Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[281] nadorp2004-03-02 12:10:54

Kedves László !

Teljesen igazad van, sajnos nem vettem észre, hogy ez a példa már szerepelt ( egy kicsit más köntösben). Bocsi

N.P.

Előzmény: [280] lorantfy, 2004-03-02 11:33:04
[280] lorantfy2004-03-02 11:33:04

Kedves NadorP és Fórumosok!

Úgy látom ez a feladat az "Ujjgyak" 27. feladatának [86] egy változata. Persze csak az nézze meg aki nem tudja megoldani!

Előzmény: [279] nadorp, 2004-03-02 08:26:12
[279] nadorp2004-03-02 08:26:12

Kedves László !

Gratula,nagyon elegáns a megoldás. Hetedikes fiam hozta a következő példát.

62.feladat: Az ABCD téglalapban AB=5,BC=1. Az AB oldal olyan belső pontja E, melyre AE:EB=2:3. Határozzuk meg szögfüggvények használata nélkül a CED szöget.

[278] lorantfy2004-02-28 15:02:24

61. feladat megoldása: A pozitív egészekből álló sorozat: a1,a2,a3,...am,...an,...am+n-1

Nevezzük az i db egymásutáni tagból álló számsort „i-lánc”-nak. Nekünk m és n láncokat kell összegeznünk. Legyen m<n. Írjuk az összegzendő láncokat 1-el eltolva egymás alá, külön az m és külön az n-láncokat. Így azonos tagok kerülnek egymás alá.

Látható, hogy m-láncból (m+n-1)-m+1= n db van, hasonlóan n-láncból m db.

Az Sn összegben m sor van tehát az összeadott azonos tagok együtthatói 1-től m-ig növekednek a1-től am-ig. Ezután an-ig minden együttható m, majd egyesével csökkennek az együtthatók, am+n-1 együtthatója 1 lesz.

Az Sm összegben n(>m) sor van, de az m-láncok hossza m, így itt is csak m db azonos tag kerülhet egymás alá, hiszen minden m-lánc 1-el el van tolva és m számú eltolás után az első lánc „elfogy”. Így az egymás alá kerülő azonos tagokat összeadva az együtthatók pontosan úgy alakulnak mint az Sn összegben.

Tehát Sn=Sm.

Előzmény: [277] nadorp, 2004-02-27 11:58:44
[277] nadorp2004-02-27 11:58:44

A Nehezebb matamatikai problémák között Sirpi [75] kitűzött egy példát. Ennek egyik "mellékterméke" az alábbi állítás.

61.feladat: Legyenek m,n tetszőleges pozitív egészek és tekintsünk m+n-1 darab tetszőleges valós számot. Képezzük az összes lehetséges módon n darab szomszédos szám összegét. Jelölje ezen összegek összegét Sn. Definiáljuk hasonlóképpen Sm-et is. Bizonyítsuk be, hogy Sn=Sm

[276] Hajba Károly2004-02-26 21:57:29

Kedves László!

Íme az én verzióm majdnem a Te stílusodban. (Először nem jöttem rá a szines trükködre, de aztán gyakoroltam inkább a TeX-et :o)

K3-K1 K1 K1-K2 K2-K1 K2 K2-K3 K3-K2 K3 K1-K3
6 18 6 5 17 6 4 15 5
3 12 4 5 16 6 4 14 5
3 11 4 2 9 3 4 13 5
3 10 4 2 8 3 2 7 2
1 4 1 2 5 1 2 6 2
1 3 1 0 2 1 0 1 0
17 58 20 16 57 20 16 56 19

HK

Előzmény: [274] lorantfy, 2004-02-26 07:45:45
[275] Csimby2004-02-26 21:13:06

Onogur és Lorantfy megoldásában is 19/36 valószínűséggel nyer Andris. Nem lehet jobbat találni? ill. hogyan lehetne bebizonyítani, hogy nem lehet?

[274] lorantfy2004-02-26 07:45:45

Egy lehetséges változat a számok felírására:

Előzmény: [273] Hajba Károly, 2004-02-25 13:46:57
[273] Hajba Károly2004-02-25 13:46:57

Nekem is van már egy megoldásom, s az alábbi végeredményt adja az összevetésnél:

A:B=20:16; B:C=20:16; C:A=19:17

HK

Előzmény: [272] lorantfy, 2004-02-25 13:18:37
[272] lorantfy2004-02-25 13:18:37

Kedves Fórumosok!

Bejött Csimbi ötlete: el lehet helyezni a számokat úgy, hogy a kockák a "körbeverjék" egymást! Nekem már megvan! Variáljatok Ti is!

Előzmény: [271] Hajba Károly, 2004-02-25 12:55:20
[271] Hajba Károly2004-02-25 12:55:20

Valóban, (görög volt a falóban :o) ha Gyuri adta fel, ahhoz ez túl trivi, irány tovább gondolkodni.

