Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2287] Sirpi2007-09-18 09:38:06

Mielőtt leégne a nagy munkától a procid, próbáljuk meg "kicsit" szűkíteni a keresési teret.

Nézzük először a b) esetet, ott program nélkül is sikerült felderítenem az összes megoldást. Legyen a vizsgálandó n szám m+1-jegyű (\left. 10^m \leq n < 10^{m+1} \right.), és írjuk fel n=10a+b alakban, ahol 1\leqb\leq9, és 10m-1\leqa<10m, tehát az első m jegyből alkotott számot jelöli a, az utolsót pedig b. Vigyük b-t előre (az így kapott szám 10mb+a), és tegyük fel, hogy ettől a szám k-adrészére változik (mivel mindkét szám m+1 jegyű, és valódi osztót keresünk, ezért 2\leqk\leq9):

10a+b=k(10mb+a)

Innen

a = \frac{k10^m-1}{10-k}b

Az első észrevétel, hogy ha k>5, akkor a jobb oldal több, mint m-jegyű, hiszen legalább 5.10m-t osztjuk legfeljebb 4-gyel, amit még b-vel meg is szorzunk, ez már b=1 esetén is nagy.

Ha k=5, akkor a=499...9/5.b, viszont ekkor b csak 5 lehet, hogy egész számot kapjunk, megint nagy lesz a (499...9).

k=4 esetén a=399...9/6.b, itt b-t legalább 2-nek kell választanunk, hogy egész számot kapjunk, de b=2 esetén a=133...3, ami szintén sok. A k=3 esetet a végére hagyom, mert az az érdekes. k=2-re a=199...9/8.b, itt b csak 8 lehet, ekkor a=199...9, szintén túlcsordul.

Ha k=3, akkor a=299...9/7.b, ha b=7 lenne, akkor túl nagy számot kapnánk, ezért a 299...9 számnak oszthatónak kell lennie 7-tel. A 10m 7-es maradékai rendre (0-tól kezdve) 1, 3, 2, 6, 4, 5, és innentől ismétlődik, ezt 3-mal szorozva, majd 1-et kivonva a 2, 1, 5, 3, 4, 0 periódusú sorozatot kapjuk.

Az jött ki tehát, hogy csak akkor van megoldás, ha m+1 osztható 6-tal, és ilyenkor hogy elkerüljük a túlcsordulást, b csak 1 vagy 2 lehet.

Ekkor a következő megoldások adódnak:

428571\to142857  (b=1)

857142\to285714  (b=2)

428571428571\to142857142857  (b=1)

857142857142\to285714285714  (b=2)

stb.

Tehát a két alapmegoldás (amit a 3/7 és a 6/7 tizedestört alapjából kapunk) néhányszor egymás mögé írásával adódik az összes megoldás.

Előzmény: [2286] jonas, 2007-09-17 22:34:43
[2286] jonas2007-09-17 22:34:43

Ellenőriztem, valóban csak az a kilenc darab 12 jegyű megoldás van, amit a hétjegyűek ismétléseként kapunk. Elindítom a programot 13 jegyűre, elvileg két nap alatt végeznie kell.

[2285] jonas2007-09-17 16:31:36

Hát, engem például meglep, hogy a 17 nem szerepel, holott az 1/17 tizedes törtként 16 periódusú.

Természetesen az ilyen sorozatoknak a Sloane-ben érdemes utánanézni. Az (a) feladat megoldásait A034089 adja meg, de meglepő módon a (b) nincs benne.

Előzmény: [2282] Lóczi Lajos, 2007-09-17 15:46:43
[2284] jonas2007-09-17 16:23:37

Az 102564102564 a hozzászólás végén természetesen törlendő, mert 12 jegyű, és egy hatjegyű ismétlése.

Előzmény: [2281] jonas, 2007-09-17 15:16:49
[2283] Lóczi Lajos2007-09-17 15:48:45

Csak írd fel részletesen, mely azonosságoknak kell egy gyűrűben teljesülniük (modellként vedd a számokat az összeadással és a szorzással, csak a szorzás ne legyen kommutatív) -- és mindegyik automatikusan teljesülni fog, mert a leképezések között az összeadás és a kompozíció úgy van definiálva, hogy ezek pont teljesüljenek...

Előzmény: [2278] diakmatekos, 2007-09-17 13:55:04
[2282] Lóczi Lajos2007-09-17 15:46:43

Érdekes. Vajon honnan jönnek ezek a furcsa nevezők: 7, 13, 45, 79, amelyek a megoldásokban szerepelnek???

