Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[261] lorantfy2004-02-21 11:47:00

Kedves Gubbubu!

Bocs, hogy beleturkálok a feladatodba, de így lesz megoldás:

59.b feladat:

log_2{\frac{cos^4{xy}+1}{cos^2{xy}}}=\frac{2}{y^2+4y+6}

Előzmény: [260] Gubbubu, 2004-02-19 20:16:44
[260] Gubbubu2004-02-19 20:16:44

Kedves Fórum!

A következő feladatot azoknak ajánlom, akik az itteni versenyszintű feladatokat túl nehéznek, de a "darálós" matematikafeladatokat (pl. zöld könyv) túl könnyűnek érzik.

59. fa.: Oldjuk meg a

log_2{\frac{cos^4{xy}+1}{cos^2{xy}}}=\frac{2}{y^2+y+6}

egyenletet, (x,y)\inR2

[259] Lóczi Lajos2004-02-19 04:32:18

Kedves Onogur!

Még utoljára hadd reagáljak én is a kérdésre. Persze, én is hasonlóra gondoltam a "képlet" szó hallatán---arra a néhány "önkényesen" kijelölt függvényre (pl. szinusz, logaritmus, négyzetgyök, stb.), melyeket "legtöbbször" használunk, illetve ilyenekből (véges sok lépésben ?) a függvényműveletekkel (pl. alapműveletek, kompozíció, inverz, stb.) készíthető függvényekre.

A "véges lépésben kifejezhetőség" kérdését és a másodfokú egyenlet megoldóképletét nézhetjük azonban a következő nézőpontból is: pl. már az x2=2 (x>0) egyenlet megoldása, azaz \sqrt{2} sem fejezhető ki racionális számokkal és véges sok alapművelettel; természetesen a határérték felhasználásával (és végtelen sok racionális szám felhasználásával) már kifejezhető. De ugyanígy van a 10x=2 egyenlet valós megoldásával is: a log102 kifejezést sem lehet a határérték fogalmának mellőzésével véges sok racionális számból megkonstruálni. (Limesz segítségével persze könnyen definiálható pl. a logaritmus hatványsora és így a log102 szám is.) Ugyanez a helyzet tehát minden irracionális számmal, hiszen irracionális számokat "konstruálni" csak már valami meglévő "anyagból", pl. a racionális számokból lehet.

Már az is szerencsének számít szerintem, hogy egy "véletlenszerűen" felírt nemlineáris egyenletnek egyáltalán kifejezhető a megoldása a "megszokott", elemi függvények segítségével (és határértékképzéssel).

Ilyen típusú tételekkel, kérdésfelvetéssel egyébként a primitívfüggvény-keresés (azaz határozatlan integrálás) elméletében foglalkoznak, meg lehet kérdezni pl., hogy egy adott függvénynek a (bizonyíthatóan létező) primitív függvénye egy adott függvényosztályban van-e: pl. jól ismert, hogy az x\mapstoe-x2 függvény primitív függvénye "nem elemi" függvény, azaz a "szokásos" képletekkel nem "fejezhető ki". Ennek ellenére egyszerű hatványsorral (ismét határértékképzés!) minden további nélkül előállítható a primitív függvénye. (És ha tetszik, be is vezethetünk erre egy új nevet, ahogyan ezt szokták is (valójában a függvény konstansszorosát nevezik el): legyen ez az ún. hibafüggvény, és jelöljük az erf(x) jellel. Ezzel aztán ugyanúgy számolhatunk, mint pl. a log(x) függvénnyel...tehát a történetnek sosem lehet vége.)

Előzmény: [258] Hajba Károly, 2004-02-19 00:42:09
[258] Hajba Károly2004-02-19 00:42:09

Kedves Lajos!

A "pontos érték" alatt én is olyasvalamire gondoltam, mint gubbubu; vagy például képlet alatt olyanra, mint a másodfokú megoldóképlet, tehát véges lépésben kifejezhető érték. Feltehetően nem pontosan fogalmaztunk.

