Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[217] Hajba Károly2004-01-15 00:06:40

Kedves Gubbubu!

A rajzolást nem egyszerűbb, de rajzprogrammal készítettem. Mérnök lévén, rendelkezésemre áll egy profi CAD program, de innentől kezdve "csaltam", mint Rodolfo. Minden egészértékhez kiszámoltam a függvényértéket és erre a koordinátahelyre pontot illesztettem, majd a pontsorra egy Bezier-görgét. A parabolát százalékos, míg a hiperbolát ezrelékes pontossággal követi. A harmadik metszéspontot 2 tizedesjegy pontossággal megadta, innen már numerikusan finomítottam az értéket.

A pótkérdéseidre nem tudok válaszolni, mivel a szakmámhoz nem szükséges matematikatudásom nem jár a fellegekben. Talán Géza vagy Sirpi mondanak valami érdekeset e témáról. :o)

HK

Előzmény: [214] Gubbubu, 2004-01-14 20:09:39
[216] Gubbubu2004-01-14 23:50:07

Kedves Csimby;

Valóban, ez nem tűnik borzasztó nehéznek. Sőt, alighanem a 2n+1=n2 diofantikus egyenlet is hasonlóképp oldható meg. Vagyis 23 az egyetlen kettőhatvány, melyhez egyet adva a hatvány (az alap és kitevő szerepe) "megfordul".

Köszönettel: G.

Előzmény: [215] Csimby, 2004-01-14 22:27:23
[215] Csimby2004-01-14 22:27:23

Az egészek könnyen megmondhatóak: Ha n nagyobb/egyenlő kettővel, akkor (2 az n.-en), 4-gyel mindig osztható, míg n*n+1, 4-gyel osztva 1 vagy 2 maradékot ad -> marad az n=0 és n=1 eset.

[214] Gubbubu2004-01-14 20:09:39

Kedves Onogur, azaz Károly!

Köszönöm a megoldást, külön az ábrát. Érdekelne, hogy mivel csináltad (pl. valamilyen mat. szoftverrel, vagy egyszerűbb rajzprigrammal)? Én szabadkézi rajzzal próbálkoztam, de - amint látható - a két görbe túlságosan összeesik, így eltekintve a két triviális megoldástól és a harmadik szemmel láthatótól, nemigen látszott semmi.

Ezek után már csak két kérdés marad:

48.B. feladat: Nem lehetne valahogy algebrailag vagy számelméletileg megoldani? Megelégednék azzal is, ha csak az egész megoldásokat találnánk meg, de számolással.

48.C. feladat: Nincs-e a harmadik, nem egész megoldásnak pontos értéke, mondjuk valami egész szám logaritmusa?

Emlékeztetőül: a n2+1=2n egyenletről van szó.

Előzmény: [213] Hajba Károly, 2004-01-14 13:13:16
[213] Hajba Károly2004-01-14 13:13:16

Kedves gubbubu!

A 48. feladatra itt van az ábra, ott lent kétszer metszik egymást a görbék. Továbbá a három megoldásból két nyilvánvaló eredmény az x1=0 ill. x2=1, továbbá az általam közelítő módszerrel kiszámolt x3\approx4,25746.

Előzmény: [207] Gubbubu, 2004-01-06 21:14:24
[212] Kós Géza2004-01-11 15:11:06

A diszkrét fogalma megengedi hogy a halmaznak legyen torlódási pontja, csak a torlódási pont nem lehet a halmazban. Például az 1,1/2,1/3,... sorozat diszkrét, pedig van torlódási pontja, a 0.

Mindkét értelmezésben igaz, hogy Rn-ben minden diszkrét halmaz megszámlálható, ezt többféleképpen is be lehet bizonyítani. Nem írom le egyik megoldást sem, csak útbaigazítást szeretnék adni.

1. megoldás: A halmaz minden pontjához rendeljünk hozzá (valahogy, ügyesen) egy olyan, közeli pontot, aminek mindegyik koordinátája racionális.

2. megoldás: Osszuk fel a teret megszámlálható sok korlátos részre, például egységkockákra, és keressünk olyan kockát, amiben a halmaznak sok pontja van.

Akinek esetleg mindez túl könnyű, annak egy nehezebb változat: Bizonyítsuk be, hogy egy f:R\toR függvénynek csak megszámlálható sok helyen lehet szigorú lokális maximuma. (Egy a pontban szigorú lokális maximuma van, ha létezik olyan \varepsilon>0 szám, hogy minden x\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon), x\nea esetén f(x)<f(a).)

