Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1452] jenei.attila2004-01-06 10:55:56

Sziasztok!

A 41.feladat megoldása

A feltételekből következik, hogy p|ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de -nek. A szimmetrikus polinomok alaptétele szerint mindem szimmetrikus polinom előáll elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként. Ez alapján:

a5+b5+c5+d5+e5=5abcde+(a+b+c+d+e)5-

-5(a+b+c+d+e)3(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)+5(a+b+c+d+e)(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)2+

+5(a+b+c+d+e)2(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)-

-5(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)-

-5(a+b+c+d+e)(abcd+abce+abde+acde+bcde)

. Innen már látszik a feladat állítása.

Előzmény: [182] Pach Péter Pál, 2003-12-08 20:18:19
[205] GJ2004-01-05 19:35:20

46.feladat p prím,tehát 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad tehát ha p maradéka 1 (3-mal osztva)->p+2 maradéka (3-mal osztva) 0->p+2 nem prím hasonlóan ha p maradéka 3-mal osztva 2,akkor p-2 maradéka 0(3-mal soztva)->p-2 nem prím

vagyis nincs az 5-ön kívül ilyen p prím

Előzmény: [204] Gubbubu, 2004-01-05 19:22:37
[204] Gubbubu2004-01-05 19:22:37

Üdvözlök mindenkit!

A két ünnep között egy nap azzal szórakoztam, hogy a természetes számok során valameddig végigmenve a számokat különféle nevezetes sorozatokba soroltam. Ennek során egész érdekes, könnyebb-nehezebb problémákra bukkantam, sokat egyáltalán nem tudok vagy nincs időm megoldani, de hátha másokat érdekel. Néhány példa:

46. feladat:

Van-e olyan p prím az 5-ön kívül, amelyre p-2, p és p+2 is prím? Keressünk minél többet, vagy lássuk be hogy nincs.

47. feladat:

Lássuk be vagy cáfoljuk meg, hogy 6 az egyetlen szám (poz. egész, egész, rac., valós vagy komplex), amely ugyanazon számtani sorozat elemeinek egyszerre az összege és a szorzata!

47. feladat:

Oldjuk meg a n2+1=2n egyenletet!

Egyenlőre ennyi.

(Várhatóan hétvégén jövök újra, addig megoldani!)

[203] jenei.attila2004-01-05 15:27:03

Kedves István!

A Te megoldásoddal az a baj, hogy miközben az x végigmegy a megfelelő egész számokon, nem biztos, hogy 1-től egyesével növekedve kapjuk a számokat [P/Q*x]-ből, hanem a sorozatban az egymás utáni tagok [P/Q]-val, vagy [P/Q]+1 -gyel növekszenek.

Vegyük a derékszögű koordináta rendszerben a P/Q meredekségű, origón áthaladó egyenest, és tekintsük az x=1, y=1, és x=[Q/2], y=[P/2] egyenesek által határolt téglalapot. Ekkor a bizonyítandó egyenlőség mindkét oldala, a téglalapban található rácspontok (mindkét koordinátája egész) számát adja (a határokat is beleértve). Ugyanis [P/Q*x] az x-en áthaladó függőleges egyenesen fekvő, P/Q meredekségű egyenes alatti, a szóbanforgó téglalapba eső rácspontok száma. Ha x végigfut a megfelelő egész számokon, nyilván megkapjuk az összes, téglalapba eső, P/Q meredekségű egyenes alatti rácspontok számát. A másik szumma ugyanígy az egyenes feletti rácspontok számát adja. A feltételek biztosítják, hogy nem esik rácspont a P/Q meredekségű egyenesre, így minden pontot csak egyszer számolunk. Márészt a jobboldali kifejezés közvetlenül a téglalapban fekvő rácspontok számát adja.

