Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2620] Lóczi Lajos2008-03-23 20:58:53

OK, de az igaz, hogy ebből a koszinuszos formulából pl. már direkt következik a [2614]-beli formula, illetve annak térfogatokra vonatkozó analogonja?

Előzmény: [2619] Káli gúla, 2008-03-23 20:41:18
[2619] Káli gúla2008-03-23 20:41:18

\phi-vel egy kiválasztott koordinátatengelyre merőleges hipersíknak és a szimplex origóval szemközti lapsíkjának a szögét gondoltam jelölni.

Az elsőfokú közelítés s az ennek megfelelő sáv egy korábbi példádhoz kapcsolódott (2608. ill. 2610. (A d szélességű "egyenes sáv" azon pontok mértani helye a síkban, melyeknek egy adott egyenestől mért távolsága legfeljebb d/2 :)

Előzmény: [2617] Lóczi Lajos, 2008-03-23 20:06:20
[2618] Lóczi Lajos2008-03-23 20:26:55

[Jaaa, vagy esetleg az "elsőfokú közelítés" alatt "első közelítésben" értendő? :) ]

Előzmény: [2617] Lóczi Lajos, 2008-03-23 20:06:20
[2617] Lóczi Lajos2008-03-23 20:06:20

De mit jelent itt a \phi szög? És mit az "elsőfokú közelítés"? Sajnos nem értem, mit mond a térfogatokra nézve az, ha az "egyenes sáv" szélessége legalább 1. Kérlek, adj még magyarázatot :)

Előzmény: [2616] Káli gúla, 2008-03-23 17:59:33
[2616] Káli gúla2008-03-23 17:59:33

A "ferde" lap mértéke merőleges vetítésnél akárhány dimenzióban is  cos \phi-vel szorzódik, lényegében pontosan azért, mert a ferde lap normálvektorának megfelelő koordinátája  cos \phi.

Az elsőfokú közelítésre visszatérve, egy d széles sávban akárhogyan veszünk három A, B, C pontot, az ABC háromszög valamelyik magasságának hossza legfeljebb d lehet. Bizonyítás. Húzzunk a három ponton keresztül a sáv tengelyére merőlegesen három egyenest, és legyen pl. a B-n átmenő a középső. Ekkor az AC szakasznak van közös pontja (B1) a középső egyenessel, így  mb\leBB1\led.

A -1, 0 és 1 pontokhoz tartozó parabolapontok egy \sqrt2 befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszöget alkotnak. Ebben a háromszögben a legkisebb magasság 1, így egy ezt tartalmazó egyenes sáv szélessége is legalább 1.

Előzmény: [2615] Lóczi Lajos, 2008-03-23 00:56:14
[2615] Lóczi Lajos2008-03-23 00:56:14

Oldjuk meg a feladatot 4 dimenzióban is.

Tekintsük a (0,0,0,0) origót és az (a,0,0,0), (0,b,0,0), (0,0,c,0), (0,0,0,d) pontokat (ahol a,b,c,d>0). Ennek az 5 pontnak a konvex burka meghatároz egy négydimenziós testet, melynek 5 db háromdimenziós "oldallapja" van.

Mi a kapcsolat ezen 5 lap térfogata között?

Előzmény: [2613] Lóczi Lajos, 2008-03-20 22:41:55
[2614] Róbert Gida2008-03-21 01:13:09

Héron képlettel könnyű:

T42=T12+T22+T32

Előzmény: [2613] Lóczi Lajos, 2008-03-20 22:41:55
[2613] Lóczi Lajos2008-03-20 22:41:55

Tekintsünk egy olyan tetraédert az első térnyolcadban, amelynek egyik csúcsa az origó, a többi három csúcs pedig a három koordinátatengely egy-egy pozitív pontja. Mi a kapcsolat e tetraéder oldallapjainak területe között?

[2612] rizsesz2008-03-18 23:17:06

Szóval tisztázom a saját irományomat, immáron TeXben.

Tehát ez a függvény nem más, mint x2 eltolva egyaránt az x és az y tengelyen, de hála a szabad paraméterezésnek, gondolkodhatunk csak az x2 világában.

