Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2698] jenei.attila2008-06-23 12:36:36

Jelöljük pn,z-vel, az n db. nyitó és z db. záró zárójelből álló "folytatható" (n\gez) zárójelezések számát. Ha n kisebb mint z, akkor pn,z=0, ami azt jelenti, hogy kevesebb a nyitó mint a záró zárójel, vagyis a zárójelezés nem folytatható. Ekkor pn,0=1 (n db. nyitó zárójel), és

pn,z=pn,z-1+pn-1,z

megfelelően annak, hogy egy n nyitó és z-1 záró zárójelből álló, vagy egy n-1 nyitó és z záró zárójelből alló folytatható zárójelezést folytatunk nyitó, illetve záró zárójellel.

A feladat, nyilván a pn,n értékét kérdezi, amire az első néhány értéket kiszámolva:

p1,1=1,p2,2=2,p3,3=5,p4,4=14,p5,5=42

.

Zárt alakot nem sikerült találni, de egyébként a feladat tulajdonképpen azonos Atos gyógyszeres feladatával, amire szintén nem találtunk zárt alakot annak idején.

Előzmény: [2693] lorantfy, 2008-06-20 10:50:43
[2694] lorantfy2008-06-20 11:10:20
[2693] lorantfy2008-06-20 10:50:43

Van n db zárójelünk, fele nyitó fele záró. Hány féle helyes zárójelezést lehet ezekkel megvalósítani?

[2692] Lóczi Lajos2008-06-15 00:06:22

Írjuk fel az x\mapsto\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k} függvény Fourier-sorát.

[2691] nadorp2008-06-11 07:56:12

Kösz, erre gondoltam.

Előzmény: [2689] leni536, 2008-06-10 14:15:46
[2690] Róbert Gida2008-06-10 18:34:59

Azt azért hozzátehetted volna, hogy a pontonkénti konvergenciát láttad be. A kérdés is egy kicsit gagyi volt, csak úgy, hogy konvergens nem mondjuk a függvényekre, szerintem. Továbbá azt sem árt megjegyezni, hogy az fn függvények nem ugyanazon az intervallumon vannak értelmezve...

Az egyenletes konvergencia már nem igaz.

Előzmény: [2686] leni536, 2008-06-09 18:12:37
[2689] leni5362008-06-10 14:15:46

Az an (bn) sorozat monoton növekvő (csökkenö) és felső (alsó) korlátja f(x). Ugyanis az n+1. intervallum részhalmaza az n. intervallumnak, ezért a fügvény minimuma (maximuma) az intervallumon nem csökkenhet (nőhet).

Előzmény: [2687] nadorp, 2008-06-10 08:56:14
[2688] Fálesz Mihály2008-06-10 11:13:41

"Arra vagyok nagyon kíváncsi, hogy van-e kombinatorikai interpretációja a feladatnak, és esetleg van-e kombinatorikai megoldása."

Van.

Előzmény: [2684] lgdt, 2008-06-09 00:24:52
[2687] nadorp2008-06-10 08:56:14

A befejezés egy kicsit hiányos.

"A folytonosság úgy teljesülhet, ha: ...", helyett az kéne, hogy

Mivel az f(x) függvény folytonos, ezért ....

De honnan tudjuk, hogy az an,bn sorozatok konvergensek, miért következik ez a folytonosságból ?

Előzmény: [2686] leni536, 2008-06-09 18:12:37
[2686] leni5362008-06-09 18:12:37

Legyen an a függvény minimuma, bn a függvény maximuma az \left[x-\frac1n,x+\frac1n\right] intervallumon.

\int_{x-\frac1n}^{x+\frac1n}a_ndt\le\int_{x-\frac1n}^{x+\frac1n}f(t)dt\le\int_{x-\frac1n}^{x+\frac1n}b_ndt

(Két függvényt integrálunk és az egyik minden pontban nagyobb vagy egyenlő, mint a másik)

\frac2na_n\le\int_{x-\frac1n}^{x+\frac1n}f(t)dt\le\frac2nb_n

a_n\le\frac{n}2\int_{x-\frac1n}^{x+\frac1n}f(t)dt\le b_n

A folytonosság úgy teljesülhet, ha:

\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=f(x)

A rendőrelv alapján a keresett határérték:

\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)

Előzmény: [2685] Gyöngyő, 2008-06-09 17:01:17
[2685] Gyöngyő2008-06-09 17:01:17

Sziasztok!

Van egy jó kis feladatom!

Legyen f folytonos (0,1)-en. Konvergens-e a következő függvénysorozat?

f_n(x) := \frac n2 \int_{x-\frac 1n}^{x+ \frac 1n} f(t)dt

bocs, de a képletbeírási megoldásod "enyhén" rontotta a fórumképet, javítottam - Sirpi

[2684] lgdt2008-06-09 00:24:52

Hű, érdekes megoldások. Mi egy polinomos feladat kapcsán jöttünk rá, hogy ez így van.