Előzmény: [194] lorantfy, 2003-12-17 23:58:40
[202] Efperef2004-01-04 18:11:51

Kössz!!! :-)))

Előzmény: [201] Geg, 2004-01-01 20:01:09
[201] Geg2004-01-01 20:01:09

Ugy, hogy a piros es a zold haromszogek nem hasonloak.

Előzmény: [200] Efperef, 2004-01-01 16:52:47
[200] Efperef2004-01-01 16:52:47

Hogyan lehetséges???

[199] lorantfy2003-12-29 14:48:13

44. feladat: Arkhimédész "problema bovinum"-a (kb. 2222 éves faladat!) Volt a Napistennek egy bikákból és tehenekből álló csordája, amelyiknek egyik része fehér, egy másik része fekete, egy harmadik része tarka és egy negyedik része barna marhákból állt. A fehér bikák száma a fekete bikák számának felével meg egyharmadával volt több, mint a barna bikáké, a feketéké a tarka bikák számának negyedével meg ötödével, a tarkáké pedig a fehérek számának egyhatodával meg egyhetedével. A fehér tehenek száma az összes fekete marhák számának egyharmada meg egynegyede volt, a fekete tehenek száma az összes tarka marhák számának egynegyede meg egyötöde, a tarka tehenek száma az összes barna marhák számának egyötöde meg egyhatoda, a barna tehenek száma az összes fehér marha számának egyhatoda meg egyhetede. Hogyan tevődött össze a csorda a különböző színű állatokból?

Szilveszter utáni önteszthez ajánlom ezt a feladatot! (Magamhoz tértem-e már?)

(A feladat Heinrich Dörrie: A DIADALMAS MATEMATIKA c. könyvében található.)

[198] Pach Péter Pál2003-12-18 19:48:53

Úgy látszik, félreérthető volt a feladatom. Elnézést mindenkitől.

A feladatban [a] az a szám (alsó) egészrészét jelöli.

Előzmény: [194] lorantfy, 2003-12-17 23:58:40
[197] Ratkó Éva2003-12-18 16:18:12

34. feladat: Jártam a színházban, és beszéltem egy jegyszedövel is, aki természetesen tiltakozott. Szerinte csak véletlenül nem tudtak visszaadni. Annyit megtudtam, hogy 1000 Ft apróval indítják útnak a jegyszedöket, illetve 450 és 650 Ft-os árai vannak a füzeteknek (ennyi jutott akkor eszébe, persze lehet, hogy van más ár is). Így azt a kérdést tudjuk feltenni, hogy hány füzetet tud egy jegyszedö eladni legalább p valószínüséggel. És ha nem akarunk teljesen sötétségben tapogatózni, valamiféle felmérést kellene végezni arról, hogy milyen valószínüséggel van valakinél apró (ezt természetesen alaposan átgondolt kérdések formájában).

[196] lorantfy2003-12-18 12:42:47

Kedves Géza!

Köszönet a segítségért! Közben rájöttem, hogy ennyire egyszerű a megoldás. Gondolkodom a 34.c-n. Sajnos a Catalan-számokról fogalmam sincs. Akinek van segíthet!

Pontosítás az előző hozzászólásomhoz:

A 42. feladatról van szó!

Előzmény: [195] Kós Géza, 2003-12-18 10:52:47
[195] Kós Géza2003-12-18 10:52:47

A < és > karaktereknek nincs semmilyen különleges jelentése, minden további nélkül működnek.

A 34c feladatra létezik teljesen számolásmentes megoldás is. :-)

Előzmény: [193] lorantfy, 2003-12-13 11:00:24
[194] lorantfy2003-12-17 23:58:40

41. feladathoz: Legyen P=2p+1 és Q=2q+1, ahol p,q pozitív egész számok.

Ekkor a jobb oldal:

 \frac{(P-1)(Q-1)}{4} =\frac{(2p+1-1)(2q+1-1)}{4}=pq

Bal oldalon az első szumma, miközben x végigsöpör az adott intervallumon, előállítja az egész számok összegét 1-től p-ig.

