Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2144] nadorp2007-07-18 14:03:11

Egy kis üditő számolás :-) után az \frac12 határérték szimpatikusnak tűnik.

Előzmény: [2143] Cckek, 2007-07-17 22:39:18
[2143] Cckek2007-07-17 22:39:18

\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{2\le i<j\le n}log_ij

Előzmény: [2142] Cckek, 2007-07-17 22:37:13
[2142] Cckek2007-07-17 22:37:13

A nagy meleg miatt, megaztán nyaralás okán elég hulla a forum, itt van egy frissitő:

\lim_{n\to \infty}\sum_{2\le i<j\le n}log_ij

[2141] Csimby2007-07-07 04:02:03

327.feladat Az f:R\toR fv. n-edik hatványa legyen fn=fo...of - n db f összekomponálva (tegyük fel, hogy Rfk\subsetDfk+1, k\ge1 vagy k\ge0 - ez esetben f0:=id, még nem tudom hogy lesz érdekesebb a feladat 0-val vagy 1-gyel. Megj.: Ha k\ge0 akkor f az egész R-en értelmezett és így fn=id-ből következik, hogy f összes hatványa is egész R-en értelmezett). Egy f R\toR fv. rendje legyen az a legkisebb n pozitív egész, melyre fn=id.

a. feladat Keressünk minden n-re n-rendű f:R\toR függvényt.

A Cckek által [2116]-ban kitűzött feladatban pl. az x,1-x,\frac1x,\frac{x-1}x,\frac1{1-x},\frac{x}{x-1} függvények az R-{0,1} értelmezési tartományban csoportot alkotnak a kompozícióra nézve az R\toR fv.-ek terében. Ebben a csoportban \frac1x rendje 2, \frac1{1-x} rendje 3, a csoport 6 elemű, így ez a csoport izomorf S3-mal.

b. feladat Mely G csoportoknak adható meg ilyen R\toR fv.-ekkel reprezentációja? (keressünk ilyen reprezentációkat) Megj.: Az a. feladat tehát azt kéri, hogy adjuk meg minden n-re Zn egy reprezentációját és n=2,3-ra már mutattunk példát, igaz egyik sem volt az egész R-en értelmezve, kérdés: van-e ilyen?.

u.i.: Most egy hétig nem leszek, pedig kíváncsi vagyok miket fogtok írni, mindenesetre még én sem gondolkoztam a feladatokon, csak a [2116]-ban kitűzött feladat kapcsán vetődtek fel bennem ezek a kérdések.

[2140] Csimby2007-07-06 11:23:16

Egy kis segítség: legyen \alpha=inf{|g|,g\inG-{0}}.

Előzmény: [2139] Cckek, 2007-07-06 09:03:52
[2139] Cckek2007-07-06 09:03:52

Helló Csimby

Igazad van, elsiettem, nem gondoltam át eléggé.

Előzmény: [2138] Csimby, 2007-07-05 17:33:57
[2138] Csimby2007-07-05 17:33:57

Szia!

2/A-ban card a számosságot jelenti? És ha igen, akkor abból hogy ez alef0 miért következik, hogy Z? (Pl. Q nem izomorf Z-vel hiszen nem ciklikus)

Előzmény: [2137] Cckek, 2007-07-05 10:42:17
[2137] Cckek2007-07-05 10:42:17

Természetesen ki kell zárni a G={0} esetet. Először bebizonyítjuk, hogy G nem korlátos. Legyen

g\inG,g\neq0.Mivel G csoport,(g\inG\implies-g\inG) vehetjük g>0 és ng\inG minden n\inN esetén. Ekkor az arkhimédészi axioma értelmében minden r\inR-re van olyan n\inN melyre ng>r. Tehát G nem korlátos, és G nem véges.

1. Ha G-nek nincs torlodási pontja mivel G zárt és nem korlátos, ugyanakkor nG\subsetG igy G megszámlálható végtelen sok izolált pontból áll, tehát izomorf Z-vel.

