[2212] Lóczi Lajos | 2007-08-06 20:56:35 |
Az eredmény (borzasztó nagy valószínűséggel) 6. A gép szimbolikus válasza csúnya hipergeometrikus függvényt és gammafüggvényt tartalmaz, de minden numerikus közelítés 6-ot ad.
Lássuk a levezetést és a tanulságokat! :)
|
Előzmény: [2209] Cckek, 2007-08-04 20:12:02 |
|
[2211] Csimby | 2007-08-04 23:55:24 |
Mivel tudjuk, hogy zn is rajta van a komplex egységkörön (hiszen z rajta van), ezért zn szerintem már csak kétféle lehet, amiket írtam, z konjugált vagy -z hiszen ha z=a+bi akkor az y=-b egyenes legfeljebb két pontban metszi a komplex egységkört, -a-bi-ben és a-bi-ben.
|
Előzmény: [2204] Cckek, 2007-08-04 17:00:39 |
|
|
|
|
[2207] HoA | 2007-08-04 19:34:06 |
Ugyanez egy kicsit másképp: n = 3k + 2 esetén zn+z+1=z3k+2+z+1=z2+z+1+z3k+2-z2=(z2+z+1)+z2(z3k-1) és itt a 3. primitív egységgyökök mindkét tagnak gyökei.
|
Előzmény: [2200] Csimby, 2007-08-04 15:26:15 |
|
|
|
[2204] Cckek | 2007-08-04 17:00:39 |
Hogy a képzetes részek egymás ellentettjei ebből nem következik, hogy z és zn egymás konjugáltjai. Probáld inkább a z egységmoduluszú gyök akkor is gyök utat:)
|
Előzmény: [2202] Csimby, 2007-08-04 16:43:26 |
|
|
[2202] Csimby | 2007-08-04 16:43:26 |
Másik biz., amiből kijön a másik irány is: t.f.h. van 1 absz. értékű z megoldás. Ekkor zn is 1 absz. értékű. Mivel z+zn=-1, ezért képzetes részeik egymás ellentettjei, vagyis z és zn egymás konjugáltjai vagy pedig z=-zn. A z=-zn eset kilőve, hiszen akkor z+zn nem -1 hanem 0. Marad az, hogy egymás konjugáltjai, ekkor viszont -1/2 a valós részük (hiszen összegük -1). És máris megkaptuk, hogy z csak 3. primitív egységgyök lehet. Ebből már következik, hogy n=3k+2 hiszen n=3k esetében zn=1, n=3k+1 esetében zn=z és csak n=3k+2 esetben lesz zn egyenlő z konjugáltjával.
|
Előzmény: [2201] Cckek, 2007-08-04 15:29:15 |
|
|
[2200] Csimby | 2007-08-04 15:26:15 |
n=3k+2 esetén zn+z+1=(1+z+z2)(1-z2+z3-z5+...+zn-2) ahol a jobb oldal második tényezőjében váltakozó előjellel szerepelnek z növekvő hatványai és azok maradnak ki amelyekben a kitevő 3k+1 alakú. Mivel 1+z+z2-nek a 3. primitív egységgyökök gyökei és ezek 1 abszolútértékűek, ezért az egyik irány kész van.
|
Előzmény: [2198] Csimby, 2007-08-04 15:09:43 |
|
|
|
[2197] Cckek | 2007-08-04 12:53:25 |
Egy olimpiászfeladat:
Bizonyítsuk be, hogy a zn+z+1=0 egyenletnek akkor és csakis akkor van egységnyi moduluszú komplex gyöke, ha n 3-mal való osztási maradéka 2.
|
|
[2196] Hajba Károly | 2007-08-02 08:04:16 |
OK. Akkor teljes szigorral csak n=7-re ismerünk megoldást.
Alacsony n-re szerintem nincs, ha van, akkor az magasabb n-re lesz. Ez minimum n>7, mivel n=7-re vért izzadva leltünk megoldást.
|
Előzmény: [2194] Csimby, 2007-08-02 00:56:23 |
|
[2195] Lóczi Lajos | 2007-08-02 02:14:23 |
A számítógépbe csak beírom, hogy DSolve, lásd pl. itt.
Amúgy meg a legyegyszerűbb módszer a következő. (Nem írok se vektort, se mátrixot.)
Adott tehát az y'=y+2z és z'=-y+3z rendszer. Kifejezed pl. az elsőből z-t y-nal és beírod a másodikba. Kapsz egy valós, homogén, lineáris, másodrendű egyenletet y-ban. A karakterisztikus polinom két gyöke 1,2=2i, vagyis (használva az Euler-formulát) két lineárisan független megoldás az és . Emiatt y(x)=c1.y1(x)+c2.y2(x). Innen z(x) már csak egy szimpla visszahelyettesítés. (Láthatod, hogy nem betű szerint ugyanaz jött ki, mint amit a gép adott, de könnyen látszik, hogy c1 és c2-t alkalmasan átnevezve mégsem kaptunk mást.)
|
Előzmény: [2193] Willy, 2007-08-02 00:35:58 |
|
|
[2193] Willy | 2007-08-02 00:35:58 |
Megkérhetnélek mindkettőtöket, hogy mutassátok meg, ti egész pontosan hogyan oldanátok meg a feladatot (a gépesnek is nagyon örülnék). (Ugyanis se diffegyenletet nagyon, se komplex függvénytant nem tanultam még suliban, csak saját szakállamra; és nem nagyon látom át a helyzetet.)
Előre is köszönöm :-)
|
Előzmény: [2192] Lóczi Lajos, 2007-08-02 00:20:51 |
|
|
[2191] Cckek | 2007-08-01 21:26:43 |
Bocs Willy, az előző hozzászolásomban a mátrix:
.
Elfelejtettem, hogy megváltoztattam a feladat adatait:)
|
|
[2190] Cckek | 2007-08-01 21:19:55 |
Helló Willy.
Igen, valami ilyesmi jött ki nekem is vizsgán, bár kissé bonyolultabban.
Ahol 1=-1+i,2=-1-i sajátértékek és
sajátvektorok. Na ezt kéne valóssá alakítani.
|
Előzmény: [2186] Willy, 2007-08-01 02:36:51 |
|
[2189] Hajba Károly | 2007-08-01 21:14:07 |
De ez ugye csak nem-kilépő? Mert nálam a visszazárt annyit tesz, hogy a kiindulási pontba zár vissza. Azaz nem lehet a gráf egyetlen pontja sem páratlan élű, csak páros. Nálam. :o)
Ha a bal alsóból [1,1] indulsz, akkor csak a [4,4]-be érkezhetsz. Erre én is ráleltem, csak én nem hosszabbítottam meg a már meglévő vonalig. Az [1,1]-be kellene vissza is érkezni.
|
Előzmény: [2188] Csimby, 2007-08-01 20:36:28 |
|
|