Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2388] Hajba Károly2007-10-18 23:52:58

A művelet végzése során mindhárom halmaz és az összhalmaz paritása is az ellenkezőjére fordul. Azaz mindig lesz egy halmaz, melynek a paritása mindig megegyezik az összhalmaz paritásával. Ez akkor sem változik, mikor a másik két halmaz már üres. Ez akkor működik így, ha a három halmaz paritásaiban van különböző.

Jelen példánál az összhalmaz paritása páros, ezért páratlan fehér kör marad meg.

Valóban érdekes kis feladat.

Előzmény: [2387] Cckek, 2007-10-18 21:48:34
[2387] Cckek2007-10-18 21:48:34

Egy számotokra, tisztelt fórumozók, egyszerű, ugyanakkor nagyon kedves kis feladat:

A táblára fel van rajzolva 999 piros, 1000 fehér és 1001 zöld kör. A következő műveletet végezzük: letörlünk két különböző színű kört és helyette rajzolunk egy olyat amilyent nem töröltünk. Milyen színű kör marad végül a táblán?

[2386] Csimby2007-10-15 00:47:27

Köszi! Nekem is majdnem ez jött ki, csak a vége: v=-\sqrt2/2 - u + \sqrt{1/2 + 2\sqrt2u} Ami azért tűnik jobbnak, mert u=0-ra v=0 jön ki. Én úgy csináltam, hogy (x,x) pontból merőlegest állítottam x=y-ra, ennek és y=\sqrt x-nek a metszéspontja legyen (y,y2). És akkor a fv. amit keresünk, az |(x,x)|-hez rendeli (y,y2) és (x,x) távolságát. De kb. ugyanilyen gyorsan kijön, mert lehet találni egy egyenlőszárú derékszögű háromszöget. Ez lehet hogy elsőre csúnyának tűnik, de hamar kijön ezzel is.

Előzmény: [2385] jonas, 2007-10-14 23:26:45
[2385] jonas2007-10-14 23:26:45

Én is csak kiszámolni tudnám (noha nem egyértelmű, hogy a legegyszerűbb kiszámolni).

Az eredeti koordinátarendszerben a grafikon azon (x,y) pontok halmaza, amire y2=x. A forgatás az (u,v) pontot az  (x, y) = ((u+v)/\sqrt2, (v-u)/\sqrt2) pontból kapja. Ebből  ((v-u)/\sqrt2)^2 = (u+v)/\sqrt2 , amiből  v^2 + u^2 - 2uv = \sqrt2u + \sqrt2v , azaz  0 = v^2 + (-\sqrt2 - 2u)v + (u^2 - \sqrt2u) . Ez másodfokú, megoldva (nyilván a nagyobbik megoldás kell)  v = (\sqrt2 + 2u + \sqrt{(\sqrt2+2u)^2 - 4u^2 + 4\sqrt2u})/2  = (\sqrt2 + 2u + \sqrt{2 + 8\sqrt2u})/2  = \sqrt2/2 + u + \sqrt{1/2 + 2\sqrt2u}

Azt előre tudjuk, hogy a megoldás egyszerű alakú lesz, mert egy kúpszelet elforgatva is kúpszelet.

Előzmény: [2383] Csimby, 2007-10-14 22:42:52
[2384] Csimby2007-10-14 22:45:28

Hivatkozni tényleg jobb úgy. De azért az nem rossz ha látszik egy hozzászóláson hogy ez most új feladat, vagy csak a 20.hozzászólás valamihez. A könyvekben is vannak fejezetek, noha az oldalszám alapján egyszerűbben lehet hívatkozni.

Előzmény: [2381] jonas, 2007-10-14 16:36:28
[2383] Csimby2007-10-14 22:42:52

(a 126.feladatra gondolsz? ;-))

A megoldását mondjuk nem találtam meg. A sajátomnak tudom, csak arra lennék kíváncsi hogy lehet-e valahogy egyszerűbben, mert én mint geometria feladatot "kiszámoltam".