HK

Előzmény: [265] Sirpi, 2004-02-25 10:47:37
[270] Sirpi2004-02-25 11:29:02

Nyomon vagytok... :-)

Előzmény: [268] Csimby, 2004-02-25 11:00:28
[269] lorantfy2004-02-25 11:20:16

Kedves Csimbi és Fórumosok!

Valóban túl egyszerűnek tűnik az egyenlő valószinüségű megoldás, figyelembe véve, hogy a példát Gyuri adta fel és a "kivégzés" emléke még bennünk él!

Nekem elsőre úgy tűnik, mintha az "egyik kocka jobb mint a másik" reláció tranzitív lenne. De mégis jónak találom az ötletedet! Vizsgáljuk meg!

Előzmény: [268] Csimby, 2004-02-25 11:00:28
[268] Csimby2004-02-25 11:00:28

Andris mindenképpen eltudja érni, hogy egyenlők legyenek az esélyek, ha az egyik kockára 1,2,3,16,17,18-at ír. Ha Béla nem, akkor ő kiválasztja ezt a kockát -> 1/2 valószínűséggel nyer, függetlenül a másik két kockától.

Tehát ha valakinek van nyerő stratégiája, az Andris. Olyan elosztást kéne találni, hogy az A kocka jobb a B-nél, B a C-nél, C az A-nál -> Béla akármit választ, Andris tud jobbat.

[267] lorantfy2004-02-25 10:52:45

Kedves Károly és Fórumosok!

Abból, hogy a számok összege minden kockán 57 én még nem látom tisztán, hogy egyenlő lenne a nyerési esély és van ilyen elosztás?

Én igy gondolom: András nyilván igyekszik úgy elosztani a számokat, hogy legalább két kockával egyenlő legyen a nyerési esély és a harmadikkal ezeknél kisebb. Ha ez lehetséges, akkor egyenlő valószinüséggel nyerhetnek. (A 3. kocka azért nem lényeges, mert Béla kiválasztja az egyik jobb kockát, András meg a másikat)

A lenti táblázatba beírtam a számok elosztásását. A szélső oszlopokba pedig, hogy az adott szám hány párban nyerő. A 36 lehetőségből mindkét kocka 18-18 szor nyer. Tehát mindeny, hogy kinek a helyében játszunk

Előzmény: [264] Hajba Károly, 2004-02-24 21:05:58
[266] Sirpi2004-02-25 10:52:29

Az előző példám nagyon sarkított, és természetesen nem fér bele a feladat kereteibe (1-18-ig terjedő, különböző számok), de rávilágít valamennyire a dologra...

S

Előzmény: [265] Sirpi, 2004-02-25 10:47:37
[265] Sirpi2004-02-25 10:47:37

Sajnos ez az érvelés hibás... Tegyük fel, hogy van két kockánk, egyiken 0, 0, 0, 0, 0, 100000 számok vannak, a másikon 1,1,1,1,1,1 számok. Melyik kocka a jobb? A másodikkal 5/6 eséllyel nyerek az első ellen, pedig az összeg (átlag) kisebb rajta.

S

(Imserem a megoldást, de csöndben maradok...)

Előzmény: [264] Hajba Károly, 2004-02-24 21:05:58
[264] Hajba Károly2004-02-24 21:05:58

60. feladathoz:

Ha András úgy ossza ki a számokat a dobókockák között, hogy az egyik kocka oldalösszege nagyobb, mint a többin, akkor Béla ezt választva hosszútávon elönyt élvezhetne, mivel magasabb átlagpontot érne el vele. Amennyiben mindhárom kockán egyenletesen vannak elosztva a számok, azaz egy-egy kockán található számok összege 57-57, teljesen mindegy a választott kockán lévő számok értéke, hosszútávon kiegyenlítődik a játék. A teljesen egyenletes eloszlás miatt úgy kell a kiosztást elvégezni, hogy egy-egy kocka két-két ellentétes oldalán található számok összege 19 legyen.

Ezzel a taktikával mindegy, hogy ki kezd és véletlenszerű a különbség.

HK

Előzmény: [263] Gyuri, 2004-02-23 15:19:09
[263] Gyuri2004-02-23 15:19:09

Kedves Fórumosok!

Íme egy újabb feladat:

60. feladat: András és Béla játszák a következő játékot: András az 1,2,...,18 számokat felírja 3 db, kezdetben számozatlan dobókocka lapjaira, minden lapra pontosan egy számot. Ezután Béla választ egy kockát e három közül, persze a választás előtt kedvére tanulmányozhatja őket. András a megmaradt két kocka közül választ, majd rátérnek a játék fő részére. Dobnak mindketten a saját kockájukkal, és a nagyobb számot dobó elnyer egy forintot a másiktól. Így dobálgatnak a kockáikkal, minden lépésben a sajátjukkal. Kérdés: kinek a helyében érdemes játszani? mennyire éri meg?