2. Ha x\inG torlodási pontja G-nek, akkor ha V környezete x-nek,(V végtelen sok pontot tartalmaz a G-ből)akkor minden y\inG esetén (y-x)+V környezete y-nak (és végtelen sok pontot tartalmaz a G-ből), tehát y szintén torlodási pont. Tehát ebben az esetben G minden pontja torlodási pont. Két lehetségünk van:

A. G egyetlen pontjának sincs G-beli környezete. Ekkor G minden pontjának a környezetei megszámlálható végtelen sok pontot tartalmaznak G-ből, tehát cardG=\aleph0 igy izomorf Z vel.

B. Létezik x\inG úgy, hogy V=(x-\epsilon,x+\epsilon)\subsetG. Ekkor V-x=(-\epsilon,\epsilon)\subsetG és az archimédészi axioma értelmében

(-n\epsilon,n\epsilon)\subsetG,\foralln\inN tehát G=R

Előzmény: [2133] Csimby, 2007-07-03 16:56:32
[2136] Csimby2007-07-03 22:19:22

:-))) De igen!

Előzmény: [2134] Lóczi Lajos, 2007-07-03 19:53:20
[2135] Lóczi Lajos2007-07-03 20:04:42

Ezek a karakterek nekem évek óta hiányoznak itt...

Előzmény: [2133] Csimby, 2007-07-03 16:56:32
[2134] Lóczi Lajos2007-07-03 19:53:20

Nincs ennek köze a diff. egyenlet vizsgához? :)

Előzmény: [2133] Csimby, 2007-07-03 16:56:32
[2133] Csimby2007-07-03 16:56:32

326. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy G\subsetR zárt (tn\inG, tn\tot esetén t\inG) részcsoport vagy maga az R vagy izomorf Z-vel. (Megj.: Csak most tűnt fel, de jól látom, hogy nincs a a valós ill. egész számok jelölésére használatos dupla szárú R ill. Z?)

[2132] jonas2007-07-03 12:54:41

A csudába, én meg elírtam a komplex gyököket,  (1\pm\sqrt3i)/2 helyett hibásan * 1\pm\sqrt3i -t írtam, pedig számolás közben rájöttem, hogy az első a jó.

Előzmény: [2129] HoA, 2007-07-02 16:53:25
[2131] HoA2007-07-03 11:24:07

Igazad van. Sőt még abban is tévedtem, hogy x1,x2 tetszőleges multiplicitással szerepelhet. A valós együtthatós kikötés miatt ez nem igaz, csak párokban léphetnek fel.

Este végignéztem a hat gyök össszes párosításából adódó megoldásokat. Szerintem csak a már ismert 1/2, 2, -1, x1 és x2 értékeket kapjuk. Így aztán könnyen lehet, hogy csak az általad mondottakból adódó (x-x1)(x-x2)(x-1/2)(x-2)(x+1) polinom és a [2129] -beli P(x) a megoldás.

Előzmény: [2130] Csimby, 2007-07-02 22:59:08
[2130] Csimby2007-07-02 22:59:08

Ha a=\frac{a-1}{a}, az ebből kapott két gyök x1 és x2, akkor a maradék három gyök még lehet \frac{1}{2}, 2, -1, szóval nem muszáj, hogy x1 és x2 legyen.