\sum_{0<x<\frac{Q}{2}}{\left[\frac{Px}{Q}\right]}=1+...+ 
\left[\frac{(2p+1)(2q+1)}{(2q+1)2}\right]=1+...+\left[p+\frac{1}{2}\right]=1+...+p= \frac{p^2+p}{2}

Hasonlóan a második szumma is. Így a bal oldal: \frac{p^2+p+q^2+q}{2} \ne pq

(P=3, Q=5 esetén 1+2\ne2)

Szóval itt valami baj van. Lehet, hogy tévedek, de valaki legalább hozzászól!

Előzmény: [182] Pach Péter Pál, 2003-12-08 20:18:19
[193] lorantfy2003-12-13 11:00:24

34.c) feladat b része

Ha a füzeteket áruló néni előrehívja azt az „x” számú embert aki 500 Ft-al tud fizetni, akkor miután eladta nekik a füzetet (k+x) 500Ft-os bankjegye lesz, hogy visszaadjon a megmaradó (n-x) 1000 Ft-al fizetőnek. Mikor nem tud visszaadni? Ha

 k+x \le n-x \quad \implies \quad x \le \frac{n-k}{2}

(Egyenlőség NINCS, csak nem találok külön kisebb jelet! Segítség!)

Legyen  m=\frac{n-k}{2} (Elnézést! Az előző hozzászólásban ezt rosszul írtam!)

Tehát, ha az n ember közül csak 0,1,2 … m-1 tud 500 Ft-al fizetni, akkor nem tud a néni visszaadni. Ezen esetek összege:

 \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{m-1}

A p2 valószínűség, (2n az összes esetek száma)

p_22^n=\sum_{i=1}^{m-1} \binom{n}{i}

Tehát p1=2p2

Előzmény: [192] lorantfy, 2003-12-12 23:59:35
[192] lorantfy2003-12-12 23:59:35

Kedves Fórumosok!

Érdemes "beleélni" magatokat ebbe a füzeteladási feladatba, mert bár lassan de szépen alakul.

Próbáljuk megfogalmazni a bináris fa alapján készült előző táblázat eredményét általánosan.

k db 500 Ft van kezdetben az eladónál és n emberünk van.

Legyen az egyszerűbben írhatóság kedvéért k és n páros!

m=\frac{k}{2}, E= az eladott könyvek száma, S=esetek száma.

E= ... k k+1 k+2 k+3 ... n-4 n-3 n-2 n-1 n
S= 0 \binom{n}{0} \binom{n}{0} \binom{n}{1} \binom{n}{1} \binom{n}{m-2} \binom{n}{m-2} \binom{n}{m-1} \binom{n}{m-1} \sum

Az, hogy a néni valamikor nem tud visszaadni azt jelenti nem adott el minden könyvet. Ezen esetek számának összege:

p_12^n=2\sum_{i=0}^{m-1}\binom{n}{i}

Megvan a 34.c) feladat a) részének p1 valószínűsége.

Már csak azt kell belátni, hogy

p_22^n=\sum_{i=0}^{m-1}\binom{n}{i}

de erre már csak holnap kerülhet sor. :-)

Előzmény: [191] lorantfy, 2003-12-12 00:48:45
[191] lorantfy2003-12-12 00:48:45

Kedves Fórumosok!

Egy rövid folytatásra futotta ma az időmből, remélve, hogy lesz aki bekapcsolódik.

