Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2094] Cckek2007-06-18 22:54:14

Természetesen észrevehető, hogy a függvény mit csinál a Fibonacci számokkal. Persze felirható azért zártabb alakú példénya is.

Előzmény: [2093] jonas, 2007-06-18 22:38:23
[2093] jonas2007-06-18 22:38:23

Nézd meg, hogy az A007067 sorozat megoldás-e.

Előzmény: [2089] Cckek, 2007-06-18 18:33:49
[2092] Cckek2007-06-18 22:13:50

...és ha létezik ilyen függvény adjunk példát rá:))

Előzmény: [2089] Cckek, 2007-06-18 18:33:49
[2091] jonas2007-06-18 22:07:31

f(f(x))-es függvényegyenletből csak egy jut eszembe: f:R\toR differenciálható, mindenütt pozitív, f'(x)=f(f(x)). (Úgy emlékszem, nincs megoldása, de utánanézhetek, ha kell.)

Előzmény: [2089] Cckek, 2007-06-18 18:33:49
[2090] Cckek2007-06-18 18:35:07

Reméltem, hogy ti adtok nekem útmutatást:)

Előzmény: [2088] Lóczi Lajos, 2007-06-14 21:55:32
[2089] Cckek2007-06-18 18:33:49

Egy nagyon érdekes feladattal találkoztam a minap. Létezik-e olyan f:N\toN függvény melyre f(1)=2,

f(f(n))=f(n)+n, és f(n)<f(n+1)?

[2088] Lóczi Lajos2007-06-14 21:55:32

Kérünk egy kis útmutatást.

Előzmény: [2087] Cckek, 2007-06-11 21:06:11
[2087] Cckek2007-06-11 21:06:11

Valóban, bár ennek a bizonyítása nem is olyan egyszerű.:)

[2086] lorantfy2007-06-10 18:05:44

Ha a=1, akkor b=1. Ha a<1, akkor b=0.

Előzmény: [2085] Cckek, 2007-06-10 09:40:08
[2085] Cckek2007-06-10 09:40:08

Az xn sorozat a következőképpen adott:

\left(1+\frac{1}{nx_n}\right)^{n+x_n}=e Határozzuk meg az a,b\inR számokat úgy hogy

\lim_{n\to \infty}n^a(x_n-1)=b

[2084] psbalint2007-06-06 14:39:15

jah...most nézem csak...szóval akkor 1706-1715-ig :)

[2083] psbalint2007-06-06 14:37:26

lásd az 1706-1715., illetve a 349. hozzászólást :)

[2082] s_fecko2007-06-05 21:06:21

77. feladat: (Felesben legel e kecske) Egy kecskepásztor egyik nap egy kerek legelőre vitte ki egyetlen kecskéjét legelni. De hogy ne kelljen másnap újabb legelő után nézni, úgy szeretné kikötni, hogy csak a legelő felét tudja a kecskéje lelegelni. A karót a legelő szélén verte le. Milyen hosszúra kell a kecske kötelékét engednie?

Megköszönném ha valaki e-mailben elküldené a megoldást részletezve! Mivel a 349-es hozzászólásban megvan a megoldás, de az számomra átláthatatlan. Még amatőr vagyok, de próbálkozom :) Ha esetleg valaki csak simán elmagyarázná a megoldás menetét annak örülnék legjobban. Msn: s(alulvonás)fecko@freemail.hu Vagy skype: s(alulvonás)fecko Köszönöm!

[2081] Doom2007-05-29 18:40:32

Elnézést, sajtóhiba: természetesen "frac1x+12" = \frac1{x+12}

Előzmény: [2080] Doom, 2007-05-29 18:39:10
[2080] Doom2007-05-29 18:39:10

Legyen a két munkás A és B! A egyedül x óra alatt végzi el a munkát, míg a feladat alapján B x+12 óra alatt. Így 1 óra alatt a munka \frac1x, illetve frac1x+12-ed részét végzi el. Mivel ketten együtt 8 óra alatt végeznek a teljes munkával, így

8*\frac1x+8*\frac1{x+12}=1

Szorozva x(x+12)-vel és nullára rendezve kapjuk, hogy

x2-4x-96=0

x1=12,    x2=-8,  de  ez  nem  lehteséges.

Tehát x=12, azaz a munkát külön-külön 12, illetve 24 óra alatt végzik el.

Előzmény: [2078] nervus, 2007-05-29 18:04:05
[2079] S.Ákos2007-05-29 18:22:23

legalábbis én a következőképp értelmezem a feladatot: meg kell oldanunk a következő egyenletrendszert (vegyük a munkát az egyszerűség kedvéért 1-nek): 8x+8y=1 és kx+(k+12)y=1 az első egyenletből helyettesítéssel: x=\frac{1-8y}8. A másodikba ezt helyettesítve és megoldva kapod: x=\frac{4+k}{96} és y=\frac{8-k}{96} ebből látható, hogy nem állapítható meg, hogy melyikük mennyi ideig dolgozik. A megoldás lehetséges, hogy valahol hibás, úhogy előre is elnézést kérek a lehetséges hibáért.