De azt javaslom, hogy ezirányú pontosításokat ne folytassuk, mivel ilyen - fent vázolt módon kifejezhető formában - feltehetően nem létezik, másrészről a feladatot természetesen megoldotnak tekintem én is. :o)

HK

Előzmény: [256] Lóczi Lajos, 2004-02-18 02:53:55
[257] lorantfy2004-02-18 09:18:36

Kedves Károly!

Kösz a megoldást! Megmondom őszintén, én nem foglalkoztam még a példával. Meglepő, hogy ilyen nagy számok jöttek ki!

Előzmény: [254] Hajba Károly, 2004-02-17 19:19:42
[256] Lóczi Lajos2004-02-18 02:53:55

Kedves Onogur!

Mit értesz pontosan "pontos érték" alatt? Megmutattuk, hogy a harmadik megoldás létezik, egy valós szám, és más, ismert mennyiségekből elő is állítottuk (határérték segítségével).

Üdv, Lajos

Előzmény: [250] Hajba Károly, 2004-02-17 14:18:00
[255] Gubbubu2004-02-17 20:37:02

Kedves Zormac!

Ha minden igaz, eredetileg az n tényleg egész volt, tehát jól emlékszel (amennyiben én is jól emlékszem). Csak később Onogur és én kutatásokat:-) végeztünk a feladat mindenféle általánosításaival kapcsolatban. Egyébként egy másik (talán a 46.)-os feladatban azt mondtam, hogy a megoldó kedve szerint választhat az N,Z,Q,R,C alaphalmazok közül, és ezek felett is megoldhatja az egyenletet, a probléma bármely variációja más-más okok miatt érdekes lehet.

Előzmény: [241] Zormac, 2004-02-13 14:20:48
[254] Hajba Károly2004-02-17 19:19:42

A 44. feladatra a megoldás:

szín bika tehén
fehér 10.366.482 7.206.360
fekete 7.460.514 4.893.246
tarka 7.358.060 3.515.820
barna 4.149.387 5.439.213

Hát ez tényleg egy isteni csorda. :o)

Előzmény: [252] Hajba Károly, 2004-02-17 14:36:34
[253] Rizsa2004-02-17 15:41:45

Kedves Sirpi!

Hat ez nagyon nem kellett volna az en gyenge idegrendszeremnek, elegge idegbetegnek ereztem eddig is magam, de most hogy negyed ora probalkozas meg magamban uvoltozes utan itt egy gepteremben vegul is sikerult... hat nem mondom, jo erzes, amugy nagyon vicces volt, csak az elindulas tartott 5 percig. minden elismeresem eme remekmu felfedezesehez. levezetoul ajanlom a kovetkezot: laget.kicks-ass.net/pingvin/ kivalo mulatsag, egy kicsit kevesebb szellemi szint igenyevel.

udv, rizs

Előzmény: [249] Sirpi, 2004-02-17 13:12:19
[252] Hajba Károly2004-02-17 14:36:34

Kedves László!

Úgy tűnik, hogy szilveszter óta senki sem tért még magához :o), mivel a 44. feladatra még nem jött megoldás. Én is csak részmegoldást tudok adni, mivel csak a bikákra jött ki egész érték. Tehát a csordában 2226 fehér, 1602 fekete, 1580 tarka és 891 barna bika van, vagy együttesen egész számú többszörösei. A tehenekre eddig csak túl magas szám jött ki az egész számok körében.

HK

Előzmény: [199] lorantfy, 2003-12-29 14:48:13
[251] Hajba Károly2004-02-17 14:21:24

Kedves zormac!

Eredetileg a kéttagú szorzatokra gondoltam, így meglelted a 9 megoldást. A többtagú szorzattal nem foglalkoztam, de érdekes a kiegészítésed. Köszönet érte.

HK

Előzmény: [247] Zormac, 2004-02-17 12:28:57
[250] Hajba Károly2004-02-17 14:18:00

Kedves Sirpi!

Valószínű, hogy én kavartam be egy kicsit, de a [215] alatt gubbubu feltette a következő kiegészítő kérdését:

48.C. feladat: Nincs-e a harmadik, nem egész megoldásnak pontos értéke, mondjuk valami egész szám logaritmusa?

