|
[2106] Lóczi Lajos | 2007-06-21 03:16:23 |
Használjuk fel a pontosabb x-x2/2<ln (1+x)<x-x2/2+x3/3 egyenlőtlenséget. Ebből arra következtethetünk, hogy xn az
és az
egyenletek (1-hez közeli) gyökei között van. Ez egy másod- és egy harmadfokú egyenlet, a megoldóképleteik felírhatók. Az ezekben szereplő négyzet- és köbgyököket a binomiális tétellel lehet sorbafejteni, amiből végül megkapjuk, hogy mind az alsó-, mind a felső becslése xn-nek , ha n.
|
Előzmény: [2104] Lóczi Lajos, 2007-06-21 01:34:29 |
|
|
[2104] Lóczi Lajos | 2007-06-21 01:34:29 |
A kérdéses xn sorozat az egyenlet gyöke.
Bizonyos mennyiségű számolással (első- és második deriváltak vizsgálata, határérték a 0-ban és a végtelenben, stb.) belátható, hogy ennek az egyenletnek minden, elég nagy n-re (pl. n>10) csak 1 gyöke van, az is 1 és pl. 2 között. Ez azért segít, mert ekkor használható az egyenlőtlenség (0<x<1). Így az eredeti egyenlet xn gyöke beszorítható két egyszerű egyenlet gyöke közé. Ebből kapjuk pl., hogy
ami maga után vonja, hogy elég nagy n-ekre
Tehát az (xn-1)na sorozatnak csak a=1 esetén lehet véges, nemnulla limesze (ha egyáltalán létezik).
Finomabb ötleteket fog igényelni annak kiderítése, hogy (xn-1)n melyik pozitív számhoz tart.
|
Előzmény: [2103] Lóczi Lajos, 2007-06-19 22:38:34 |
|
|
|
|
|
|
[2098] lorantfy | 2007-06-19 11:59:09 |
Kedves Lajos!
Én úgy gondolkodtam, hogy az a és b megadásához minket az xn sorozat csak határértékben érdekel, vagyis nyugodtan helyettesíthető az sorozattal, különben első egyenlet nem lenne igaz.
Az határértéke pedig a<1-nél 0, a=1-nél 1, a>1-nél végtelenbe megy.
|
Előzmény: [2095] Lóczi Lajos, 2007-06-19 00:18:52 |
|
|
|
|
|
|
|
[2091] jonas | 2007-06-18 22:07:31 |
f(f(x))-es függvényegyenletből csak egy jut eszembe: f:RR differenciálható, mindenütt pozitív, f'(x)=f(f(x)). (Úgy emlékszem, nincs megoldása, de utánanézhetek, ha kell.)
|
Előzmény: [2089] Cckek, 2007-06-18 18:33:49 |
|
|
[2089] Cckek | 2007-06-18 18:33:49 |
Egy nagyon érdekes feladattal találkoztam a minap. Létezik-e olyan f:NN függvény melyre f(1)=2,
f(f(n))=f(n)+n, és f(n)<f(n+1)?
|
|
|
[2087] Cckek | 2007-06-11 21:06:11 |
Valóban, bár ennek a bizonyítása nem is olyan egyszerű.:)
|
|
|
[2085] Cckek | 2007-06-10 09:40:08 |
Az xn sorozat a következőképpen adott:
Határozzuk meg az a,bR számokat úgy hogy
|
|
[2084] psbalint | 2007-06-06 14:39:15 |
jah...most nézem csak...szóval akkor 1706-1715-ig :)
|
|
[2083] psbalint | 2007-06-06 14:37:26 |
lásd az 1706-1715., illetve a 349. hozzászólást :)
|
|