2007-05-04 10:47:19
[2063] Cckek2007-05-06 18:29:46

324.feladat Határozzuk meg azon n-edrendű permutációk számát melyekre |p(i)-i|\lei

[2062] Cckek2007-05-06 18:15:46

Írhatjuk: 1=\frac{\sum_{i=1}^n(\sin^2y_i+\cos^2y_i)}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n\sin^2y_i}{n}+\frac{\sum_{i=1}^n\cos^2y_i}{n}\ge \root{n}\of{\prod_{i=1}^n\sin^2y_i}+\root{n}\of{\prod_{i=1}^n\cos^2y_i},

tehát

\frac{1}{\root{n}\of{\prod_{i=1}^n\cos^2y_i}}\ge 1+\frac{\root{n}\of{\prod_{i=1}^n\sin^2y_i}}{\root{n}\of{\prod_{i=1}^n\cos^2y_i}},

az-az

\root{n}\of{\prod_{i=1}^n(1+\tg^2y_i)}\ge 1+\root{n}\of{\prod_{i=1}^n\tg^2y_i}.

Ha \tg^2y_i=x_i, i=\overline{1,n} kapjuk a kivánt egyenlőtlenséget.

Előzmény: [2057] Yegreg, 2007-05-04 16:24:05
[2061] Lóczi Lajos2007-05-05 01:07:51

Definiáljuk kétféleképp, és mindkét értelemben számoljuk ki, úgy, mint ij=elog (i).j, illetve, mint ij=ej.log (i), ahol log (i) (végtelen sok) értékei azon q kvaterniók, melyekre eq=i.

Előzmény: [2060] Lóczi Lajos, 2007-05-05 01:03:05
[2060] Lóczi Lajos2007-05-05 01:03:05

Pár kérdés, amit nem értek:

1. Miért lenne log j=j\pi/4 ? Szerintem nem az.

2. Valósban sem a kitevő, hanem az alap logaritmusát vesszük egy hatvány definíciójakor, tehát nem jó formulából indulsz ki.

3. exp(k\pi/4) értéke nem k.

Előzmény: [2059] jonas, 2007-05-04 22:53:31
[2059] jonas2007-05-04 22:53:31

Jó kérdés.

Azt ugye tudjuk, hogy log j=j\pi/4, így azt mondhatnánk, hogy ij=exp(ilog j)=exp(ij\pi/4)=exp(k\pi/4)=k. Viszont ugyanígy mondhatnánk, hogy ij=exp(log j.i)=-k. Nem tudom, melyik a helyes, és egyáltalán azt sem, hogy értelmezve van-e a hatvány.

Az előző e alapú hatvány azért volt értelmezve, mert egy valós együtthatós hatványsorba bármilyen kvaternió elemet (vagy mátrixot) be tudunk helyettesíteni, hiszen egy elem hatványai felcserélhetőek egymással és a komplex számokkal is. Ezzel szemben az ix már nem valós, hanem komplex együtthatós hatványsor, amibe pedig nem helyettesíthetünk be akármilyen kvaterniót. Ha j-t az előzőhez hasonlóan egy 4x4-es valós mátrixként fogjuk fel, és behelyettesítjük a komplex hatványsorba, akkor egy nem valós komplex mátrixot kapunk, amit nem foghatunk fel kvaternióként.

Előzmény: [2050] Lóczi Lajos, 2007-05-03 22:15:57
[2058] lorantfy2007-05-04 21:20:01

Inkább léghajó, mert nem biztos, hogy a tenger mélysége elegendő.

Előzmény: [2055] Matthew, 2007-05-04 13:50:58
[2057] Yegreg2007-05-04 16:24:05

Igazoljuk, hogy ha x1,x2,...,xn pozitív számok, akkor \root{n}\of{(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)}\geq 1+\root{n}\of{x_1x_2...x_n} !

[2056] Fálesz Mihály2007-05-04 15:02:03

Igen. Esetleg léghajó. :-)

Előzmény: [2055] Matthew, 2007-05-04 13:50:58
[2055] Matthew2007-05-04 13:50:58

tengeralattjáró?

