Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2137] Cckek2007-07-05 10:42:17

Természetesen ki kell zárni a G={0} esetet. Először bebizonyítjuk, hogy G nem korlátos. Legyen

g\inG,g\neq0.Mivel G csoport,(g\inG\implies-g\inG) vehetjük g>0 és ng\inG minden n\inN esetén. Ekkor az arkhimédészi axioma értelmében minden r\inR-re van olyan n\inN melyre ng>r. Tehát G nem korlátos, és G nem véges.

1. Ha G-nek nincs torlodási pontja mivel G zárt és nem korlátos, ugyanakkor nG\subsetG igy G megszámlálható végtelen sok izolált pontból áll, tehát izomorf Z-vel.

2. Ha x\inG torlodási pontja G-nek, akkor ha V környezete x-nek,(V végtelen sok pontot tartalmaz a G-ből)akkor minden y\inG esetén (y-x)+V környezete y-nak (és végtelen sok pontot tartalmaz a G-ből), tehát y szintén torlodási pont. Tehát ebben az esetben G minden pontja torlodási pont. Két lehetségünk van:

A. G egyetlen pontjának sincs G-beli környezete. Ekkor G minden pontjának a környezetei megszámlálható végtelen sok pontot tartalmaznak G-ből, tehát cardG=\aleph0 igy izomorf Z vel.

B. Létezik x\inG úgy, hogy V=(x-\epsilon,x+\epsilon)\subsetG. Ekkor V-x=(-\epsilon,\epsilon)\subsetG és az archimédészi axioma értelmében

(-n\epsilon,n\epsilon)\subsetG,\foralln\inN tehát G=R

Előzmény: [2133] Csimby, 2007-07-03 16:56:32
[2136] Csimby2007-07-03 22:19:22

:-))) De igen!

Előzmény: [2134] Lóczi Lajos, 2007-07-03 19:53:20
[2135] Lóczi Lajos2007-07-03 20:04:42

Ezek a karakterek nekem évek óta hiányoznak itt...

Előzmény: [2133] Csimby, 2007-07-03 16:56:32
[2134] Lóczi Lajos2007-07-03 19:53:20

Nincs ennek köze a diff. egyenlet vizsgához? :)

Előzmény: [2133] Csimby, 2007-07-03 16:56:32
[2133] Csimby2007-07-03 16:56:32

326. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy G\subsetR zárt (tn\inG, tn\tot esetén t\inG) részcsoport vagy maga az R vagy izomorf Z-vel. (Megj.: Csak most tűnt fel, de jól látom, hogy nincs a a valós ill. egész számok jelölésére használatos dupla szárú R ill. Z?)

[2132] jonas2007-07-03 12:54:41

A csudába, én meg elírtam a komplex gyököket,  (1\pm\sqrt3i)/2 helyett hibásan * 1\pm\sqrt3i -t írtam, pedig számolás közben rájöttem, hogy az első a jó.

Előzmény: [2129] HoA, 2007-07-02 16:53:25
[2131] HoA2007-07-03 11:24:07

Igazad van. Sőt még abban is tévedtem, hogy x1,x2 tetszőleges multiplicitással szerepelhet. A valós együtthatós kikötés miatt ez nem igaz, csak párokban léphetnek fel.

Este végignéztem a hat gyök össszes párosításából adódó megoldásokat. Szerintem csak a már ismert 1/2, 2, -1, x1 és x2 értékeket kapjuk. Így aztán könnyen lehet, hogy csak az általad mondottakból adódó (x-x1)(x-x2)(x-1/2)(x-2)(x+1) polinom és a [2129] -beli P(x) a megoldás.

Előzmény: [2130] Csimby, 2007-07-02 22:59:08
[2130] Csimby2007-07-02 22:59:08

Ha a=\frac{a-1}{a}, az ebből kapott két gyök x1 és x2, akkor a maradék három gyök még lehet \frac{1}{2}, 2, -1, szóval nem muszáj, hogy x1 és x2 legyen.

Előzmény: [2129] HoA, 2007-07-02 16:53:25
[2129] HoA2007-07-02 16:53:25

Szerintem nem kell túlbonyolítani. Odáig világos, hogy a 6 gyökhely a,1-a,\frac1a,\frac{a-1}a,\frac1{1-a} , \frac{a}{a-1}. Mivel a polinom csak ötödfokú, szükségképpen vannak köztük egyenlőek. Szépen végig kell nézni, mi adódik ha az egyes párokat egyenlővé tesszük. Például a = 1-a -ból a=1/2 és \frac1a = 2, \frac{a-1}a = -1, \frac1{1-a} = 2 , \frac{a}{a-1} = -1 És itt nem baj, hogy további egybeeső gyökök vannak. A megoldás így írható: P(x) = (x-\frac12) \cdot (x-2) \cdot (x+1) \cdot (x-u) \cdot (x-v), ahol u és v egymástól függetlenül felveheti az 1/2, 2 és -1 értékeket. A további polinomokat a többi pár egyenlővé tételével keressük, és elhagyjuk az ismétléseket. Az a = \frac{a-1}a választással adódik a már szerepelt \frac{1\pm\sqrt{-3}}2 páros, ekkor valóban csak ez a két gyök van, jelöljük őket x1ésx2 vel, a polinom így P(x)=(x-x1).(x-x2).(x-u).(x-v).(x-z), ahol megintcsak u,v, és z x1vagyx2. És így tovább, ha van még...