Előzmény: [2078] nervus, 2007-05-29 18:04:05
[2078] nervus2007-05-29 18:04:05

Üdv mindenkinek :) Van egy számomra nehéz matekfeladat, hálás lennék, ha valaki segítene a megoldásában. (levezetéssel leírná) "Két munkás összesen 8 óra alatt végez el egy munkát- Külön mennyi idő alatt végeznek, ha az egyik 12 órával tovább dolgozik." Előre is köszi :)

[2077] Lóczi Lajos2007-05-27 20:02:16

Elemi függvénnyel nem lehet: a primitív függvény elliptikus integrállal fejezhető ki.

Előzmény: [2076] Cckek, 2007-05-27 18:29:55
[2076] Cckek2007-05-27 18:29:55

A következő határozatlan integrált kéne kiszámolni, ha ki lehet:

\int{\frac{1}{\sqrt{\sin x}}}dx=?

[2075] Lóczi Lajos2007-05-27 16:25:45

Sőt, a Newton-Leibniz-formula alapján minden olyan f folytonos függvény jó lesz, amelynek F primitív függvényére fennáll, hogy F(0)=F(1)=\int_0^1 F, én ebből a geometrikusabb feltételből találtam meg a

f(x):=(x(x-1/2)(x-1))'=3x2-3x+1/2

példát.

Előzmény: [2074] Cckek, 2007-05-27 15:44:29
[2074] Cckek2007-05-27 15:44:29

Gyönyörűszép levezetések nekem is ezek az értékek jöttek ki nagyjából:). A feltett kérdésre válaszolva:

\int_0^1{(ax+b)\cos{2\pi x}}dx=0, tehát ilyen függvény a cos 2\pix

Előzmény: [2072] Lóczi Lajos, 2007-05-27 13:32:17
[2073] Lóczi Lajos2007-05-27 14:17:02

Az eredeti f.) pont kérdésének megválaszolásához expliciten számoljuk ki az U operátor n-edik kompozícióhatványát, ami most könnyen megtehető: legyen x\inX rögzített elem, ekkor, ahogyan láttuk, bármely n pozitív egész esetén U[n](x)(s)=ans+bn alakú függvény, alkalmas an és bn számegyütthatókkal. Nyilván a_1=\int_0^1 x(t)dt\ge 0, b_1=\int_0^1 t x(t)dt\ge 0. Az U definíciójából ekkor adódik (hasonlóan ahhoz, amit már szintén láttunk az előző hozzászólásban), hogy

an+1=an/2+bn és bn+1=an/3+bn/2.

Ennek a rekurziónak a megoldása

a_{n+1}=\left(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \left(3-2
   \sqrt{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \left(3+2 \sqrt{3}\right)\right) a_1-

 3
   \left(-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n
   \left(-2+\sqrt{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \left(2+\sqrt{3}\right)\right)
   b_1

és

b_{n+1}=\left(-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n
   \left(-2+\sqrt{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \left(2+\sqrt{3}\right)\right)
   a_1

-\left(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \left(3-2
   \sqrt{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \left(3+2 \sqrt{3}\right)\right) b_1.

Ebből látszik, hogy tetszőleges s\in[0,1]-re \lim_{n\to \infty} \root n \of {U^{[n]}(x)(s)}=1/2+1/\sqrt{3}, ahol az eredmény tehát egy kontans függvény [0,1]-en.

Előzmény: [2072] Lóczi Lajos, 2007-05-27 13:32:17
[2072] Lóczi Lajos2007-05-27 13:32:17

Tudjuk, hogy a megadott X tér Banach-tér. Az U operátor nyilván lineáris.

a.) Az U operátor korlátos az X téren és ||U||op. operátornormája éppen 3/2, hiszen az X tér egységgömbjéről vett tetszőleges x függvénnyel


|U(x)(s)|\le s \int_0^1 |x(t)|dt+ \int_0^1 t |x(t)|dt \le s\cdot 1+1/2,

ennek a kifejezésnek a maximuma pedig s\in[0,1] esetén 3/2, amiből kapjuk, hogy ||U||op.\le3/2. Viszont az x(t)\equiv1 választás mutatja, hogy ||U(x)||=3/2 elérhető.

b.) Mivel tetszőleges x\inX függvény esetén U(x) egy s\mapstoa.s+b alakú X-beli függvény (a:=\int_0^1 x(t)dt és b:=\int_0^1 t x(t)dt), ezért az U operátor ranU értékkészlete részhalmaza az elsőfokú polinomok alterének X-ben, ami véges dimenziós. U tehát véges rangú, emiatt kompakt operátor.

e.) Bármely kompakt operátorra igaz, hogy spektruma csak a sajátértékeiből, illetve legfeljebb a 0 számból állhat. Mivel az X tér most végtelen dimenziós, ismert, hogy a 0 ilyenkor mindig spektrumpont. Megmutatjuk, hogy U-nak csak két nemnulla sajátértéke van.