Előzmény: [211] Csizmadia Gábor, 2004-01-10 16:50:46
[211] Csizmadia Gábor2004-01-10 16:50:46

49. feladat

Szerintem nagyon érdekes ez a feladat, már régóta foglalkoztatott a kérdés, de csak nemrég tudtam megadni rá a választ: Ismeretes, hogy bizonyos ponthalmazok diszkrét pontokból állnak, bizonyos ponthalmazok pedig nem. Diszkrét ponthalmazoknak nincs torlódási pontjuk. Ha a természetes számokat ábrázoljuk a számegyenesen, akkor azok diszkrét pontokként jelennek meg. A racionális számok számossága megegyezik a természetes számokéval, a számegyenesen mégis minden pontjuk torlódási pont. Valós számokat úgy képzeljük el, hogy folytonosan kitöltik a rendelkezésre álló számegyenest, valamint tudjuk, hogy a valós számok számossága nagyobb, mint a természetes számoké. Általában egy euklideszi tér pontjai ugyanannyian vannak, mint a valós számok. De vajon létezik-e olyan diszkrét Rn-beli (n természetes szám, tehát egyenes pontjaiból álló, síkbeli, térbeli, vagy magasabb dimenzióbeli) ponthalmaz, aminek ugyanannyi pontja van, mint ahány valós szám?

[210] Hajba Károly2004-01-09 12:21:40
Előzmény: [209] Hajba Károly, 2004-01-09 12:20:15
[209] Hajba Károly2004-01-09 12:20:15
[208] Csimby2004-01-07 00:07:28

Legyen a számtani sorozat 1. eleme: a, differenciája d, ekkor az első n+1 elem összege: a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+...+(a+nd)=(n+1)a+(n(n+1)/2)d=(n+1)(a+(n/2)d). T.F.H. ez egyenlő a szorzatukkal: (n+1)(a+(n/2)d)= a(a+d)(a+2d)(a+3d)...(a+nd) Osszunk le (a+(n/2)d)-vel: (ha n páratlan akkor ez nem szerepel a jobb oldalon,de végig lehet gondolni, hogy így is jó). n+1=a(a+d)(a+2d)...(a+(n/2-1)d)(a+(n/2+1)d)...(a+nd) ha d=0, akkor trivi, nézzük most d>1-et, ekkor: a+nd>a+n. a=0 trivi. Ha a>=1 akkor a+n>=n+1 -> a+nd>n+1, és mivel a szorzatban minden tag >=1, a szorzat nagyobb lesz a bal oldalon maradt (n+1)-nél (hiszen a jobb oldalon szerepel (a+nd) mint szorzó tényező) Maradt a d=1 eset. a+nd=a+n,csak akkor ha a szorzásban a többi tényező 1 -> n=2, a=1

[207] Gubbubu2004-01-06 21:14:24

Üdv!

Rövid időre megint itt vagyok.

Örülök, hogy legalább egyik feladatom megoldhatónak (tehát értelmesnek) bizonyult, remélem szereztem egy kellemes percet GJ-nek, nem hiszem, hogy tovább törte volna a fejét... köszönet a frappáns megoldásért!

Valahol a http://orange.ngszkij.hu honlapon állítólag van néhány megjegyzés e feladattal ill. általánosításaival kapcsolatban (nekem hibát jelez a Netscapem, ha odamegyek, nem tudom, pontosan hol).

Néhány hiba vagy hiányosság került az előző, 204-es hozzászólásomba (csak most tanulom a TEX-et...):

1. a második 47. feladat valójában a 48. (feltéve, ha az előzőek számozása hibamentes);

2. Eme feladatnak elsősorban az algebrai-számelméleti jellegű megoldásai érdekelnének, bár ha valaki ábrát készítene, az is szép lenne... (A feladatban az lenne az "érdekes", hogy egy hatványhoz egyet adva fordul az alap és a kitevő szerepe, jé!...)

3. A 6-ról szóló feladatban cáfolással érdemes próbálkozni, legalábbis valós számokból álló számtani sorozatok esetében. Ha a kérdéses számtani sorozat tagjai-elemei számát 2-re ill. 3-ra korlátozzuk, "kellemes" kis polinomgyök-keresési ill. diofantikus problémákat kapunk, nem muszáj rögtön az egész feladatot teljesen általánosan megoldani...

Megjegyzem, nyithatnánk egy Érdekes matematikai feladatok II. topicot az eddig megoldatlan feladatokat összegyűjtendő, mert kezd a dolog áttekinthetetlenné válni...

[206] lorantfy2004-01-06 20:50:09

Kedves Attila!

