Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2157] jonas2007-07-27 00:30:32

Én nem tudok rá megoldást, úgyhogy itt van egy sablon, amin lehet próbálkozni.

Előzmény: [2156] Csimby, 2007-07-26 23:20:32
[2156] Csimby2007-07-26 23:20:32

Hát ez nagyon ügyes, gratulálok!

328.-ban az a feladat pl. n=4-re, hogy az ábrán látható 16 ponthoz megadható e egy 5 szakaszból álló töröttvonal amit a "ceruza felemelése nélkül" meg tudunk rajzolni és mind a 16 ponton átmegy. n=3-ra van ilyen 4-vonalból ez az ábráról leolvasható. Valaki azt állította egy ismerősömnek, hogy minden n-re van ilyen töröttvonal, de szerintem már n=4-re sincs. (pl. az ábrán 2 pont kimarad)

Előzmény: [2154] nadorp, 2007-07-26 21:08:23
[2155] nadorp2007-07-26 21:15:30

Bocs, de a 328. feladatot nem fogtam fel, valahogy nem tudom összerendelni a hivatkozással. (Lehet hőgutát kaptam :-)

Előzmény: [2153] Csimby, 2007-07-26 19:17:17
[2154] nadorp2007-07-26 21:08:23

Másképp számoltam, a módszert még egyetemen hallottam egy szenzációs tanáromtól. Legyen f(x)=\frac{ax+b}{x+c} és tekintsük f(x) fixpontjait, azaz az f(x)=x egyenletet, x2+(c-a)x-b=0. Ha ennek két ( akár komplex) gyöke x1,x2, akkor

\frac{f(x)-f(x_1)}{f(x)-f(x_2)}=\frac{f(x)-x_1}{f(x)-x_2}=\frac{a-x_1}{a-x_2}\cdot\frac{x-x_1}{x-x_2} ( legyen ez a 327/a/a feladat :-), valamint

x1+x2=a-c és x1x2=-b

Indukcióval azonnal adódik, hogy \frac{f_n(x)-x_1}{f_n(x)-x_2}=\left(\frac{a-x_1}{a-x_2}\right)^n\cdot\frac{x-x_1}{x-x_2}.

Ha most a,x1,x2 értékét úgy választjuk meg, hogy

\frac{a-x_1}{a-x_2}=\rho_n=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n ( az első primitív n-dik egységgyök), akkor fn(x)=x adódik. Ha még x1=x2konjugált ( nem tudom a felső vízszintes vonalat TeX-ben :-), akkor x1,x2 lehetnek egy másodfokú egyenlet komplex gyökei.

Könnyen látható, hogy a=1, x1=-\rhon , x2=-\rhon-1 jók lesznek, innen b és c értéke a fentiek alapján könnyen számolható.

Előzmény: [2153] Csimby, 2007-07-26 19:17:17
[2153] Csimby2007-07-26 19:17:17

Köszi! Hogyha a törtfüggvénybe n-szer behelyettesítem önmagát, majd egyenlővé teszem ezt x-vel. a=1, b=-1-et helyettesítek és egyoldalra rendezem, akkor ebből kiemelhető lesz c-egy polinomja, amit megoldok hogy mikor 0. Így jön ki c-re az amit a megoldásban írtál? (n=3-ra ez működik, de 4-re nem szenvedtem végig)

Más: 328.-ra szerintem nemleges a válasz.

Előzmény: [2152] nadorp, 2007-07-26 12:03:32
[2152] nadorp2007-07-26 12:03:32

Bocs,

f(x)=\frac{x-1}{x+1+2\cos\frac{2\pi}n}

Előzmény: [2151] nadorp, 2007-07-26 11:58:54
[2151] nadorp2007-07-26 11:58:54

Konkrétan n\ge3 esetén f(x)=\frac{x-1}{x+1+\cos\frac{2\pi}n}

Előzmény: [2150] nadorp, 2007-07-26 10:02:25
[2150] nadorp2007-07-26 10:02:25

A 327/a feladatra szerintem pozitív a válasz, azaz minden n-re van olyan elsőfokú racionális törtfüggvény ( f(x)=\frac{ax+b}{x+c} alakú), melyre f(n)=x ( ez most kompozíció és nem deriválás :-)

Előzmény: [2148] Csimby, 2007-07-25 18:03:01
[2149] nadorp2007-07-26 08:49:17

Bocs, én még ennél a feladatnál tartok :-), de úgy néz ki, hogy az első megérzés volt a jó.

