Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2319] nadorp2007-09-20 13:35:30

Bocs, persze 0-tól megy, csak másoltam az előző képletet és beleírtam az x-et, de az előző sajna nem hatványsor volt :-)

Előzmény: [2318] Sirpi, 2007-09-20 13:10:39
[2318] Sirpi2007-09-20 13:10:39

Mármint n=0-tól megy az indexelés, nem? Viszont jelen esetben tényleg igaz, hogy an\simn!/e, hiszen a 0. és első tag összege: (-1)0/0!+(-1)1/1!=1-1=0, tehát tényleg elég a 2. tagtól összegezni.

Előzmény: [2316] nadorp, 2007-09-20 13:07:02
[2317] nadorp2007-09-20 13:08:47

Ez egy klasszikus példa a szitaformula alkalmazására.

Előzmény: [2315] rizsesz, 2007-09-20 12:54:28
[2316] nadorp2007-09-20 13:07:02

e^{-x}=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x^n

Előzmény: [2315] rizsesz, 2007-09-20 12:54:28
[2315] rizsesz2007-09-20 12:54:28

Köszönöm mindkettőtöknek, tetszenek. Egyébként ez a rekurzió a következő feladatnál került elő: Hányféleképpen lehet sorba rakni az 1, 2, ... n számokat, hogy semelyik se a saját értékének megfelelő helyen szerepeljen? Erre jött ki, hogy n= 2, 3, 4, 5 értékére 1, 2, 9, 44 a sorbarendezések száma, és ez összhangban van a rekurzióval (csak még ki kéne találni a származtathatóságot). Egyébként kedves nadorp, a talált képlet nem Taylor-sora semminek?

Előzmény: [2314] nadorp, 2007-09-20 11:26:51
[2314] nadorp2007-09-20 11:26:51

Tehat, a1=0,a2=1 és an+1=n(an+an-1) ( Ekkor persze a3=2, mint az eredeti kiírásban).

Legyen b_n=\frac{a_n}{n!}. Ekkor b1=0, b_2=\frac12.

\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=\frac{a_n}{n!}\frac{n}{n+1}+
\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}\frac{n}{n(n+1)}, azaz

b_{n+1}=b_n\left(1-\frac1{n+1}\right)+\frac{b_{n-1}}{n+1}

b_{n+1}-b_n=-\frac1{n+1}(b_n-b_{n-1}). Innen indukcióval

b_{n+1}-b_n=(-1)^{n-1}\frac1{(n+1)n...3}(b_2-b_1)=
\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}.

Ha most a fenti összefüggést elvégezzük k=2,3,...(n+1) értékekre és összeadjuk ezeket, akkor

b_{n+1}=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{(-1)^k}{k!}, azaz

a_n=n!\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}

Előzmény: [2312] rizsesz, 2007-09-20 09:14:10
[2313] Lóczi Lajos2007-09-20 11:07:53

A számítógép azt mondja, hogy


a_{n}=\int_{-1}^{\infty} t^{n} e^{-t-1} dt.

(A formula nem nagyon írható fel elemibb módon.)

Előzmény: [2312] rizsesz, 2007-09-20 09:14:10
[2312] rizsesz2007-09-20 09:14:10

Elnézést, valóban. Ég a fejem rendesen. Tehát ezt szerettem volna an+1=n*(an+an-1).

Előzmény: [2311] nadorp, 2007-09-20 09:01:35
[2311] nadorp2007-09-20 09:01:35

Az eredeti rekurzió így szólt:

an+1=(n-1)(an+an-1)

Tehát, ha n=3, akkor

a3+1=(3-1)(a3+a2)

Előzmény: [2310] rizsesz, 2007-09-20 08:50:54
[2310] rizsesz2007-09-20 08:50:54

Te ezt írtad: a4=(a2+a3)(3-1)=(1+2)*2=6. Én ezt: a4=(a2+a3)(4-1)=(1+2)*3=9. Az indexálással tolódik az n-1-es szorzó is.