Előzmény: [2382] Lóczi Lajos, 2007-10-14 20:28:59
[2382] Lóczi Lajos2007-10-14 20:28:59

(Ehhez hasonló volt a Nehezebb mat. probl. topikban a 2005-04-28 12:59:48-as hozzászólásom.)

Előzmény: [2380] Csimby, 2007-10-14 12:54:23
[2381] jonas2007-10-14 16:36:28

(Szerintem egyébként a hozzászólás sorszáma alapján könnyebb hivatkozni. Adott sorszámú hozzászólást könnyebb megkeresni, mint adott sorszámú feladatot, különösen, ha nem nagyon sűrűn vannak feladatok a topikban. Ráadásul így nem fordulhat elő, hogy valaki tévedésből rossz sorszámot ad, vagy hogy ugyanazzal a sorszámmal egyszerre két ember tűz ki feladatot. Ennek azonban nincs túl nagy jelentősége, a feladat sorszámozás is tökéletesen jó módszer.)

[2380] Csimby2007-10-14 12:54:23

329. feladat (Nyilván nem a 329.-edik, de ez volt az az utolsó sorszám amit találtam, 10 oldallal korábban és azt is én írtam... Szerintem nem olyan megerőltető odaírni hogy hanyadik feladatról van szó, viszont úgy sokkal egyszerűbb hivatkozi rá)

Az f(x)=\sqrt{x} függvénygörbét forgassuk el az origó körül 45°-kal az óramutató járásával megegyező irányba. Mi az így kapott görbe egyenlete?

[2379] nadorp2007-10-12 19:27:07

Csak azért, mert az jött ki, hogy

g(n)=(g(1)-g(0))n+g(0).

Ez már "csak" szépséghiba

Előzmény: [2378] cauchy, 2007-10-12 18:18:49
[2378] cauchy2007-10-12 18:18:49

Miért b-a?

fn=an2+2bn+c és gn=an+b

Előzmény: [2377] nadorp, 2007-10-12 13:14:42
[2377] nadorp2007-10-12 13:14:42

Igazad van.

f(n)=(b-a)n2+2na+c és g(n)=(b-a)n+a

Előzmény: [2376] cauchy, 2007-10-12 11:22:45
[2376] cauchy2007-10-12 11:22:45

f(n)=2an+b és g(n)=a

Előzmény: [2375] nadorp, 2007-10-12 09:27:46
[2375] nadorp2007-10-12 09:27:46

Úgy néz ki, hogy nincs több

Előzmény: [2374] nadorp, 2007-10-12 09:11:00
[2374] nadorp2007-10-12 09:11:00

Nem tudom van-e még, de f(n)=an2+b és g(n)=an jók. ( a és b tetszőleges egészek)

Előzmény: [2373] Cckek, 2007-10-11 19:00:22
[2373] Cckek2007-10-11 19:00:22

Határozzuk meg az összes f,g:N\toN függvényt, melyekre:

f(m)-f(n)=(m-n)[g(m)+g(n)],\forallm,n\inN

[2372] SmallPotato2007-10-08 21:44:00

Értem, köszönöm!

(Az efféle "körszimmetrikus" egyenletrendszerekkel többnyire elakadok: érzem én, hogy ha pontosan egyformán fordulnak elő a változók, akkor egyenlőknek kell lenniük - csakhát az érzés nem bizonyítás, ugye ... :-)) )

Előzmény: [2370] rizsesz, 2007-10-08 20:57:16
[2371] rizsesz2007-10-08 20:57:50

ja és szobán azt értem, hogy a kockán belüli megoldások érdekelnek minket.

Előzmény: [2370] rizsesz, 2007-10-08 20:57:16
[2370] rizsesz2007-10-08 20:57:16

(a-y)ad2+(a+z)ad2 = (a-z)ad2+(a+x)ad2 = (a-x)ad2+(a+y)ad2

Ha a szobában vizsgálódunk, akkor feltehető, hogy x, y és z is egyaránt kisebb, mint "a". Ekkor az f(x)=(a-x)ad2 fv. szig. mon. csökkenő, míg g(x)=(a+x)ad2 szig. mon. nő a>0, x>0 miatt. Ha tehát x>=y, akkor (a-z)ad2+(a+x)ad2 = (a-x)ad2+(a+y )ad2 miatt (a-z)ad2<=(a-x)ad2 innen z>=x.