\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{2\le{i}<{j}\le n}log_ij=\frac12

Előzmény: [2143] Cckek, 2007-07-17 22:39:18
[2148] Csimby2007-07-25 18:03:01

Előző feladatomra sajnos senki se reagált :-( Itt van pár új.

328.feladat A [2].hozzászólásban szereplő 2.feladat általánosítható-e n×n-es négyzetre és n+1 egymáshoz csatlakozó szakaszra. Már n=4-re is kíváncsi lennék hogy mit mondtok.

329.feladat Két Sudoku -táblázat távolsága legyen azon mezők száma ahol eltérnek egymástól. Milyen távolságok fordulhatnak elő két táblázat között.

Érdekes kérdés még hogy hány különböző Sudoku-táblázat van, illetve, hogy legkevesebb hány mezőt lehet úgy megadni, hogy legyen egyértelmű megoldás. De ezekről sajnos azt találtam hogy igen nehezek lehetnek.

[2147] Cckek2007-07-22 13:11:23

Nos S(n)=\frac{x^{n+1}-1}{x-1} tehát xn+1-1=k(x-1)2 az-az deriválva kapjuk (n+1)xn=2k(x-1) de (x,x-1)=1, tehát (x-1)|(n+1). Forditva ha (x-1)|(n+1)\impliesn=k(x-1)-1 tehát S(n)=\frac{x^{k(x-1)}-1}{x-1} és itt is driválásal könnyen ellenőrizhető, hogy xk(x-1)-1=p(x-1)2

Előzmény: [2146] Lajos Arpad, 2007-07-21 10:41:18
[2146] Lajos Arpad2007-07-21 10:41:18

328. feladat Vegyük a kôvetkezô mértani haladványt: 1, x, x*x... x természetes szám és nagyobb mint 1, n természetes sám S(n)=1+x+...+(x) az n-dik hatványon Bizonyítsuk be, hogy: S(n)/(x-1) természetes szám <=> (n+1)/(x-1) természetes szám.

[2145] nadorp2007-07-18 14:34:55

Úgy látszik, tényleg meleg van, mert az eredmény most utólag nem tűnik jónak

Előzmény: [2144] nadorp, 2007-07-18 14:03:11
[2144] nadorp2007-07-18 14:03:11

Egy kis üditő számolás :-) után az \frac12 határérték szimpatikusnak tűnik.

Előzmény: [2143] Cckek, 2007-07-17 22:39:18
[2143] Cckek2007-07-17 22:39:18

\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{2\le i<j\le n}log_ij

Előzmény: [2142] Cckek, 2007-07-17 22:37:13
[2142] Cckek2007-07-17 22:37:13

A nagy meleg miatt, megaztán nyaralás okán elég hulla a forum, itt van egy frissitő:

\lim_{n\to \infty}\sum_{2\le i<j\le n}log_ij

[2141] Csimby2007-07-07 04:02:03

327.feladat Az f:R\toR fv. n-edik hatványa legyen fn=fo...of - n db f összekomponálva (tegyük fel, hogy Rfk\subsetDfk+1, k\ge1 vagy k\ge0 - ez esetben f0:=id, még nem tudom hogy lesz érdekesebb a feladat 0-val vagy 1-gyel. Megj.: Ha k\ge0 akkor f az egész R-en értelmezett és így fn=id-ből következik, hogy f összes hatványa is egész R-en értelmezett). Egy f R\toR fv. rendje legyen az a legkisebb n pozitív egész, melyre fn=id.

a. feladat Keressünk minden n-re n-rendű f:R\toR függvényt.

