Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2169] Hajba Károly2007-07-28 01:15:24

Kedves epsilon!

Lehet egy kicsit nehezíteni a feladatokat. n=4-re létezik visszazáródó, míg n=5-re nem-kilépő, n=7-re mindkét szigorítással együtt, sőt 2 megoldása is ven.

Előzmény: [2167] epsilon, 2007-07-27 18:13:42
[2168] Csimby2007-07-28 00:08:50

Szia! Köszi az ábrákat! Az én algoritmusom most veszem észre, hogy mégsem jó, mert noha megfelelő számú szakaszból áll, az egyiket 2 részletben húzom be az pedig csalás (1 behúzással nem lehet mert van benne egy 3-fokú csúcs így muszáj abból indulni). Amúgy azt akartam, hogy az n=5-re talált "nem kilépő" megoldásomat (amit még nem akarok lerajzolni) L-alakban két szakasszal kibővítem és egy régi szakaszt meghosszabítok, ekkor n=6 egy megoldását kapom és ez folytatható is lenne, csak hát mégsem jó.

Előzmény: [2167] epsilon, 2007-07-27 18:13:42
[2167] epsilon2007-07-27 18:13:42

A 328-as feladat kapcsán a következő biztos: n×n pont összeköthető 2n-2 szakaszból álló töröttvonallal, a kért feltétellel. Szemléltetés és algoritmus kialakítása végett itt egy "kép" egy pár esettel:

Előzmény: [2156] Csimby, 2007-07-26 23:20:32
[2166] Hajba Károly2007-07-27 12:47:46

A spirál alatt azt értem, hogy a mátrixot kivülröl körkörösen, majd mindig befelé haladva folyamatosan felfűztem. Ehhez, amint jól látod 1-gyel több vonal kell. Anno így határoztam meg a szükséges lépésszámot, azaz a spirálban található vonalak számából elvettem egyet. Persze később a képletet is meghatároztam. :o)

---

Az n=5 nemkilépő és visszazárón akkor elkezdek gondolkodni.

Előzmény: [2164] Csimby, 2007-07-27 09:52:47
[2165] Csimby2007-07-27 10:04:28

n=5-re is van nem kilépő, visszazáródó.

Előzmény: [2162] Hajba Károly, 2007-07-27 08:33:24
[2164] Csimby2007-07-27 09:52:47

Most látom csak hogy ez a feladat egyszer mennyire ki lett már vesézve (pl. 39.feladat), Spirálozás alatt amúgy azt érted hogy mindig az egyel kisebb oldalhosszú négyzet megoldásából állítjuk elő a következőt? Vagy mire gondolsz? Mert ugye ha csak úgy felspirálozzuk a pontokat, akkor az 1-gyel több szakasz.

Előzmény: [2162] Hajba Károly, 2007-07-27 08:33:24
[2163] Csimby2007-07-27 09:39:32

327./b-hez egy példa: Klein csoport: {x,-x,1/x,1/-x}

Előzmény: [2141] Csimby, 2007-07-07 04:02:03
[2162] Hajba Károly2007-07-27 08:33:24

A "spirálozást" még anno eljátszottam, mikor a 7*7-es megoldását kerestem. E témakörben az lehet még érdekes, hogy melyik legkisebb n-nél lehet már megoldást találni, (1)hogy vissza lehessen zárni, (2)hogy ne lépjen ki a törtvonal a külső pontokon ill. (1) és (2) egyszerre. n=4-re már lehet zárt görgét találni, n=5-re pedig nem kilépőt. A kettő együtt eddig még az ismert n=7.

Előzmény: [2161] Csimby, 2007-07-27 01:31:34
[2161] Csimby2007-07-27 01:31:34

Valószínűleg igazad lesz a 2(n-1)-gyel kapcsolatban. Van konstrukcióm minden n-re ami csak 2(n-1) szakaszból áll, tehát n=4-nél 6-ra már van megoldás.

Előzmény: [2159] Hajba Károly, 2007-07-27 00:54:05
[2160] Csimby2007-07-27 01:11:50

De most ne projektív síkon legyünk jó? :-) És a pontok legyenek tényleg pontszerűek.

Előzmény: [2158] jonas, 2007-07-27 00:39:02
[2159] Hajba Károly2007-07-27 00:54:05

Szerintem az általánosító képlet 2(n-1), azaz a mátrix pontjait spirálisan 2(n-1)+1 szakaszból álló törtvonal segítségével tudjuk felfűzni.

S így ezen feltételekkel szerintem már megoldhatóak. Lásd n=7 esetében már két szigorításal is. (nincs kilépés és visszazár)

Előzmény: [2148] Csimby, 2007-07-25 18:03:01
[2158] jonas2007-07-27 00:39:02

Persze négy vonallal is lehet: így

Előzmény: [2157] jonas, 2007-07-27 00:30:32
[2157] jonas2007-07-27 00:30:32

Én nem tudok rá megoldást, úgyhogy itt van egy sablon, amin lehet próbálkozni.

Előzmény: [2156] Csimby, 2007-07-26 23:20:32
[2156] Csimby2007-07-26 23:20:32

Hát ez nagyon ügyes, gratulálok!