A feladat azt kéri, hogy ennek a függvénynek egy (x0;x0+2) szakaszán a függvény abszolútértékének maximuma minimális legyen. Tegyük fel, hogy x0 már a növekvő szakasz része. Ekkor, mint az könnyen ellenőrizhető, a felvett fv.-értékek különbsége legalább 4 lesz (a sima x2-nél x0 minimuma 0, a különbség pedig 4x0+4, ami legalább 4). A skatulya-elv miatt ennek a legalább 4 értékű növekedésnek legalább 2 hosszú része vagy negatív, vagy pozitív, de legalább 2; így a maximum is legalább 2 az abszolútérték miatt. Ugyanez elmondható a monoton csökkenő részre is, marad a közbülső rész, amikor a másodfokú áthalad a minimumhelyén. Tfh. (x0;x0+2) tartalmazza a minimumhelyet, ami most a szimmetria miatt legyen 0. Ekkor x0 negatív. Teljesen az előző logikát követve x0 és x0+2 négyzeteik közül a nagyobb minimumát keressük. Ez már könnyebb feladat, a két parabola metszéspontja adja ki, az x0=-1 helyen, a föggvényérték 1, ekkor valóban kijön, hogy legalább 1/2 a minimum, ami a logikát követve el is érhető.

Előzmény: [2608] Lóczi Lajos, 2008-03-18 01:49:58
[2611] rizsesz2008-03-18 19:05:00

A közölt függvény lényegében a sima másodfokú x négyzet. Ezt tologatjuk. Ennek nézzük 2 hosszú szakaszait. Ha már a teljes szakasz a növekvő részen van, akkor legalább 4 lesz az y értékek különbsége. Ez egyúttal azt jelenti, hogy az legalább 2 hosszú lesz a negatív vagy a pozitív rész, tehát lesz olyan y, aminek az abszolútértéke legalább 2 a monotonitás miatt. Ugyanez igaz a csökkenő részre. Amikor áthalad az minimumhelyén, akkor a legkisebb érték az ehhez tartozó, a legnagyobb pedig ynégyzet és (2-y)négyzet maximuma. itt y a baloldalra haladás a minimumhelytől. y>1 esetén ez a 1., ellenkező esetben a 2. mivel y értéke. könnyen látható, hogy ez akkor lesz minimális, ha y=1, ekkor 1 lesz a minimum és a maximum különbsége, tehát legalább 1/2 a keresett megoldás, ami így ki is jön. elnézést a TeXtelenségért.

Előzmény: [2610] Lóczi Lajos, 2008-03-18 16:05:37
[2610] Lóczi Lajos2008-03-18 16:05:37

Valóban szép tétel. A kérdésem az, hogy milyen, minél rövidebb elemi meggondolással lehet a konkrét példát megoldani.

Előzmény: [2609] jonas, 2008-03-18 14:15:13
[2609] jonas2008-03-18 14:15:13

A válasz 1/2, amit \alpha=0,\beta=-1/2 helyen vesz fel. Ez következik a 3/0. feladatsor 6. feladatból (a feladat forrása minden bizonnyal a Pólya--Szegő analízis könyv).

Előzmény: [2608] Lóczi Lajos, 2008-03-18 01:49:58
[2608] Lóczi Lajos2008-03-18 01:49:58

Oldjuk meg az alábbi minimax-feladatot:


\min_{\alpha, \beta\in {\bf{R}}}\max_{x\in [-1,1]}|x^2-1-\alpha x -\beta|=?

[2607] S.Ákos2008-03-17 19:35:36

Valóban hülyeség, nem fogalmaztam elég pontosan. amilyen függvénygörbét láttam, az alapján ezt tudtam mondani, legközelebb nem teszem. A növekedést pedig nem úgy értettem, hogy ha n<m akkor f(n)<f(m), hanem valamilyen érték körül ugrál.

Előzmény: [2603] Róbert Gida, 2008-03-16 14:31:49
[2606] Lóczi Lajos2008-03-16 19:54:52

Legyen f(x)=\sin\frac{1}{x}, ha x\in(-1,1), és legyen f(-1)=f(0)=f(1)=0, majd ezt terjesszük ki 2-periodikus függvénnyé az egész számegyenesre. Adjuk meg f Fourier-sorának összegfüggvényét.

[2605] rizsesz2008-03-16 18:41:35

Róbert Gida, én téged baromira nem értelek. Miért kell kérkedned a tudásoddal? Látszik, hogy értelmes, matematikából nagyon tehetséges ember vagy, de ahogy megnyilvánulsz néha ezen a fórumon, az igazán nem egy értelmes emberhez méltó.