A Cckek által [2116]-ban kitűzött feladatban pl. az x,1-x,\frac1x,\frac{x-1}x,\frac1{1-x},\frac{x}{x-1} függvények az R-{0,1} értelmezési tartományban csoportot alkotnak a kompozícióra nézve az R\toR fv.-ek terében. Ebben a csoportban \frac1x rendje 2, \frac1{1-x} rendje 3, a csoport 6 elemű, így ez a csoport izomorf S3-mal.

b. feladat Mely G csoportoknak adható meg ilyen R\toR fv.-ekkel reprezentációja? (keressünk ilyen reprezentációkat) Megj.: Az a. feladat tehát azt kéri, hogy adjuk meg minden n-re Zn egy reprezentációját és n=2,3-ra már mutattunk példát, igaz egyik sem volt az egész R-en értelmezve, kérdés: van-e ilyen?.

u.i.: Most egy hétig nem leszek, pedig kíváncsi vagyok miket fogtok írni, mindenesetre még én sem gondolkoztam a feladatokon, csak a [2116]-ban kitűzött feladat kapcsán vetődtek fel bennem ezek a kérdések.

[2140] Csimby2007-07-06 11:23:16

Egy kis segítség: legyen \alpha=inf{|g|,g\inG-{0}}.

Előzmény: [2139] Cckek, 2007-07-06 09:03:52
[2139] Cckek2007-07-06 09:03:52

Helló Csimby

Igazad van, elsiettem, nem gondoltam át eléggé.

Előzmény: [2138] Csimby, 2007-07-05 17:33:57
[2138] Csimby2007-07-05 17:33:57

Szia!

2/A-ban card a számosságot jelenti? És ha igen, akkor abból hogy ez alef0 miért következik, hogy Z? (Pl. Q nem izomorf Z-vel hiszen nem ciklikus)

Előzmény: [2137] Cckek, 2007-07-05 10:42:17
[2137] Cckek2007-07-05 10:42:17

Természetesen ki kell zárni a G={0} esetet. Először bebizonyítjuk, hogy G nem korlátos. Legyen

g\inG,g\neq0.Mivel G csoport,(g\inG\implies-g\inG) vehetjük g>0 és ng\inG minden n\inN esetén. Ekkor az arkhimédészi axioma értelmében minden r\inR-re van olyan n\inN melyre ng>r. Tehát G nem korlátos, és G nem véges.

1. Ha G-nek nincs torlodási pontja mivel G zárt és nem korlátos, ugyanakkor nG\subsetG igy G megszámlálható végtelen sok izolált pontból áll, tehát izomorf Z-vel.

2. Ha x\inG torlodási pontja G-nek, akkor ha V környezete x-nek,(V végtelen sok pontot tartalmaz a G-ből)akkor minden y\inG esetén (y-x)+V környezete y-nak (és végtelen sok pontot tartalmaz a G-ből), tehát y szintén torlodási pont. Tehát ebben az esetben G minden pontja torlodási pont. Két lehetségünk van:

A. G egyetlen pontjának sincs G-beli környezete. Ekkor G minden pontjának a környezetei megszámlálható végtelen sok pontot tartalmaznak G-ből, tehát cardG=\aleph0 igy izomorf Z vel.

B. Létezik x\inG úgy, hogy V=(x-\epsilon,x+\epsilon)\subsetG. Ekkor V-x=(-\epsilon,\epsilon)\subsetG és az archimédészi axioma értelmében

(-n\epsilon,n\epsilon)\subsetG,\foralln\inN tehát G=R

Előzmény: [2133] Csimby, 2007-07-03 16:56:32
[2136] Csimby2007-07-03 22:19:22

:-))) De igen!

Előzmény: [2134] Lóczi Lajos, 2007-07-03 19:53:20
[2135] Lóczi Lajos2007-07-03 20:04:42

Ezek a karakterek nekem évek óta hiányoznak itt...

Előzmény: [2133] Csimby, 2007-07-03 16:56:32
[2134] Lóczi Lajos2007-07-03 19:53:20

Nincs ennek köze a diff. egyenlet vizsgához? :)

Előzmény: [2133] Csimby, 2007-07-03 16:56:32
[2133] Csimby2007-07-03 16:56:32

326. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy G\subsetR zárt (tn\inG, tn\tot esetén t\inG) részcsoport vagy maga az R vagy izomorf Z-vel. (Megj.: Csak most tűnt fel, de jól látom, hogy nincs a a valós ill. egész számok jelölésére használatos dupla szárú R ill. Z?)

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]