(a-y)ad2+(a+z)ad2 = (a-z)ad2+(a+x)ad2 is igaz viszont, és ebből teljesen hasonlóan y>=z, ami az előzőek miatt azt jelenti, hogy y>=z>=x>=y, ami azt jelenti, hogy csak az lehetséges, hogy a 3 szám egyenlő.

(valamiért nem megy semmi a teX-kel kapcsolatban :(). Az ad a hatvány-jel.

Előzmény: [2353] SmallPotato, 2007-10-02 14:29:53
[2369] epsilon2007-10-07 13:31:32

Kedves Róbert Gida! Valóban szórakozom, de nem mással, mint éppen ez utóbbi feladatnak egy másik megoldásával és az általánosításával. Ha észrevetted, a 2359-es hozzászólás ezt a feladatot általánosítja, éppen ezért, ott az n nem csak páros. Tehát, ha ez utóbbi annak a sajátos esete, akkor érthető, hogy sajátos számok, feltételek állnak ez esetben.

Előzmény: [2367] Róbert Gida, 2007-10-07 13:14:52
[2368] Róbert Gida2007-10-07 13:18:02

x1,2-nél persze a gyökjel előtt az egyik megoldásnál - előjel van, de az nem ad nekünk valódi megoldást, hiszen akkor x értéke biztosan negatív.

Előzmény: [2367] Róbert Gida, 2007-10-07 13:14:52
[2367] Róbert Gida2007-10-07 13:14:52

Most szórakozol, vagy mi? Egyetlen szóval sem írtad, hogy páros nemnegatív számokra kérted csak az előállítást. Egyébként, ahogy megoldottam úgy is teljesen értelmes feladat volt. Gondolatolvasó pedig (még) nem vagyok.

Itt az új feladat megoldása, bár lövésem sincs, hogy most ezt akarod-e megoldani: x2+y2+2*x*y+x+3*y=2*n-nek keressük nemnegatív egész megoldását minden n\geq0-ra. x-re rendezve az egyenletet:

x2+(2*y+1)*x+(y2+3*y-2*n)=0

Ennek a megoldásai:

x_{1,2}=\frac {-(2*y+1)+\sqrt {8*(n-y)+1}}{2}

Legyen a az az egyértelműen meghatározott nemnegatív egész szám, amelyre teljesül, hogy (2*a+1)2\leq8*n+1<(2*a+3)2. Ekkor, mivel minden páratlan négyzetszám 8k+1 alakú, ezért van olyan nemnegatív y, amelyre: 8*(n-y)+1=(2*a+1)2, innen a=\frac {8*n+1-(2*a+1)^2}{8}<\frac {(2*a+3)^2-(2*a+1)^2}{8}=a+1 azaz y\leqa, ezért x_{2}=\frac {-(2*y+1)+(2*a+1)}{2}=a-y\geq 0 és persze egész, ami kellett, így valóban minden nemnegatív páros egész előáll nemnegatív x,y segítségével, a bizonyításból egyébként az is kiderül,némi munkával, hogy az előállítás ráadásul egyértelmű.

Előzmény: [2365] epsilon, 2007-10-07 09:37:55
[2366] epsilon2007-10-07 10:07:22

Elfelejtettem pontosítani: x és y nemnegatív egészek lehetnek!

[2365] epsilon2007-10-07 09:37:55

Szerintem nem éppen így va, az alábbi feladatban azt kell bizonyítani, hogy bármely páros pozitív egész szám előállítható a következő alakban:

Előzmény: [2360] Róbert Gida, 2007-10-06 16:47:17
[2364] SmallPotato2007-10-06 22:34:18

Nem is "talán" ... valóban nadorp írta helyesen. Én néztem el.

Bocsánat!

Előzmény: [2363] cauchy, 2007-10-06 21:28:47

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]