Vegyük egy tetszőleges c-edfokú polinomfüggvény helyettesítési értékeit n+1 egymást követő egész helyen: P(x),P(x+1),...,P(x+n), legyen c<n.

Vonjuk ki az értékekből az őket megelőző értékeket (azaz képezzük a differencia-sorozatot), ekkor egy kisebb fokszámú polinomfüggvény helyettesítési értékeit kapjuk eggyel kevesebb helyen (vagy ha konstans 0 volt, akkor konstans 0-t).

Ezt n-szer ismételve egyetlen szám marad. Kövessük nyomon, hogy ez az első polinom helyettesítési értékeitől hogyan függ: látjuk, hogy mivel a képzési szabály éppen a váltakozó előjelekkel megtűzdelt Pascal-háromszög képzési szabálya, ezt kapjuk:

\sum_{k=0}^n(-1)^k P(x+k)\binom{n}{k}

Ekkorra a polinom már teljesen elfogy, ezért a megmaradó szám csak 0 lehet.

Írok egy példát is:

a, b, c, d, e // harmadfokú
b-a, c-b, d-c, e-d // másodfok
c-2b+a, d-2c+b, e-2d+c // elsőfokú
d-3c+3b-a, e-3d+3c-b // nulladfokú
e-4d+6c-4b+a = 0

Azért nagyon jó ez az egész, mert könnyen meg lehet vele mondani egy polinom következő helyettesítési értékét az előzőek alapján.

Arra vagyok nagyon kíváncsi, hogy van-e kombinatorikai interpretációja a feladatnak, és esetleg van-e kombinatorikai megoldása.

[2683] Káli gúla2008-06-08 22:57:04

Könnyebb az állítást kc helyett más c-edfokú polinomra igazolni. Ez természetesen az általánosság szempontjából mindegy. Például p(k)=\binom{k}{c} esetén, felhasználva a \binom{n}{k}\binom{k}{c}=\binom{n}{c}\binom{n-c}{k-c} azonosságot :

\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{k}{c}=
\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{c}\binom{n-c}{k-c}=
\binom{n}{c}\sum_{k=0}^{n-c}(-1)^k\binom{n-c}{k}=0.

(2) Ki lehetett volna indulni az (1+x)^n=\sum \binom{n}{k} x^k azonosságból is, amit c-szer deriválva \matrix{}x=-1-nél a \matrix{}q(k)=k(k-1). . . (k-c+1) polinomra adódik a keresett összefüggés.

Előzmény: [2681] lgdt, 2008-06-05 21:50:56
[2682] Enkidu2008-06-08 11:05:47

Előre is bocs, TeX-ben (újra)kezdő vagyok!

Ha bevezetjük az

 F(x,c,n)= \sum_{k=0}^n {(-1)^k (x+k)^c \binom{n}{k}}

jelölést, akkor az igazolandó állítás: F(0,c,n)=0, ha c<n. Mi egy kicsit általánosabbat fogunk bizonyítani: F(x,c,n)\equiv0 is igaz.

Biz.: Indukcióval.(Ha c,n-t rögzítjük, akkor F egyváltozós -csak x!- függvény.) Valamint a továbbiakban feltesszük, hogy n>c mindig.

F(x,1,2)=x-2(x+1)+(x+2)\equiv0, ez rendben. Ezek szerint F(x,1,2) (c,n-t rögzítve) a konstans 0 függvény, és persze -F(x+1,1,2)\equiv0 is igaz. Ha kirészletezzük

F(x,1,2) = (-1)^0 x \binom{2}{0} + (-1)^1 (x+1) \binom{2}{1} + (-1)^2 (x+2) \binom{2}{2}

valamint

-F(x+1,1,2) = -(-1)^0 (x+1) \binom{2}{0} - (-1)^1 (x+2) \binom{2}{1} - (-1)^2 (x+3) \binom{2}{2}

Mivel a binomiális együtthatókra igaz, hogy

\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}

, emiatt 0\equivF(x,1,2)-F(x+1,1,2)=F(x,1,3) is igaz. (Azért írtam ilyen részletesen, mert az indukció többi lépése ugyanerre az ötletre épül.)

Hasonlóan ha F(x,1,n)\equiv0, akkor -F(x+1,1,n)\equiv0 és az előzőek szerint F(x,1,n+1)\equiv0 is igaz, vagyis c=1-re igaz az állítás.

Másfelől ha F(x,c,n)-t x- szerint deriváljuk, F'(x,c,n)=cF(x,c-1,n). Emiatt, ha F(x,c,n)\equiv0, akkor F(x,c+1,n)\equivd valamilyen d számra. Azt kellene látni, hogy feltéve, hogy F(x,n-2,n)\equiv0, F(x,n-1,n)\equivd esetén d csak a 0 lehet. Ez pedig a következők miatt igaz: x=-n/2 helyettesítéssel:

F(-n/2,n-1,n) = \sum_{k=0}^n {(-1)^k (-n/2 + k)^{n-1} \binom{n}{k}}

itt n akár páros, akár páratlan az első-utolsó, második-utolsó előtti... tagok a szummában egymás ellentettjei (páros n esetén a középső tag egy 0), így összegük: 0. Mivel F(x,n-1,n) konstans volt, csak a konstans 0 lehet. Ezek szerint F(x,1,3)\equiv0 miatt F(x,2,3)\equiv0 is igaz, innen hasonlóan, mint c=1 esetén F(x,2,n) (n>2) is a konstans 0. Onnan F(x,3,4)\equiv0, majd F(x,3,n)\equiv0 (n>3) és így tovább... Ezzel az állítást beláttuk.