Üdv: Gyuri

[262] Gubbubu2004-02-21 22:28:10

Bocs, a 4 lemaradt. A TEX ördöge.

Előzmény: [261] lorantfy, 2004-02-21 11:47:00
[261] lorantfy2004-02-21 11:47:00

Kedves Gubbubu!

Bocs, hogy beleturkálok a feladatodba, de így lesz megoldás:

59.b feladat:

log_2{\frac{cos^4{xy}+1}{cos^2{xy}}}=\frac{2}{y^2+4y+6}

Előzmény: [260] Gubbubu, 2004-02-19 20:16:44
[260] Gubbubu2004-02-19 20:16:44

Kedves Fórum!

A következő feladatot azoknak ajánlom, akik az itteni versenyszintű feladatokat túl nehéznek, de a "darálós" matematikafeladatokat (pl. zöld könyv) túl könnyűnek érzik.

59. fa.: Oldjuk meg a

log_2{\frac{cos^4{xy}+1}{cos^2{xy}}}=\frac{2}{y^2+y+6}

egyenletet, (x,y)\inR2

[259] Lóczi Lajos2004-02-19 04:32:18

Kedves Onogur!

Még utoljára hadd reagáljak én is a kérdésre. Persze, én is hasonlóra gondoltam a "képlet" szó hallatán---arra a néhány "önkényesen" kijelölt függvényre (pl. szinusz, logaritmus, négyzetgyök, stb.), melyeket "legtöbbször" használunk, illetve ilyenekből (véges sok lépésben ?) a függvényműveletekkel (pl. alapműveletek, kompozíció, inverz, stb.) készíthető függvényekre.

A "véges lépésben kifejezhetőség" kérdését és a másodfokú egyenlet megoldóképletét nézhetjük azonban a következő nézőpontból is: pl. már az x2=2 (x>0) egyenlet megoldása, azaz \sqrt{2} sem fejezhető ki racionális számokkal és véges sok alapművelettel; természetesen a határérték felhasználásával (és végtelen sok racionális szám felhasználásával) már kifejezhető. De ugyanígy van a 10x=2 egyenlet valós megoldásával is: a log102 kifejezést sem lehet a határérték fogalmának mellőzésével véges sok racionális számból megkonstruálni. (Limesz segítségével persze könnyen definiálható pl. a logaritmus hatványsora és így a log102 szám is.) Ugyanez a helyzet tehát minden irracionális számmal, hiszen irracionális számokat "konstruálni" csak már valami meglévő "anyagból", pl. a racionális számokból lehet.

Már az is szerencsének számít szerintem, hogy egy "véletlenszerűen" felírt nemlineáris egyenletnek egyáltalán kifejezhető a megoldása a "megszokott", elemi függvények segítségével (és határértékképzéssel).

Ilyen típusú tételekkel, kérdésfelvetéssel egyébként a primitívfüggvény-keresés (azaz határozatlan integrálás) elméletében foglalkoznak, meg lehet kérdezni pl., hogy egy adott függvénynek a (bizonyíthatóan létező) primitív függvénye egy adott függvényosztályban van-e: pl. jól ismert, hogy az x\mapstoe-x2 függvény primitív függvénye "nem elemi" függvény, azaz a "szokásos" képletekkel nem "fejezhető ki". Ennek ellenére egyszerű hatványsorral (ismét határértékképzés!) minden további nélkül előállítható a primitív függvénye. (És ha tetszik, be is vezethetünk erre egy új nevet, ahogyan ezt szokták is (valójában a függvény konstansszorosát nevezik el): legyen ez az ún. hibafüggvény, és jelöljük az erf(x) jellel. Ezzel aztán ugyanúgy számolhatunk, mint pl. a log(x) függvénnyel...tehát a történetnek sosem lehet vége.)

Előzmény: [258] Hajba Károly, 2004-02-19 00:42:09
[258] Hajba Károly2004-02-19 00:42:09

Kedves Lajos!

A "pontos érték" alatt én is olyasvalamire gondoltam, mint gubbubu; vagy például képlet alatt olyanra, mint a másodfokú megoldóképlet, tehát véges lépésben kifejezhető érték. Feltehetően nem pontosan fogalmaztunk.

De azt javaslom, hogy ezirányú pontosításokat ne folytassuk, mivel ilyen - fent vázolt módon kifejezhető formában - feltehetően nem létezik, másrészről a feladatot természetesen megoldotnak tekintem én is. :o)

HK

Előzmény: [256] Lóczi Lajos, 2004-02-18 02:53:55
[257] lorantfy2004-02-18 09:18:36

Kedves Károly!

Kösz a megoldást! Megmondom őszintén, én nem foglalkoztam még a példával. Meglepő, hogy ilyen nagy számok jöttek ki!

Előzmény: [254] Hajba Károly, 2004-02-17 19:19:42

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]