Előzmény: [2281] jonas, 2007-09-17 15:16:49
[2281] jonas2007-09-17 15:16:49

Tizenegyjegyű sincs. Lehet, hogy majd lefuttatom a kimerítő keresést a tizenkétjegyűekre is, mert az egy napon belül biztosan végezne. Eddig tizenkétjegyűekből csak a hatjegyűek ismétlését ismerem, tizenháromjegyűből pedig a következőket: 1012658227848 és 1139240506329 (az 1/79 jegyei), valamint 102564102564.

Előzmény: [2279] jonas, 2007-09-17 13:57:56
[2280] jonas2007-09-17 14:34:10

Sőt, könnyen lehet, hogy sok másik példa is így áll elő, például 153846 az 1/13 jegyeiből; 102564 (a legkisebb ilyen szám) az 1/45-ből. Valójában az 1/7, 1/13, és 1/45 együtt magyarázatot adnak minden hatjegyű példa eredetére.

Érdekes feladat ez.

Előzmény: [2275] Sirpi, 2007-09-17 13:07:29
[2279] jonas2007-09-17 13:57:56

Tízjegyű sincs.

Előzmény: [2277] jonas, 2007-09-17 13:50:36
[2278] diakmatekos2007-09-17 13:55:04

Sziasztok! Itt egy érdekes, (talán inkább nehéz) feladat:

Legyen U vektortér az F test fölött, és jelölje End(U) összes lineáris transzformációi halmazát. Igazolnunk kellene, hogy End((U),+,*) gyűrű, ahol a két művelet a lineáris leképezések ismert összeadása és a leképezésszorzás.

a hozzákezdéshez kellene vmi ötlet. Remélem tudtok segíteni. köszi

[2277] jonas2007-09-17 13:50:36

Kilencjegyű sincs. Most számolom a tízjegyűeket.

Előzmény: [2276] jonas, 2007-09-17 13:26:26
[2276] jonas2007-09-17 13:26:26

Meglepő módon, noha hatjegyű példából (a) 7 (b) 2 is van, nemhogy ennél kisebb nincs, de hét- és nyolcjegyű szám sincs, ami teljesíti a feltételek valamelyikét.

Előzmény: [2273] jonas, 2007-09-17 13:00:51
[2275] Sirpi2007-09-17 13:07:29

Sőt, végtelen sok ilyen van, csak egy példa, hogy ne kelljen messzire menni: 142857142857 :-)

Előzmény: [2274] jonas, 2007-09-17 13:02:10
[2274] jonas2007-09-17 13:02:10

Teljesen hasonlóan az 142857 jó az (a) esetre.

Előzmény: [2273] jonas, 2007-09-17 13:00:51
[2273] jonas2007-09-17 13:00:51

Tévedtem, mégis van ilyen szám. Korábban vagy nem jól kerestem, vagy csak túl kicsi számok között. A legkisebb ilyen szám az (a) esetben 102564, mivel 4.102564=410256, a (b) esetben pedig 428571, mivel 428571=3.142857. Az utóbbira rá is kellett volna jönnöm, hiszen mindenki tudja, hogy ezek az ismétlődő jegyek az 1/7,2/7,...,6/7 törtekben. Ezeken kívül más ilyen számok is vannak.

Előzmény: [2272] jonas, 2007-09-17 12:37:15
[2272] jonas2007-09-17 12:37:15

Én gyengén arra tippelek, hogy nincs ilyen szám, de ezt csak arra tudom alapozni, hogy kis számok között nem találtam ilyet.

Előzmény: [2271] Lóczi Lajos, 2007-09-16 19:53:51
[2271] Lóczi Lajos2007-09-16 19:53:51

Van-e olyan n pozitív egész, hogy n

a.) valódi osztója J(n)-nek?

b.) valódi többszöröse J(n)-nek?

(A feladatban J(n) azt a pozitív egészt jelöli, amely n-ből úgy keletkezik, hogy annak utolsó számjegyét az első helyre mozgatjuk át. Nullával nem kezdődnek számok.)