Előzmény: [2125] jonas, 2007-07-02 15:19:18
[2128] Cckek2007-07-02 15:45:24

Ebből még nem következik hogy P(\frac{1}{a})\ne 0

Előzmény: [2127] BohnerGéza, 2007-07-02 15:40:11
[2127] BohnerGéza2007-07-02 15:40:11

Lehet, csak a nyár teszi, de ezek is jók talán!?

Előzmény: [2116] Cckek, 2007-07-02 12:48:26
[2126] Cckek2007-07-02 15:23:24

ugyanakkor egy ötödfokú polinomnak 5 gyöke van:)

Előzmény: [2124] jonas, 2007-07-02 15:11:54
[2125] jonas2007-07-02 15:19:18

Egyébként a feladat azért trükkös, mert elindulhat valaki a rossz irányba is, hogy felteszi, hogy az öt gyök különönböző, és nem jut eszedbe, hogy 1-1/(1-1/(1-1/a))=a.

Ekkor gondolhat arra, hogy párba állítja a gyököket úgy, hogy a párja 1-a legyen, és mivel az öt páratlan, ezért biztosan gyök az 1/2 mert csak az párja önmagának, vagy hogy párba állítjuk a-t 1/a-val, és akkor biztosan gyök 1 és -1 közül az egyik.

Vagy arra is gondolhat (szintén ha az összes gyök különböző), hogy ha minden a gyökhöz 1-a is gyök, akkor a gyökök összege 5/2 így az x4 együtthatója -5/2, valamint hasonlóan a gyökök szorzata 1 így a konstans tag 1.

[2124] jonas2007-07-02 15:11:54

Na nézzük. Ha a=1-a, akkor a=1/2 és a gyökök 1/2,2,-1. Ha a=1/a akkor vagy a=-1 ami az előző eset, vagy a=1 jönne ki, de az nem jó, mert akkor az 1/0 is gyöke lenne a polinomnak.

Ha a=1/(1-a), akkor  a = 1\pm\sqrt{-3} és ilyenkor csak két gyök van, mert a=1/(1-a)=(a-1)/a és 1-a=1/a=a/(a-1).

Ezzel ki is merítettük az összes lehetőséget a gyökökre nézve, de a polinomokat nem adtuk meg.

Előzmény: [2122] Csimby, 2007-07-02 13:53:58
[2123] jonas2007-07-02 14:52:46

De ha kettő egybeesik, akkor több egybeesés is van, nem?

Előzmény: [2122] Csimby, 2007-07-02 13:53:58
[2122] Csimby2007-07-02 13:53:58

De az viszont jó, ha 6 van, mert akkor szükségképpen kettő egybeesik. És az egy egyenlet a-ra.

Előzmény: [2121] Csimby, 2007-07-02 13:52:51
[2121] Csimby2007-07-02 13:52:51

hehe, hát nem :-)

Előzmény: [2120] Csimby, 2007-07-02 13:52:23
[2120] Csimby2007-07-02 13:52:23

az 1-\frac{1}{a}

Előzmény: [2119] Cckek, 2007-07-02 13:47:58
[2119] Cckek2007-07-02 13:47:58

Meg \frac{a}{a-1} alakú is.

Előzmény: [2117] Csimby, 2007-07-02 13:31:30
[2118] Csimby2007-07-02 13:37:44

(reciprok képzés, 1-x, nem vezet ki közülük, viszont ezeknek mind szerepelnie kell) Kéne még vacakolni hogy mi van ha egybeesik pár. De úgy emlékszem algerba gyakorlaton volt valami hasonló Galois elmélet keretein belül. Majd ha végeztem a diffegy vizsgával és lesz időm megkeresem :-)

Előzmény: [2117] Csimby, 2007-07-02 13:31:30
[2117] Csimby2007-07-02 13:31:30

Szerintem az 5 gyök mindig: a, 1-a, \frac{1}{a}, \frac{1}{1-a}, 1-\frac{1}{a} alakú.

Előzmény: [2116] Cckek, 2007-07-02 12:48:26
[2116] Cckek2007-07-02 12:48:26

Szép:) Amúgy ezek második fokozati vizsgakérdések itt Romániában. Itt van még egy ha érdekel valakit:

Határozzuk meg azokat az ötödfokú valós együtthatós P(X) polinomokat, melyeknek a domináns együtthatójuk 1 és, ha a gyöke P-nek akkor 1-a illetve \frac1a is gyöke P-nek.

[2115] Lóczi Lajos2007-07-02 11:04:13

A feladatban határozatlan integrálok szerepelnek: ha a két integrációs állandót különbözőnek választjuk, elég nehéznek tűnik a kérdés. Legyenek tehát egyenlőek.

Az egyenletet f-re rendezve látjuk, hogy f deriválható a pozitív és a negatív félegyenesen. Deriválva az egyenletet egy differenciálegyenletet kapunk, melynek megoldásai

\pm \sqrt{a x^2+2\lambda}

alakúak, valamely a\ge0 állandóval. Most csak a pozitív előjel jön szóba. A feladat megoldásai lesznek tehát az olyan f függvények, amelyek x>0 és x<0 esetén a fenti képlettel vannak megadva, esetleg más-más a állandóval a pozitív és a negatív részen.

Előzmény: [2113] Cckek, 2007-07-01 19:42:18
[2114] Cckek2007-07-02 09:19:08

Határozzuk meg az összes morfizmust (Q,+) és (Sn,o) között.

[2113] Cckek2007-07-01 19:42:18

Határozzuk meg azokat az f:R\to(0,\infty) folytonos függvényeket melyekre: \int{f(x)}dx=\frac{xf(x)}{2}+\lambda \int{\frac{dx}{f(x)}}, ahol \lambda>0

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]