Előzmény: [2129] HoA, 2007-07-02 16:53:25
[2129] HoA2007-07-02 16:53:25

Szerintem nem kell túlbonyolítani. Odáig világos, hogy a 6 gyökhely a,1-a,\frac1a,\frac{a-1}a,\frac1{1-a} , \frac{a}{a-1}. Mivel a polinom csak ötödfokú, szükségképpen vannak köztük egyenlőek. Szépen végig kell nézni, mi adódik ha az egyes párokat egyenlővé tesszük. Például a = 1-a -ból a=1/2 és \frac1a = 2, \frac{a-1}a = -1, \frac1{1-a} = 2 , \frac{a}{a-1} = -1 És itt nem baj, hogy további egybeeső gyökök vannak. A megoldás így írható: P(x) = (x-\frac12) \cdot (x-2) \cdot (x+1) \cdot (x-u) \cdot (x-v), ahol u és v egymástól függetlenül felveheti az 1/2, 2 és -1 értékeket. A további polinomokat a többi pár egyenlővé tételével keressük, és elhagyjuk az ismétléseket. Az a = \frac{a-1}a választással adódik a már szerepelt \frac{1\pm\sqrt{-3}}2 páros, ekkor valóban csak ez a két gyök van, jelöljük őket x1ésx2 vel, a polinom így P(x)=(x-x1).(x-x2).(x-u).(x-v).(x-z), ahol megintcsak u,v, és z x1vagyx2. És így tovább, ha van még...

Előzmény: [2125] jonas, 2007-07-02 15:19:18
[2128] Cckek2007-07-02 15:45:24

Ebből még nem következik hogy P(\frac{1}{a})\ne 0

Előzmény: [2127] BohnerGéza, 2007-07-02 15:40:11
[2127] BohnerGéza2007-07-02 15:40:11

Lehet, csak a nyár teszi, de ezek is jók talán!?

Előzmény: [2116] Cckek, 2007-07-02 12:48:26
[2126] Cckek2007-07-02 15:23:24

ugyanakkor egy ötödfokú polinomnak 5 gyöke van:)

Előzmény: [2124] jonas, 2007-07-02 15:11:54
[2125] jonas2007-07-02 15:19:18

Egyébként a feladat azért trükkös, mert elindulhat valaki a rossz irányba is, hogy felteszi, hogy az öt gyök különönböző, és nem jut eszedbe, hogy 1-1/(1-1/(1-1/a))=a.

Ekkor gondolhat arra, hogy párba állítja a gyököket úgy, hogy a párja 1-a legyen, és mivel az öt páratlan, ezért biztosan gyök az 1/2 mert csak az párja önmagának, vagy hogy párba állítjuk a-t 1/a-val, és akkor biztosan gyök 1 és -1 közül az egyik.

Vagy arra is gondolhat (szintén ha az összes gyök különböző), hogy ha minden a gyökhöz 1-a is gyök, akkor a gyökök összege 5/2 így az x4 együtthatója -5/2, valamint hasonlóan a gyökök szorzata 1 így a konstans tag 1.

[2124] jonas2007-07-02 15:11:54

Na nézzük. Ha a=1-a, akkor a=1/2 és a gyökök 1/2,2,-1. Ha a=1/a akkor vagy a=-1 ami az előző eset, vagy a=1 jönne ki, de az nem jó, mert akkor az 1/0 is gyöke lenne a polinomnak.

Ha a=1/(1-a), akkor  a = 1\pm\sqrt{-3} és ilyenkor csak két gyök van, mert a=1/(1-a)=(a-1)/a és 1-a=1/a=a/(a-1).

Ezzel ki is merítettük az összes lehetőséget a gyökökre nézve, de a polinomokat nem adtuk meg.

Előzmény: [2122] Csimby, 2007-07-02 13:53:58
[2123] jonas2007-07-02 14:52:46

De ha kettő egybeesik, akkor több egybeesés is van, nem?

Előzmény: [2122] Csimby, 2007-07-02 13:53:58
[2122] Csimby2007-07-02 13:53:58

De az viszont jó, ha 6 van, mert akkor szükségképpen kettő egybeesik. És az egy egyenlet a-ra.

Előzmény: [2121] Csimby, 2007-07-02 13:52:51
[2121] Csimby2007-07-02 13:52:51

hehe, hát nem :-)

Előzmény: [2120] Csimby, 2007-07-02 13:52:23
[2120] Csimby2007-07-02 13:52:23

az 1-\frac{1}{a}

Előzmény: [2119] Cckek, 2007-07-02 13:47:58

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]