[2270] Sirpi2007-09-13 09:53:56

Igen, ezt már én is végiggondoltam, és szerintem a kérdés úgy értelmes, hogy a sorrendet Te állíthatod fel, és az egymás utániaknak kell azonos távolságra lenniük. Egyébként nem teljesen világos, hogy miért kell ehhez térbe kimenni, ugyanis, ha veszünk egy, az egyenesekre párhuzamos síkmetszetet, akkor azt a feladatot kapjuk, hogy van néhány nem egyenlő távolságú pontunk a síkban, legkevesebb hány pontot kell felvennünk úgy, hogy egyenlő távolságúakat kapjunk.

Magyarul mi az a legszerencsésebb konfiguráció, amit kevés ponttal is "ki tudunk javítani". Ami még nem teljesen világos, hogy a nemegyenlőközű azt jelenti, hogy a rendezés szerinti sorrendben nem fordul elő az egymás utániak között két egyforma távolság, vagy semelyik két távolság nem azonos (bár az előbbi értelmezés szerint elég lehet akár egyetlen pontot is beszúrnunk, szóval ez nem tűnik túl logikusnak).

Meg ami még kérdés, hogy ha tényleg jól értelmezem, akkor záródnia kell-e a körnek a végén, tehát az első és utolsó közt is a megfelelő távolságnak kell-e lennie, vagy ez nem szükséges?

És bocs, ha totál félreértettem az egészet, de abból a 2 szűkszavú sorból, amit olvastam, nekem ezt sikerült összeraknom.

Előzmény: [2269] Csimby, 2007-09-12 22:29:10
[2269] Csimby2007-09-12 22:29:10

Szia!

Lehet, hogy nem jól értem a feladatot, de pl., ha n=3 és az egyenesek a következőek: (z=0,x=0); (z=0,x=1); (z=0,x=\sqrt{2}), akkor véges sok egyenessel nem lehet megoldani, hiszen ha az egyenlőközű párhuzamosok távolsága: L, akkor egyrészt 1=kL másrészt \sqrt{2}=mL ahol n és m poz. egész, tehát L egyrészt rac. másrészt irrac. kell, hogy legyen. Meg azt sem értem, hogy mit jelent az, hogy egyenlőközű ha az egyenesek nem esnek egy síkba, csak mert 3-nál több párhuzamost nem tudsz úgy elhelyezni a térben, hogy bármely 2 ugyanakkora távolságra legyen egymástól. (Síkban gondolom azt jelenti, hogy egymás után mindig ugyanakkora távolságra következnek, de térben mi a sorrend?)

Előzmény: [2266] Cckek, 2007-09-10 22:53:29
[2268] rizsesz2007-09-12 19:57:31

a skatulya-elv alapján minden helyiértékhez létezik legalább 2 olyan szám a 11 közül, amelyekre igaz, hogy az adott helyiértéken ugyanaz a szám áll. mivel végtelen sok helyiérték van, és a 11 szám közül véges sokféleképpen lehet kettőt kiválasztani (55 módon), ezért ha bármelyik 2 számhoz hozzárendeljük az egyező helyiértékek számát, akkor ezek egyinkének végtelennek kell lennie, lévén az összes egyezések száma végtelen.

[2267] Lbandi2007-09-12 19:47:24

Bizonyítsuk be, hogy az 1pi, 2pi, 3pi ... , 11pi számok között van két olyan, mely végtelen sok számjegyben megegyezik.

[2266] Cckek2007-09-10 22:53:29

Nagyon sajnálom ezt a feladatom itt kitűzni, ám legyen:) Adott n darab nemegyenlőközű párhuzamos (nyaláb) a térben. Legkevesebb hány párhuzamost (m darab, m=f(n)) kell húzni hozzájuk, hogy egyenlőközű párhuzamosokat (nyalábot) kapjunk?

[2265] Cckek2007-09-05 16:08:11

Ez azt hiszem valós elemű mátrix esetén is igaz amennyiben az diagonizálható, az-az n darab különböző sajátértékkel rendelkezik. Legalábbis ezt a Jordan féle kanonikus alakból be tudom bizonyítani. A legnagyobb probléma akkor van ha vannak többszörös sajátértékek. Jó úton haladok???

Előzmény: [2254] ilozagrav, 2007-08-26 21:30:33
[2264] Hajba Károly2007-09-05 09:36:37

Nem talán.

Ez! :o)

Előzmény: [2261] Cckek, 2007-09-04 18:46:34
[2263] SÁkos2007-09-04 19:21:48

és ekkor pl |x|-x x x=x egyenlethet jutunk:P

Előzmény: [2262] SÁkos, 2007-09-04 19:20:55

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]