[2309] nadorp2007-09-20 08:47:37

Vagy így gondoltad a példát?

an+1=(an+an-1)n-1

Előzmény: [2308] nadorp, 2007-09-20 08:44:37
[2308] nadorp2007-09-20 08:44:37

a4=(a3+a2)(3-1)=(1+2)2=6\neq9

Előzmény: [2307] rizsesz, 2007-09-20 08:06:28
[2307] rizsesz2007-09-20 08:06:28

Fontosak az alsó indexek. Itt a4=9.

[2306] Lóczi Lajos2007-09-19 23:25:26

an=(n-1)!

Előzmény: [2305] rizsesz, 2007-09-19 22:49:04
[2305] rizsesz2007-09-19 22:49:04

Sziasztok. Meg tudnátok mondani az a2=1, a3=2 an+1=(an+an-1)*(n-1) rekurzió megoldását mondani?

[2304] jonas2007-09-19 16:47:43

Az már az OEIS bejegyzésből is kiderült, ahogy a [2285]-ben megjegyeztem, hogy az (a)-ra csak ez a két megoldás van.

Előzmény: [2303] Sirpi, 2007-09-19 14:12:45
[2303] Sirpi2007-09-19 14:12:45

Tök jó. Akkor azt a részét legalább nem számoltam el :-)

Előzmény: [2302] jonas, 2007-09-19 12:11:36
[2302] jonas2007-09-19 12:11:36

Közben egyébként lefutott a keresés tizenhárom jegyre, és azt állítja, hogy csak az említett két tizenháromjegyű megoldás van.

Előzmény: [2296] Sirpi, 2007-09-18 19:59:47
[2301] BohnerGéza2007-09-19 09:35:31

Szerintem a fehér pontok esetén sem általános, hanem hegyesszögű háromszöget kapunk! Vége! Talán az AB-n van C, akkor nem hegyes-, nem derék- és nem tompaszögű az ABC.

Előzmény: [2299] jonas, 2007-09-18 23:01:11
[2300] SmallPotato2007-09-19 07:19:19

Örömmel látom, hogy esetenkénti bénázásom mily mély matematikai alapokon nyugszik. :-)

Soha nem jutott eszembe, hogy vizsgáljam az okokat ... de az ábra és a kommentár valóban meggyőző!

Előzmény: [2299] jonas, 2007-09-18 23:01:11
[2299] jonas2007-09-18 23:01:11

Igen, ismert tétel, hogy általános háromszöget nehéz rajzolni. Reiman tanár úr ezt a következő módon bizonyította.

Rögzíthetjük a háromszög két csúcsát, mivel hasonlóság erejéig nem változtat a feladaton. Nézzük meg, hova rakhatjuk a harmadik pontot. A piros területek ki vannak zárva, mivel akkor tompaszögű lenne a háromszög. Ki van zárva az őket határoló piros vonalak környéke is, hiszen akkor majdnem derékszögű lenne a háromszög. A kék vonalak környéke pedig azért van kizárva, mert akkor majdnem egyenlőszárú lenne a háromszög. Nagyon magasra sem érdemes rakni a csúcsot, mert akkor csúnyán megnyúlt háromszöget kapunk, amit ráadásul könnyebben lehet egyenlőszárúnak nézni, mivel két oldala közel azonos hosszú.

Az pedig látható, hogy így nem marad sok hely, ahova a harmadik pontot le lehetne tenni.

Előzmény: [2295] SmallPotato, 2007-09-18 19:42:39
[2298] jonas2007-09-18 22:23:50

Egyébként nem az otthoni gépemen fut, noha az is elég jó gép, de az egyetem kétszer két magos AMD procis gépe gyorsabb.

[2297] jonas2007-09-18 22:21:41

Érdekes.

Nekem most már csak azt kell ellenőriznem, hogy a heurisztikusan közelítő programom, ami a [2279] hozzászólás tizenháromjegyű megoldásait találta, minden megoldást megtalált-e (eltekintve az ismétlésektől).

Ez a program úgy működött, hogy az x=a(10m-1)/b kifejezésbe helyettesített be olyan kis számokat, ahol m osztja b-1-et, majd ellenőrizte a kapott x-et.

Elég sok megoldást megadott, a legtöbbet sokféle paraméterekkel újra meg újra.