Ha k értékét 1-el növeljük akkor azon esetekben, ahol eddig 0 db-ot adtunk el, most 1-et fogunk, ahol eddig 1-et, most 2 db-ot adunk el... Az esetek száma 1-el nagyobb db-számra tolódik el. n= 5 esetében ezt mutatja a táblázat. Az 5-ös eladás oszlopában összegződnek a jobbra tolódó értékek. Jobb oldalon annak a valószínüsége \phi, hogy minden (5db) könyvet eladtunk. (Az esetek számával (25=32) osztottam az 5 db-os eladások számát.)Annak valószinüsége, hogy a néni valamikor nem tudott visszaadni 1-\phi, hiszen akkor nem adott el minden könyvet. Tehát csak ezt kell n-re megfogalmazni és megvan Géza 34.c) feladatának a) része!

k 0 1 2 3 4 5 \phi
0 1 1 5 5 10 10 \frac{10}{32}
1 0 1 1 5 5 20 \frac{20}{32}
2 0 0 1 1 5 25 \frac{25}{32}
3 0 0 0 1 1 30 \frac{30}{32}
4 0 0 0 0 1 31 \frac{31}{32}
5 0 0 0 0 0 32 1
Előzmény: [186] lorantfy, 2003-12-10 13:41:47
[190] Hajba Károly2003-12-12 00:23:33

Kedves László!

Gratula!

HK

Előzmény: [189] lorantfy, 2003-12-11 22:40:16
[189] lorantfy2003-12-11 22:40:16

Megoldás a 43. feladatra:

A háromszög körülírt körének O középpontja csak akkor van a háromszög kerületén, ha az derékszögű. Ekkor viszont az M magasságpont a derékszögű csúcsba esik. Így OM = R= AB/2, OM csak a rövidebbik befogóval egyezhet meg. Tehát a háromszög szögei 30-60-90 fok. Szerkesztése: 2OM=AB fölé Thálesz kört, aztán A-ból OM=R-el körözve kimetszük a C pontot. (A feladat szövegében ez áll:„tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is” - ez csak annyit jelent, hogy azt még nem tudjuk, hogy a másik végpontja is (De mostmár tudjuk!), nem pedig azt, hogy a másik végpontja nem lehet a háromszög pontja)

Euler egyenes: A háromszög O, S, M ponjai erre az egyenesre esnek. Ráadásul MS=2OS.

Aki kíváncsi az Euler egyenes nevezetes pontjai és a beírt kör K középpontjának kapcsolatára, nézze meg a „Nehezebb matematikai problémák” témában Rácz Béla 7. feladatát.

Előzmény: [188] Hajba Károly, 2003-12-11 01:06:29
[188] Hajba Károly2003-12-11 01:06:29

Elnézést, pontosítok:

43. feladat: Legyen adott egy háromszög Euler-féle OM szakasza; tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is ill. a háromszög egyik oldalhossza megegyezik az OM szakasz hosszával. Szerkesszük meg a háromszöget!

HK

Előzmény: [187] Hajba Károly, 2003-12-11 01:03:40
[187] Hajba Károly2003-12-11 01:03:40

35. feladat: Legyen adott egy háromszög Euler-féle OM szakasza; tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is ill. a háromszög egyik oldalhossza megegyezik az OM szakasz hosszával. Szerkesszük meg a háromszöget!

HK

[186] lorantfy2003-12-10 13:41:47

Kedves Fórumosok!

Reméltem, hogy valakinek megtetszik ez a bináris fa, de még nem késő! Felírtam a csúcsokhoz az eladások számát. A táblázatban az első oszlopban az n értéke, a következő oszlopokban az áll, hogy adott n esetén hány esetben volt 0,1,2,3,4,5 füzet eladás.

n 0 1 2 3 4 5
1 1 1  
2 1 1 2
3 1 1 3 3
4 1 1 4 4 6
5 1 1 5 5 10 10

Ezek a számsorok mindenkinek ismerősek (Pascal hrsz. Binomiális tétel) A sorrend kicsit más. Remélhetőleg valaki be is bizonyítja, én most csak ebből a pár értékből általánosítok: Legyen  \frac n2 egész része: m. Ekkor a 2n esetből  \binom nm esetben fogunk n db füzetet eladni k=0 befektettéssel. Következik k értékének 1-el való növelése. Ekkor ennek a fának a jobb oldali (fél) részfájára kell áttérni.