Melléktermékként kijöttek nekem a következő összefüggések (bizonyítás nélkül):

F(x,n,n) = \sum_{k=0}^n {(-1)^k (x+k)^n \binom{n}{k}} = (-1)^n n!

\sum_{n=0}^c \sum_{k=0}^n {(-1)^k (x+k)^c \binom{n}{k}} = (x-1)^c

Ez utóbbi két összefüggés (1.) x=0, valamint (2.) x=-1,0,1 esetén szép összegeket ad, valamint a második összegben c-helyett végtelenig is mehetünk.

Feladat: bizonyítsuk ezt a két utóbbi összeget!

Ui.: Bocs ez egy kicsit szószátyár lett. Hellósztok!

Előzmény: [2681] lgdt, 2008-06-05 21:50:56
[2681] lgdt2008-06-05 21:50:56

Lehet, hogy ez az alábbi túl könnyű feladatnak számít, nem tudom eldönteni.

Közismert, hogy a Pascal-háromszög bármely sorának tagjait váltakozó előjelekkel összeadva 0-t kapunk.

Ennél több is igaz: akkor is nullát kapunk, ha az n-edik sor tagjait (-1)kkc-nel szorozva (ahol k az oszlopindex) adjuk össze - feltéve, hogy c<n.

Miért van ez?

[2680] Lóczi Lajos2008-06-03 18:13:25

Elküldtem.

Előzmény: [2678] Gyöngyő, 2008-06-02 23:26:40
[2679] Gyöngyő2008-06-02 23:27:24

Mármint Lajos bocs a kisbetűért!

[2678] Gyöngyő2008-06-02 23:26:40

Sziasztok!

Akinek megvan az integrál szoljon már,mert engem nagyon érdekelne,vagy ha neked meg van lajos akkor elküldenéd az e-mail cimemre?

Köszönettel:

Gyöngyő

Előzmény: [2666] Lóczi Lajos, 2008-05-29 23:21:47
[2677] Lóczi Lajos2008-05-31 20:44:44

[A legutolsó képletbe nem másoltad át a fent még meglévő -ln 2 additív tagot, tehát a vége helyesen -\ln \left(2\sin\frac{x}{2}\right).]

Előzmény: [2676] Gyöngyő, 2008-05-31 17:14:24
[2676] Gyöngyő2008-05-31 17:14:24
[2675] Gyöngyő2008-05-31 17:13:56

Sziasztok!

Szórakozgattam egy kicsit,ezzel a fájlal! Megpróbálom feltölteni!

[2674] Lóczi Lajos2008-05-31 16:16:21

A megoldás szép, de sajnos még nem teljes. A logaritmus Taylor-sorának konvergenciasugara 1, ln (1+z) tehát egyenlő a sorfejtésével, ha |z|<1. Most nyilván |ei|=1. Honnan tudod, hogy |z|=1 esetén is szabad a sorfejtést használni? (Az általános esetben konvergencia és divergencia is előfordulhat a határkörvonalon...)

Előzmény: [2673] leni536, 2008-05-31 13:22:22
[2673] leni5362008-05-31 13:22:22

Vegyük az alábbi összeget:

\sum_{k=1}^\infty\frac{e^{ik}}{k}

Ennek a valós része a keresett összeget adja.

Ez az összeg az -\ln(1-z)\frac{}{} függvény Taylor-sora, ahol z=e^i\frac{}{}, tehát:

\sum_{k=1}^\infty\frac{e^{ik}}{k}=-\ln(1-e^i)

Komplex szám logaritmusának valós részét úgy kapjuk, hogy vesszük az abszolútértékének a logaritmusát.

Ábrázoljuk koordinátarendszerben! (ábra)

r=2\sin\frac12

Így a keresett összeg:

\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(k)}{k}=-\ln\left(2\sin\frac12\right)

Előzmény: [2667] Lóczi Lajos, 2008-05-30 00:48:34
[2672] Lóczi Lajos2008-05-31 00:06:24

Nem, nekem sikerült PDF-et is belinkelni. (Küldtem Gyöngyő levelet!)

Előzmény: [2671] jonas, 2008-05-30 23:53:22
[2671] jonas2008-05-30 23:53:22

Nem az a gond, hogy csak png, jpeg, gif, és windows bitmap formátumú képeket enged föl?

Előzmény: [2670] Gyöngyő, 2008-05-30 22:41:42

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]