328.-ban az a feladat pl. n=4-re, hogy az ábrán látható 16 ponthoz megadható e egy 5 szakaszból álló töröttvonal amit a "ceruza felemelése nélkül" meg tudunk rajzolni és mind a 16 ponton átmegy. n=3-ra van ilyen 4-vonalból ez az ábráról leolvasható. Valaki azt állította egy ismerősömnek, hogy minden n-re van ilyen töröttvonal, de szerintem már n=4-re sincs. (pl. az ábrán 2 pont kimarad)

Előzmény: [2154] nadorp, 2007-07-26 21:08:23
[2155] nadorp2007-07-26 21:15:30

Bocs, de a 328. feladatot nem fogtam fel, valahogy nem tudom összerendelni a hivatkozással. (Lehet hőgutát kaptam :-)

Előzmény: [2153] Csimby, 2007-07-26 19:17:17
[2154] nadorp2007-07-26 21:08:23

Másképp számoltam, a módszert még egyetemen hallottam egy szenzációs tanáromtól. Legyen f(x)=\frac{ax+b}{x+c} és tekintsük f(x) fixpontjait, azaz az f(x)=x egyenletet, x2+(c-a)x-b=0. Ha ennek két ( akár komplex) gyöke x1,x2, akkor

\frac{f(x)-f(x_1)}{f(x)-f(x_2)}=\frac{f(x)-x_1}{f(x)-x_2}=\frac{a-x_1}{a-x_2}\cdot\frac{x-x_1}{x-x_2} ( legyen ez a 327/a/a feladat :-), valamint

x1+x2=a-c és x1x2=-b

Indukcióval azonnal adódik, hogy \frac{f_n(x)-x_1}{f_n(x)-x_2}=\left(\frac{a-x_1}{a-x_2}\right)^n\cdot\frac{x-x_1}{x-x_2}.

Ha most a,x1,x2 értékét úgy választjuk meg, hogy

\frac{a-x_1}{a-x_2}=\rho_n=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n ( az első primitív n-dik egységgyök), akkor fn(x)=x adódik. Ha még x1=x2konjugált ( nem tudom a felső vízszintes vonalat TeX-ben :-), akkor x1,x2 lehetnek egy másodfokú egyenlet komplex gyökei.

Könnyen látható, hogy a=1, x1=-\rhon , x2=-\rhon-1 jók lesznek, innen b és c értéke a fentiek alapján könnyen számolható.

Előzmény: [2153] Csimby, 2007-07-26 19:17:17
[2153] Csimby2007-07-26 19:17:17

Köszi! Hogyha a törtfüggvénybe n-szer behelyettesítem önmagát, majd egyenlővé teszem ezt x-vel. a=1, b=-1-et helyettesítek és egyoldalra rendezem, akkor ebből kiemelhető lesz c-egy polinomja, amit megoldok hogy mikor 0. Így jön ki c-re az amit a megoldásban írtál? (n=3-ra ez működik, de 4-re nem szenvedtem végig)

Más: 328.-ra szerintem nemleges a válasz.

Előzmény: [2152] nadorp, 2007-07-26 12:03:32
[2152] nadorp2007-07-26 12:03:32

Bocs,

f(x)=\frac{x-1}{x+1+2\cos\frac{2\pi}n}

Előzmény: [2151] nadorp, 2007-07-26 11:58:54
[2151] nadorp2007-07-26 11:58:54

Konkrétan n\ge3 esetén f(x)=\frac{x-1}{x+1+\cos\frac{2\pi}n}

Előzmény: [2150] nadorp, 2007-07-26 10:02:25
[2150] nadorp2007-07-26 10:02:25

A 327/a feladatra szerintem pozitív a válasz, azaz minden n-re van olyan elsőfokú racionális törtfüggvény ( f(x)=\frac{ax+b}{x+c} alakú), melyre f(n)=x ( ez most kompozíció és nem deriválás :-)

Előzmény: [2148] Csimby, 2007-07-25 18:03:01
[2149] nadorp2007-07-26 08:49:17

Bocs, én még ennél a feladatnál tartok :-), de úgy néz ki, hogy az első megérzés volt a jó.

\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{2\le{i}<{j}\le n}log_ij=\frac12

Előzmény: [2143] Cckek, 2007-07-17 22:39:18
[2148] Csimby2007-07-25 18:03:01

Előző feladatomra sajnos senki se reagált :-( Itt van pár új.

328.feladat A [2].hozzászólásban szereplő 2.feladat általánosítható-e n×n-es négyzetre és n+1 egymáshoz csatlakozó szakaszra. Már n=4-re is kíváncsi lennék hogy mit mondtok.

329.feladat Két Sudoku -táblázat távolsága legyen azon mezők száma ahol eltérnek egymástól. Milyen távolságok fordulhatnak elő két táblázat között.

Érdekes kérdés még hogy hány különböző Sudoku-táblázat van, illetve, hogy legkevesebb hány mezőt lehet úgy megadni, hogy legyen egyértelmű megoldás. De ezekről sajnos azt találtam hogy igen nehezek lehetnek.

[2147] Cckek2007-07-22 13:11:23

Nos S(n)=\frac{x^{n+1}-1}{x-1} tehát xn+1-1=k(x-1)2 az-az deriválva kapjuk (n+1)xn=2k(x-1) de (x,x-1)=1, tehát (x-1)|(n+1). Forditva ha (x-1)|(n+1)\impliesn=k(x-1)-1 tehát S(n)=\frac{x^{k(x-1)}-1}{x-1} és itt is driválásal könnyen ellenőrizhető, hogy xk(x-1)-1=p(x-1)2

Előzmény: [2146] Lajos Arpad, 2007-07-21 10:41:18
[2146] Lajos Arpad2007-07-21 10:41:18

328. feladat Vegyük a kôvetkezô mértani haladványt: 1, x, x*x... x természetes szám és nagyobb mint 1, n természetes sám S(n)=1+x+...+(x) az n-dik hatványon Bizonyítsuk be, hogy: S(n)/(x-1) természetes szám <=> (n+1)/(x-1) természetes szám.

[2145] nadorp2007-07-18 14:34:55

Úgy látszik, tényleg meleg van, mert az eredmény most utólag nem tűnik jónak

Előzmény: [2144] nadorp, 2007-07-18 14:03:11

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]