Előzmény: [2051] Fálesz Mihály, 2007-05-04 10:47:19
[2054] HoA2007-05-04 13:48:37

Attól még nem hibás egy feladat, hogy több megoldása van. Ha a kitűző azt szeretné, hogy csak egy legyen, szigorítsa a feltételeket. Tehát a 324. feladatra rímelő kitűzés: Hogyan lehet 6 gyufaszálból 4 olyan szabályos háromszöget kirakni, melyek oldala egy gyufaszál hosszú ?

Előzmény: [2053] jonas, 2007-05-04 13:25:40
[2053] jonas2007-05-04 13:25:40

Ezt a feladatot Mérő László megemlíti az egyik könyvében. Szerintem viszont ez a feladat hibás, mert van egy másik megoldása is:

Előzmény: [2052] HoA, 2007-05-04 11:25:23
[2052] HoA2007-05-04 11:25:23

Aki ezt a fórumot látogatja és nem ismeri ezt a feladatot, az talán azt sem tudja, hogy lehet 6 gyufaszálból 4 szabályos háromszöget kirakni :-)

Előzmény: [2051] Fálesz Mihály, 2007-05-04 10:47:19
[2051] Fálesz Mihály2007-05-04 10:47:19

324. feladat. Négy hajó halad a tengeren, bármelyik kettő távolsága pontosan 200 méter. Az egyik egy motorcsónak, a második egy jacht, a harmadik vitorlás hajó. Milyen hajó a negyedik?

[2050] Lóczi Lajos2007-05-03 22:15:57

Akkor most már elő van készítve a terep, hogy kiszámoljuk,

323. feladat. Mennyi a kvaterniók körében ij? (Mivel nálam rosszul olvasható: "i a j-ediken".)

[2049] Lóczi Lajos2007-05-03 22:12:06

Igen, erre gondoltam eredetileg.

Előzmény: [2047] jonas, 2007-05-03 15:58:36
[2048] Csimby2007-05-03 19:12:41

Ez tök jó!

Előzmény: [2047] jonas, 2007-05-03 15:58:36
[2047] jonas2007-05-03 15:58:36

A másik lehetőség a megoldásra az, hogy a kvaterniók gyűrűjét egy mátrixgyűrűként reprezentáljuk:

 1 \mapsto \left(\matrix{1&0&0&0\cr0&1&0&0\cr0&0&1&0\cr0&0&0&1\cr}\right)

 i \mapsto \left(\matrix{0&0&1&0\cr0&0&0&-1\cr-1&0&0&0\cr0&1&0&0\cr}\right)

 j \mapsto \left(\matrix{0&1&0&0\cr-1&0&0&0\cr0&0&0&1\cr0&0&-1&0\cr}\right)

 k \mapsto \left(\matrix{0&0&0&1\cr0&0&1&0\cr0&-1&0&0\cr-1&0&0&0\cr}\right)

Így

 h = 2+3i+5j+7k \mapsto \left(\matrix{2&5&3&7\cr-5&2&7&-3\cr-3&-7&2&5\cr-7&3&-5&2\cr}\right)

Amin pedig a szokásos módon elvégezhetjük az exponenciálást (ezt elvileg zárt képlettel is ki lehetne fejezni, mert a mátrix 4x4-es, tehát a sajátértékeket legfeljebb negyedfokú egyenlet megoldásaként kaphatjuk). Így aztán az eredmény


e^h \mapsto \left(\matrix{-7.03&1.25&0.75&1.76\cr-1.25&-7.03&1.76&-0.75\cr-0.75&-1.76&-7.03&1.25\cr-1.76&0.75&-1.25&-7.03\cr}\right)

Ezt pedig csak ki kell fejezni az 1,i,j,k-nak megfelelő mátrixok kombinációjaként, és megkapjuk, hogy eh=-7.03+0.75i+1.25j+1.76k.

[2046] Lóczi Lajos2007-05-03 00:59:15

Nem írtam jót az előbb. Persze m2=-1, most már értem. Szép érvelés.

Előzmény: [2045] Lóczi Lajos, 2007-05-03 00:53:09
[2045] Lóczi Lajos2007-05-03 00:53:09

Még mindig nem egészen értem. Amikor pl. levezetjük az eix=cos (x)+isin (x) összefüggést, akkor vajon használjuk-e az i2=-1 tulajdonságot? Ha igen, akkor nem látom, hogy i helyett m-et írva ennek helyessége hogyan marad meg, ha egyszer m2\ne-1.

Előzmény: [2043] jonas, 2007-05-03 00:40:04

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]