Ehhez az U(f)=\lambdaf egyenlet megoldása szükséges: keresendő az összes olyan komplex \lambda\ne0 szám és f nem azonosan nulla folytonos függvény X-ből, amelyre a fenti egyenlőség fennáll. Azonban a bal oldal legfeljebb elsőfokú polinom, ahogyan azt láttuk, f(t) kereshető tehát f(t)=at+b alakban (a, b számok). Mivel ekkor U(f)(s)=s(a/2+b)+(a/3+b/2), ezért a sajátérték-egyenlet megoldása ekvivalens a következő kérdéssel: mely \lambda\ne0 számok esetén van nemtriviális megoldása az

a/3+b/2=\lambdab

a/2+b=\lambdaa

egyenletrendszernek. Egyszerűen látszik, hogy ez csak \lambda=1/2\pm 1/\sqrt{3} esetén van így, ezek tehát az U operátor nemnulla sajátértékei.

U spektruma tehát \{0,1/2- 1/\sqrt{3},1/2+ 1/\sqrt{3}\}.

c.) U nem injektív, mert a 0 egyúttal sajátérték is.

d.) A legkevésbé nyilvánvaló állítás a feladatból az, hogy a 0 szám sajátértéke is U-nak. Ehhez olyan f:[0,1]\toR folytonos függvényt kell keresni, ami nem azonosan nulla, mégis \int_0^1 f(t)dt=0 és \int_0^1 t\cdot f(t)dt=0. Ilyet lehet találni, de kíváncsi vagyok, ki milyen példát ad, a végén erre visszatérek.

f.) A kérdés nem a szokásos alakú, de arra nagyon hasonlít: a kitűző véletlenül itt nem a spektrálsugárra gondolt? Az U operátor spektrálsugara nem más, mint a 0-tól legmesszebb lévő pont a kompakt spektrumból, ami jelen esetben 1/2+ 1/\sqrt{3}. Ismert, hogy ez a szám egyenlő a \lim_{n\to \infty}\root n \of {||U^n||} limesszel -- nem elírás az f.) pont és erre gondoltál? (Az eredeti kérdésre egy lineáris rekurzió megoldása után úgy tűnik, könnyen lehetne válaszolni, de azt még nem néztem meg.)

g.) Jelölje Id az X tér identitásoperátorát. A válasz igen, hiszen az (U-1.Id) operátor (az X\toX korlátos lineáris operátorok Banach-terében) invertálható, lévén az 1 nem spektrumpont. (Sőt, emiatt több is igaz: fennáll a kezdeti feltételtől való folytonos függés is.)

h.) Az (U-1/\sqrt{3} Id)x=0 egyenletnek csak az x azonosan 0 függvény a megoldása, mert 1/\sqrt{3} nem spektrumpont, innentől pedig l. az előbbi pontot.

Végül visszatérve a fent említett kérdésre, oldjuk meg az alábbi feladatot:

Adjunk példát olyan f:[0,1]\toR folytonos függvényre, ami nem azonosan nulla, de tetszőleges elsőfokú p polinommal \int_0^1 p(t)\cdot f(t)dt=0.

Előzmény: [2071] Cckek, 2007-05-16 22:22:36
[2071] Cckek2007-05-16 22:22:36

Legyen X=(C_{[0,1]},||\cdot||), ||x||=max_{t\in [0,1]}|x(t)| és U:X\to X, U(x)(s)=\int_0^1{(s+t)x(t)}dt, s\in[0,1].

Számítsuk ki illetve döntsük el a következő kijelentések igaz vagy hamis voltát:

a) ||U||=?

b) U kompakt

c) U injektiv

d) 0 sajátértéke U-nak

e) U spektruma=?

f) \lim_{n\to \infty}\root{n} \of {U^n(x)}=?

g) x-U(x)=y egyenletnek mindig van egy es csakis egy gyöke, bármely lenne y\inC[0,1]

h) A \sqrt{3}U(x)=x egyenletnek van 0-tól különböző gyöke

[2070] HoA2007-05-09 10:38:48

A 325. feladat megoldásához lásd a "Valaki mondja meg" téma [174] és [176] hozzászólását.

Előzmény: [2069] BohnerGéza, 2007-05-09 00:16:06

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]