Előzmény: [2296] Sirpi, 2007-09-18 19:59:47
[2296] Sirpi2007-09-18 19:59:47

Na, megvan az összes megoldás, a gép pihenhet (és végre Nektek se kell tovább olvasgatnotok a fejtegetéseimet :-) )

Szóval odáig jutottam, hogy a = \frac{10^m - k}{10k-1}b, és 2\leqk\leqb\leq9

Tegyük fel, hogy adott k-ra van megfelelő b és m. Ekkor

10a + b = \frac{10b}{10k-1}(10^m-k) + b =

= \frac b{10k-1}10^{m+1} - \frac{10k}{10k-1}b + \frac{10k-1}{10k-1}b = \frac b{10k-1}(10^{m+1}-1)

Ha a 10k-1 prím, akkor olyan m kell, amire 10m\equivk(mod10k-1), de ekkor 10m+1\equiv10k\equiv1(mod10k-1). Vagyis ha m+1-esével növelem a kitevőt, akkor mindig új megoldásokat kapok, és azt is könnyű látni, hogy ezek mind az alapmegoldás egymás után írásai lesznek, hiszen

\frac b{10k-1}(10^{l(m+1)}-1)= \frac b{10k-1}(10^{m+1}-1)
(1 + 10^{m+1} + \dots + 10^{(l-1)(m+1)})

és itt az utolsó tényezó kivételével épp az alapmegoldás van felírva, az utolsó tényező pedig 100...0100...01...100...01 alakú, így a vele való szorzás épp az egymás után írást eredményezi,

Ezzel tehát elintéztük a k=9 (10k-1=89), k=8 (79), k=6 (59), k=3 (29), és k=2 (19) eseteket.

Konkrétan a megoldások (a kitevők onnan jönnek, hogy megkerestem a 10m\equivk legkisebb megoldását) (l=1,2,...):

k=9: \qquad \frac 9{89}(10^{l\cdot 44} - 1)

k=8: \qquad \frac b{79}(10^{l\cdot 13} - 1), \qquad b\geq 8

k=6: \qquad \frac b{59}(10^{l\cdot 58} - 1), \qquad b\geq 6

k=3: \qquad \frac b{29}(10^{l\cdot 28} - 1), \qquad b\geq 3

k=2: \qquad \frac b{19}(10^{l\cdot 18} - 1), \qquad b\geq 2

Marad még a k=7 (69), 5 (49) és 4 (39). A 7 és a 4 egyszerűbb, ugyanis ott az első olyan m index, ahol 10m-k osztható 23-mal illetve 13-mal, egyúttal osztható 69-cel, illetve 39-cel is, tehát ezek a megoldások ugyanolyanok, mint amit a prímeknél kaptunk:

k=7: \qquad \frac b{69}(10^{l\cdot 22} - 1), \qquad b\geq 7

k=4: \qquad \frac b{39}(10^{l\cdot 6} - 1), \qquad b\geq 4

A legérdekesebb a k=5 eset, ugyanis ott 49 a nevező, ezért előfordulhat, hogy a 10m-5 is osztható 7-tel, és b=7. Ezek a köv. megoldások:

k=5: \qquad \frac 1 7(10^{l\cdot 6} - 1)

És van az az eset, mikor 10m-5 osztható 49-cel, ebből a következő megoldások adódnak:

k=5: \qquad \frac b{49}(10^{l\cdot 42} - 1), \qquad b\geq 5

Ez lenne tehát az összes megoldás, és igérem, leszálltam a feladatról.

Előzmény: [2291] Sirpi, 2007-09-18 17:27:20
[2295] SmallPotato2007-09-18 19:42:39

Csak nem "általános háromszög"et akartál felskiccelni? :-))

(Esetemben a lehetséges kimenetelek: egyenlőszárú, derékszögű, ... és hovatovább a

\lim_{n\to\infty}(\frac{kedvezo\_esetek\_szama}{lehetseges\_esetek\_szama})=0

tárgyában merül fel a kérdés :-D)

Előzmény: [2294] Yegreg, 2007-09-18 19:29:55

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]