Erre eddig nem jött az iteratív válaszon kivül más. Tehát még annyi sem egy igazi matematikustól, hogy ... Ne is keressétek, mivel jelenleg nem tud a matematika ilyent felállítani! vagy bizonyítás, hogy nem lehet ilyent felállítani. Itt most nem LL határértékszámítási képletére gondolok.

HK

Előzmény: [249] Sirpi, 2004-02-17 13:12:19
[249] Sirpi2004-02-17 13:12:19

Ja, és Csimby, bocs, hogy ugyanazt mondtam el, mint Te, de mivel azt írta itt valaki, hogy még nem oldódott meg a 47. példa, söt, Zormac is írt rá egy megoldást, ezért nem álltam neki utánanézni, hogy tényleg meg lett-e már oldva. Bocsi érte.

S

Előzmény: [245] Csimby, 2004-02-16 20:12:00
[248] Sirpi2004-02-17 12:45:11

Sziasztok!

Akinek anno tetszett a farkas, kecske, káposzta folyón való átvitele, de túl könnyünek találta, annak itt egy kicsit nehezebb változat:

A nagy japán folyós játék

Sajna a szöveg japánul van, de ez ne riasszon el senkit, a kezdöképernyön a nagy kerek gombra kell bökni, és utána át kell juttatni az anyukát, apukát, két lányukat, két fiukat, valamint a rendört és a fegyencet a túlpartra, a következök figyelembevételével:

- Mindenkinek át kell menni a folyón

- Csak két személy lehet egyszerre a tutajon

- Az apa nem maradhat egyedül egyik lánnyal sem mert megveri ot

- Az anya nem maradhat egyedül egyik fiúval sem mert megveri ot

- A fegyenc (csíkos ruha) nem maradhat a rendor felügyelete nélkül mert megver valakit

- Csak az anya, az apa és a rendor vezetheti a tutajt

- A fegyenc egyedül maradhat, nem fog megszökni

Jó szórakozást a játékhoz!

S

[247] Zormac2004-02-17 12:28:57

57. feladathoz

Nem tudom, vajon van-e ennek a feladatnak elemi megoldása, s mivel én nem találtam olyat, így programmal estem neki. Ha már lúd, legyen kövér: nem csak a kitűzött formátumú megoldásokat kerestem, hanem másokat is, amelyek ráillenek a kiírás szövegére. Az eredeti, vagyis az AB*CDE=GHIJ formátumból az alábbi hetet találta a progi:

12 x 483 = 5796; 18 x 297 = 5346; 27 x 198 = 5346; 28 x 157 = 4396; 39 x 186 = 7254; 42 x 138 = 5796; 48 x 159 = 7632

Emellett adódott két darab A*BCDE=GHIJ típusú megoldás (4 x 1738 = 6952; 4 x 1963 = 7852), valamint számtalan A*B*CDE=GHIJ és A*BC*DE=GHIJ típusú is, például 3 x 28 x 71 = 5964 illetve 6 x 9 x 138 = 7452.

A négyféle típus elemeinek összlétszáma 79.

Akit esetleg érdekel, a program forrása és teljes kimenete megtalálható itt.

Előzmény: [246] Hajba Károly, 2004-02-16 22:43:09
[246] Hajba Károly2004-02-16 22:43:09

57. feladat:

Tekintsük a 48×159=7632 szorzatot, melyben az 1-9 számjegyek mindegyike szerepel, de csak egyszer. Képezzünk hasonló szorzásokat!

HK

[245] Csimby2004-02-16 20:12:00

Én is ezt mondtam [216]-ban, de hát gyorsan felejtenek a népek...

[244] Sirpi2004-02-16 11:07:28

n2+1=2m és m\geq2 esetén a bal oldal 4-es maradéka 1 vagy 2, a jobb oldalé 0, tehát ilyenkor nincs megoldás.

m=0 esetén n=0, m=1 esetén n=\pm1 adódik, és ezzel az egyszerü húzással az eredeti feladatot is megoldottuk.

S

Előzmény: [238] Zormac, 2004-02-12 16:24:18
[242] Lóczi Lajos2004-02-13 23:49:10

Kedves Onogur,

ha csak képlet kell, azt könnyű gyártani:) Íme egy, amely megadja az egyenlet megoldását, ha az iteratív módszer már szóba került:

lim(ak),

ahol ak+1=log2(ak2+1), és például a0=4. (A limesz létezik, mert az ak sorozat monoton növő és felülről korlátos.)