Előzmény: [2603] Róbert Gida, 2008-03-16 14:31:49
[2604] Gyöngyő2008-03-16 15:38:51

Köszönöm szépen!

Üdv:

Gyöngyő

[2603] Róbert Gida2008-03-16 14:31:49

Valóban? Az általad megadott intervallumban több megoldás is van. Második fele a mondatodnak is egy matematikai zöldség, mindenestre elmentettem.

Előzmény: [2600] S.Ákos, 2008-03-16 13:58:06
[2602] Róbert Gida2008-03-16 14:24:44

Közben találtam egy sokkal kisebb megoldást: m=4802693729 Így az ez alatti m-ek ellenőrzése már nem nagyon bonyolult. De ezt már nem nézem meg.

Előzmény: [2601] Róbert Gida, 2008-03-16 14:04:28
[2601] Róbert Gida2008-03-16 14:04:28

Triviális. Legyen m=1236789689135*n-206131614856 alakú prím, ismeretes, hogy ezekből végtelen sok van Dirichlet tétele miatt (feltétele teljesül), ilyen prímekre \sigma(6*m)<\sigma(6*m+1) lesz, hiszen az elsőt pontosan ki tudod számolni, mert m az prím, a másodikat pedig becsüld alulról, használva azt, hogy ekkor 6*m+1 osztható minden prímmel 5-től 37-ig, így *találtam ki*. Például n=25-re prímet ad, azaz m=30713610613519 megoldás lesz, ezt közvetlenül is ellenőrizheted, ez persze nem biztos, hogy a legkisebb megoldás, hiszen egy más konstrukció is adhat jó m-et.

Előzmény: [2599] Gyöngyő, 2008-03-16 13:00:58
[2600] S.Ákos2008-03-16 13:58:06

Megnézve az [1;1020] intervallumot, eddig nem találtam megoldást, és úgy néz ki, hogy a függvényértékek közötti eltérés nő, egyre nagyobb lesz \frac{\sigma(6m)}{\sigma(6m+1)}. Többet sajnos még nem tudok mondani.

Előzmény: [2599] Gyöngyő, 2008-03-16 13:00:58
[2599] Gyöngyő2008-03-16 13:00:58

Sziasztok!

Tudnátok segíteni a következő feladatban:

Keressük a legkisebb pozitiv egész m-et amelyre \sigma(6m)<\sigma(6m+1)fenntáll.

A másik kérdés pedig,az h mutassuk meg,hogy a fennti egyenlőtlenségnek végtelen sok megoldása van.

Ahol \sigma(m) az osztók összegét jelenti.

Köszönettel

[2598] szbela2008-03-15 15:13:01

Sziasztok!

Esetleg megnézzük (i) x=0, (ii) x=0 és y=0 esetekre? Bár nem tudom, hogy ez így jó-e.

(i) x=0 : f(x+f(y))=f(0+f(y))=f(f(0))+f(y)

(ii) x=0 és y=0 : f(x+f(y))=f(0+f(0))=f(f(0))=f(f(0))+f(0)

(i)-nek és (ii)-nek teljesülnie kell: (ii)-ből következett, hogy f(f(0))=f(f(0))+f(0), ebből f(0)=0 tehát f(f(0))=0 szintén. Ezt (i)-be helyettesítjük és kapjuk, hogy f(f(y))=f(y) Ennek persze minden y-ra teljesülnie kell. És mivel f: R->R -be képez, ezért ha f(y)=a, akkor f(a)=a f(y)=f(f(y)) miatt. f tehát az identitásfüggvény lenne.

Előzmény: [2595] Gyöngyő, 2008-03-14 20:29:51
[2597] Cckek2008-03-15 09:56:31

Egy ötlet: f(f(x+f(y)))=f(f2(x)+f(y))=f(f(y)+f2(x))=f(f(f(y)))+f2(x)=f2(f(y))+f2(x). Legyen f(y)=t\inImf

Ekkor f2(x+t)=f2(x)+f2(t), tehát az f2 függvény kielégíti Cauchy funkcionálegyenletét az RxImf halmazon.

Előzmény: [2595] Gyöngyő, 2008-03-14 20:29:51
[2596] cauchy2008-03-14 22:45:35

Véletlenül f(x) = x jó. :-) Sajnos nem tudok többet hozzátenni.

Előzmény: [2595] Gyöngyő, 2008-03-14 20:29:51

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]