Kösz a helyreigazítást. Én is rájöttem a hibára, csak már azután, hogy feltettem a hozzászólást. Hirtelen valami olyasmire gondoltam, hogy miközben x mint valós szám végigfut az adott intervallumon, a zárójelben lévő kifejezés értékei milyen egész számokat érintenek, és ezek szummája. Ez persze hülyeség, elkapkodtam!

Nagyon szép és szemléletes a megoldásod! Az a fajta, amit megnéz az ember és csak fogja a fejét: - Milyen egyszerű, mért nem jutott ez nekem eszembe? Felteszek egy ábrát, hátha más is kedvet kap, hogy megnézze a hozzá tartozó feladatot és megoldást! (Lászlónak hívnak!)

Előzmény: [203] jenei.attila, 2004-01-05 15:27:03
[1452] jenei.attila2004-01-06 10:55:56

Sziasztok!

A 41.feladat megoldása

A feltételekből következik, hogy p|ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de -nek. A szimmetrikus polinomok alaptétele szerint mindem szimmetrikus polinom előáll elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként. Ez alapján:

a5+b5+c5+d5+e5=5abcde+(a+b+c+d+e)5-

-5(a+b+c+d+e)3(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)+5(a+b+c+d+e)(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)2+

+5(a+b+c+d+e)2(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)-

-5(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)-

-5(a+b+c+d+e)(abcd+abce+abde+acde+bcde)

. Innen már látszik a feladat állítása.

Előzmény: [182] Pach Péter Pál, 2003-12-08 20:18:19
[205] GJ2004-01-05 19:35:20

46.feladat p prím,tehát 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad tehát ha p maradéka 1 (3-mal osztva)->p+2 maradéka (3-mal osztva) 0->p+2 nem prím hasonlóan ha p maradéka 3-mal osztva 2,akkor p-2 maradéka 0(3-mal soztva)->p-2 nem prím

vagyis nincs az 5-ön kívül ilyen p prím

Előzmény: [204] Gubbubu, 2004-01-05 19:22:37
[204] Gubbubu2004-01-05 19:22:37

Üdvözlök mindenkit!

A két ünnep között egy nap azzal szórakoztam, hogy a természetes számok során valameddig végigmenve a számokat különféle nevezetes sorozatokba soroltam. Ennek során egész érdekes, könnyebb-nehezebb problémákra bukkantam, sokat egyáltalán nem tudok vagy nincs időm megoldani, de hátha másokat érdekel. Néhány példa:

46. feladat:

Van-e olyan p prím az 5-ön kívül, amelyre p-2, p és p+2 is prím? Keressünk minél többet, vagy lássuk be hogy nincs.

47. feladat:

Lássuk be vagy cáfoljuk meg, hogy 6 az egyetlen szám (poz. egész, egész, rac., valós vagy komplex), amely ugyanazon számtani sorozat elemeinek egyszerre az összege és a szorzata!

47. feladat:

Oldjuk meg a n2+1=2n egyenletet!

Egyenlőre ennyi.

(Várhatóan hétvégén jövök újra, addig megoldani!)

[203] jenei.attila2004-01-05 15:27:03

Kedves István!

A Te megoldásoddal az a baj, hogy miközben az x végigmegy a megfelelő egész számokon, nem biztos, hogy 1-től egyesével növekedve kapjuk a számokat [P/Q*x]-ből, hanem a sorozatban az egymás utáni tagok [P/Q]-val, vagy [P/Q]+1 -gyel növekszenek.

Vegyük a derékszögű koordináta rendszerben a P/Q meredekségű, origón áthaladó egyenest, és tekintsük az x=1, y=1, és x=[Q/2], y=[P/2] egyenesek által határolt téglalapot. Ekkor a bizonyítandó egyenlőség mindkét oldala, a téglalapban található rácspontok (mindkét koordinátája egész) számát adja (a határokat is beleértve). Ugyanis [P/Q*x] az x-en áthaladó függőleges egyenesen fekvő, P/Q meredekségű egyenes alatti, a szóbanforgó téglalapba eső rácspontok száma. Ha x végigfut a megfelelő egész számokon, nyilván megkapjuk az összes, téglalapba eső, P/Q meredekségű egyenes alatti rácspontok számát. A másik szumma ugyanígy az egyenes feletti rácspontok számát adja. A feltételek biztosítják, hogy nem esik rácspont a P/Q meredekségű egyenesre, így minden pontot csak egyszer számolunk. Márészt a jobboldali kifejezés közvetlenül a téglalapban fekvő rácspontok számát adja.