Előzmény: [184] lorantfy, 2003-12-09 12:37:33
[185] Kós Géza2003-12-10 13:16:34

Egy kis érdekesség.

Továbbra is feltételezzük , hogy a vendégeknél 50-50% valószínűséggel van egyetlen 500 vagy egyetlen 1000 forintos bankjegy. A vendégek száma n, a jegyszedőnél kezdetben k darab 500 forintos van.

a) A vendégek véletlenszerűen sorbaállnak, fizetnek, a jegyszedő néni visszaad, ha tud. Jelöljük p1-gyel annak a valószínűségét, hogy valamikor nem tud visszaadni.

b) A jegyszedő úgy dönt, hogy a sorban előrehívja azokat, akiknél 500 forintos pénz van. Jelöljük p2-vel annak a valószínűségét, hogy így sem sikerül mindenkinek visszaadni.

34.c feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha n és k azonos paritású, akkor p1=2p2.

(A Catalan-számokat jól ismerők előnyben!)

Előzmény: [138] Ratkó Éva, 2003-12-03 14:33:47
[184] lorantfy2003-12-09 12:37:33

Pontosítás az előzőhöz:

A következő vevőnek 50% eséllyel van 500 Ft-osa és 50%, hogy 1000 Ft-osa van. Ez végig állandó. (Nem függ attól, hányan fizettek már pl. 1000 Ft-al.)

Előzmény: [183] lorantfy, 2003-12-09 01:07:25
[183] lorantfy2003-12-09 01:07:25

Kedves Éva!

Egy újabb próbálkozás:

34.b feladat

n db füzetet szeretnénk eladni n embernek. A füzet ára 500 Ft. Az emberek felének van 500 Ft-ja, másik felének csak 1000 Ft-osa van.

1.Ha 1000 Ft-al akar fizetni valaki és nincs 500 Ft-unk vissza, akkor nem vesz, ha tudunk visszaadni, akkor vesz.

2.Ha 500 Ft-al fizet valaki, akkor persze vesz füzetet és lesz egy visszaadható 500 Ft-unk.

Mennyi a valószinüsége, hogy mind az n könyvet eladjuk:

1.Ha kezdetben nincs 500 Ft-osunk (k=0)

2.Ha k db 500 Ft-ossal indulunk.

Árázoljuk az eseményeket egy bináris fával. A csúcsokba írjuk az 500 Ft-osaink számát. Az élek szine kék ha vettek, piros, ha nem vettek füzetet. Ha jobbra lépek 500 Ft-al fizettek, ha balra akkor 1000 Ft-al. Piros a vonal, ha nullás pontból balra lépünk, különben kék. Az összes eset száma 2n. Ahány kék vonallal jutunk le, annyi füzetet adtunk el.

Próbáljátok általánosítani! n=5 esetén a következő értékek adódnak:

k=0 : 50%, k=1 : 62,5%, k=2 : 78%, k=3 : 93%, k=4 : 97%, k=5 : 100

Előzmény: [181] Ratkó Éva, 2003-12-08 17:17:54
[182] Pach Péter Pál2003-12-08 20:18:19

Két újabb feladat:

41. feladat

Legyenek a,b,c,d,e egész számok. Tudjuk, hogy összegük és négyzetösszegük is osztható a páratlan p számmal. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a5+b5+c5+d5+e5-5abcde is osztható p-vel.

42. feladat

Legyenek P és Q pozitív páratlan relatív prím számok. Bizonyítsuk be, hogy

\sum_{0<x<\frac{Q}{2}}{\left[\frac{Px}{Q}\right]}+\sum_{0<y<\frac{P}{2}}{\left[\frac{Qy}{P}\right]}=\frac{(P-1)(Q-1)}{4}.

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]