Előzmény: [240] Hajba Károly, 2004-02-13 13:27:42
[241] Zormac2004-02-13 14:20:48

Igazad van. Azt hittem, n egész szám, de valójában ez sehol sem volt leírva :-)

z.

Előzmény: [240] Hajba Károly, 2004-02-13 13:27:42
[240] Hajba Károly2004-02-13 13:27:42

Kedves Zormac!

n=4\to42+1>24

n=5\to52+1<25

Így a (4,5) tartományban van egy megoldás, ezt én iteratív úton meghatároztam [214], továbbá tény, hogy n>5 megoldás már nem létezik, amire hozzászólásodban utaltál. Mi arra is kiváncsiak lettünk volna, hogy ez képlet formájában megadható-e. Eddig erre nem jött válasz, tehát szerintem nem olyan egyszerű a feladat.

HK

Előzmény: [238] Zormac, 2004-02-12 16:24:18
[239] Zormac2004-02-12 16:26:35

nyomdahiba... természetesen ezt akartam írni: "ráadásul n=5-re már igaz, hogy 2n>n2+1 és ennek az öröklődését már..."

Előzmény: [238] Zormac, 2004-02-12 16:24:18
[238] Zormac2004-02-12 16:24:18

A 47. feladat valóban nem kelt el, pedig egyszerű... (az volt, hogy oldjuk meg: n2+1=2n).

Először is n=0 és n=1 megoldások, 2\leqn\leq5 pedig nem megoldások, amint azt könnyű ellenőrizni. Ráadásul n=5-re már igaz, hogy 2n<n2+1 és ennek az öröklődését könnyű belátni nagyobb n-ekre, például azáltal, hogy a 2n sorozat hányados-sorozata nagyobb, mint az n2+1 sorozaté (afféle indukció):

\frac{(n+1)^2+1}{n^2+1} = 1 + \frac{2n+1}{n^2+1} < 1+\frac{2n+2}{n^2-1} = 1 + \frac{2}{n-1} < 2.

Esetleg az lehetne egy nehezebb feladat, hogy oldjuk meg az alábbit (nem tudom, értelmes feladat-e, csak úgy eszembe jutott, hátha mi lesz :-)

n2+1=2m.

[237] lorantfy2004-02-12 13:24:38

56.feladat: 40 m magas torony tetejéről kell lejutnunk. Van egy 30 m-es kötelünk, késünk és gyufánk. A kötelet csak 40 m és 20 m magasságban lehet rögzíteni. Leugrani persze semmilyen magasságból sem tanácsos.

(Aki ismeri, ne lője le!)

[236] lorantfy2004-01-24 17:46:38

A 35. feladat a Cornides István Matematika - Fizika Emlékverseny 1.feladata volt és így szólt:

Határozza meg, mely p valós számokra van az

x3+px2+2px=3p+1

egyenletnek három különböző a, b, c valós gyöke, amelyre ab=c2.

35. faladat megoldása: A három gyök a, b, c tehát a gyöktényezős alak:

(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc=0

Összehasonlítva ezt az eredeti egyenlettel és alakítgatva:

a+b+c=-p  \implies  a+b=-c-p

ab+ac+bc=2p  \implies  ab+(a+b)c=2p

abc=3p+1  mivel  ab=c2  \impliesc3=3p+1

Második egyenletbe ab és (a+b) értékét beírva:

c2+(-p-c)c=2p  \implies-pc=2p  \implies0=p(c+2)

Tehát p = 0 vagy c=-2

p=0 esetén x3=1 a=1, b=1, c=1 és ab=c2 is teljesül.

Ha c=-2, akkor p = -3, a+b=5, ab=4 és így a2-5a+4=0.

Gyökei: a=1 vagy a=4, amihez b=4 vagy b=1 tartozik.

p= -3 esetén az eredeti egyenlet gyökei valóban 1, 4 és -2.

Előzmény: [233] Hajba Károly, 2004-01-23 11:50:49

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]