Előzmény: [194] lorantfy, 2003-12-17 23:58:40
[202] Efperef2004-01-04 18:11:51

Kössz!!! :-)))

Előzmény: [201] Geg, 2004-01-01 20:01:09
[201] Geg2004-01-01 20:01:09

Ugy, hogy a piros es a zold haromszogek nem hasonloak.

Előzmény: [200] Efperef, 2004-01-01 16:52:47
[200] Efperef2004-01-01 16:52:47

Hogyan lehetséges???

[199] lorantfy2003-12-29 14:48:13

44. feladat: Arkhimédész "problema bovinum"-a (kb. 2222 éves faladat!) Volt a Napistennek egy bikákból és tehenekből álló csordája, amelyiknek egyik része fehér, egy másik része fekete, egy harmadik része tarka és egy negyedik része barna marhákból állt. A fehér bikák száma a fekete bikák számának felével meg egyharmadával volt több, mint a barna bikáké, a feketéké a tarka bikák számának negyedével meg ötödével, a tarkáké pedig a fehérek számának egyhatodával meg egyhetedével. A fehér tehenek száma az összes fekete marhák számának egyharmada meg egynegyede volt, a fekete tehenek száma az összes tarka marhák számának egynegyede meg egyötöde, a tarka tehenek száma az összes barna marhák számának egyötöde meg egyhatoda, a barna tehenek száma az összes fehér marha számának egyhatoda meg egyhetede. Hogyan tevődött össze a csorda a különböző színű állatokból?

Szilveszter utáni önteszthez ajánlom ezt a feladatot! (Magamhoz tértem-e már?)

(A feladat Heinrich Dörrie: A DIADALMAS MATEMATIKA c. könyvében található.)

[198] Pach Péter Pál2003-12-18 19:48:53

Úgy látszik, félreérthető volt a feladatom. Elnézést mindenkitől.

A feladatban [a] az a szám (alsó) egészrészét jelöli.

Előzmény: [194] lorantfy, 2003-12-17 23:58:40
[197] Ratkó Éva2003-12-18 16:18:12

34. feladat: Jártam a színházban, és beszéltem egy jegyszedövel is, aki természetesen tiltakozott. Szerinte csak véletlenül nem tudtak visszaadni. Annyit megtudtam, hogy 1000 Ft apróval indítják útnak a jegyszedöket, illetve 450 és 650 Ft-os árai vannak a füzeteknek (ennyi jutott akkor eszébe, persze lehet, hogy van más ár is). Így azt a kérdést tudjuk feltenni, hogy hány füzetet tud egy jegyszedö eladni legalább p valószínüséggel. És ha nem akarunk teljesen sötétségben tapogatózni, valamiféle felmérést kellene végezni arról, hogy milyen valószínüséggel van valakinél apró (ezt természetesen alaposan átgondolt kérdések formájában).

[196] lorantfy2003-12-18 12:42:47

Kedves Géza!

Köszönet a segítségért! Közben rájöttem, hogy ennyire egyszerű a megoldás. Gondolkodom a 34.c-n. Sajnos a Catalan-számokról fogalmam sincs. Akinek van segíthet!

Pontosítás az előző hozzászólásomhoz:

A 42. feladatról van szó!

Előzmény: [195] Kós Géza, 2003-12-18 10:52:47
[195] Kós Géza2003-12-18 10:52:47

A < és > karaktereknek nincs semmilyen különleges jelentése, minden további nélkül működnek.

A 34c feladatra létezik teljesen számolásmentes megoldás is. :-)

Előzmény: [193] lorantfy, 2003-12-13 11:00:24
[194] lorantfy2003-12-17 23:58:40

41. feladathoz: Legyen P=2p+1 és Q=2q+1, ahol p,q pozitív egész számok.

Ekkor a jobb oldal:

 \frac{(P-1)(Q-1)}{4} =\frac{(2p+1-1)(2q+1-1)}{4}=pq

Bal oldalon az első szumma, miközben x végigsöpör az adott intervallumon, előállítja az egész számok összegét 1-től p-ig.

\sum_{0<x<\frac{Q}{2}}{\left[\frac{Px}{Q}\right]}=1+...+ 
\left[\frac{(2p+1)(2q+1)}{(2q+1)2}\right]=1+...+\left[p+\frac{1}{2}\right]=1+...+p= \frac{p^2+p}{2}

Hasonlóan a második szumma is. Így a bal oldal: \frac{p^2+p+q^2+q}{2} \ne pq

(P=3, Q=5 esetén 1+2\ne2)

Szóval itt valami baj van. Lehet, hogy tévedek, de valaki legalább hozzászól!

Előzmény: [182] Pach Péter Pál, 2003-12-08 20:18:19

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]