Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[293] Sirpi2004-03-25 15:10:41

Megjegyzés a 65. feladathoz:

A kitűzésnél 0<x<\pi/4 volt, de az állítás igaz (és a bizonyítás is megy) 0<x<\pi/2-re. Sőt több is igaz:

Beláttuk, hogy ha x hegyesszög, akkor x legfeljebb a sin x és tg x számtani közepe lehet. Ez viszont igaz számtani helyett harmonikus középre is, amivel élesebb becslést kapunk:

\frac{2}{\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tg x}}=\frac{2 \sin x}{1+\cos x}=\frac{4 \sin \frac x2 \cos \frac x2}{2cos^2 \frac x2}=2\tg \frac x2 \geq 2 \cdot \frac x2 = x

S

Előzmény: [292] nadorp, 2004-03-25 13:34:34
[292] nadorp2004-03-25 13:34:34

Megoldás a 65. feladatra.

\frac{\sin{x}+\tg{x}}2=\frac{\sin{x}}2\cdot\frac{1+\cos{x}}{\cos{x}}=\sin\frac{x}2\cos\frac{x}2\cdot\frac{1+\cos{x}}{\cos{x}}=\tg\frac{x}2\cos^2\frac{x}2\cdot\frac{1+\cos{x}}{\cos{x}}=

=\tg\frac{x}2\cdot\frac{1+\cos{x}}2\cdot\frac{1+\cos{x}}{\cos{x}}=2\tg\frac{x}2\cdot\frac{(1+\cos{x})^2}{4\cos{x}}\ge2\tg\frac{x}2

Az ábra szerint, ha a kör sugara 1,akkor T_{OAB}=\frac{x}4 és T_{OAC}=\frac{\tg\frac{x}2}2 és látható, hogy TOAB\leqTOAC, ezért

2\tg\frac{x}2\ge{x}

Előzmény: [289] Csimby, 2004-03-24 00:40:29
[291] lorantfy2004-03-24 13:26:07

Kedves Zoltán!

Kösz a figyelmeztetést. Neked jobb a memóriád, én nem emlékeztem rá. Ráadásul a megoldásban utalnak az általános megoldhatóság feltételére is. Azért remélem lesz olyan, aki ettől függetlenül megcsinálja.

Előzmény: [290] SchZol, 2004-03-24 12:32:51
[290] SchZol2004-03-24 12:32:51

Kedves László!

A 64.feladat 2001. novemberében ki volt tűzve a Kömalban (P.3467.), annyi eltéréssel, hogy ott 6 óra volt az út oda-vissza.

Üdv, Zoli

Előzmény: [288] lorantfy, 2004-03-23 22:56:49
[289] Csimby2004-03-24 00:40:29

65.feladat Bizonyítsuk be, hogy ha 0<x<\Pi/4, akkor x<(tgx + sinx)/2.

66.feladat Bizonyítsuk be, hogy tg 1°, sin 1°, cos 1° irracionális.

67.feladat (a+b+c)x2-2(ab+bc+ac)x+3abc=0 és 0<a<b<c Bizonyítsuk be, hogy az egyenlet egyik gyöke a és b közé a másik pedig b és c közé esik.

A feladatok a Nemzetközi Magyar Matematikai Versenyen voltak kitűzve, úgyhogy aki volt az ismeri a megoldásokat aki nem, annak meg jó szórakozást.

[288] lorantfy2004-03-23 22:56:49

Kedves Károly és Fórumosok!

Éppen ideje volt már „földobni” ezt a témát! Ezt a feladatot én is hallottam már többféle változatban, cipókkal, tojásrántottával, de fahasábokkal és spórral még nem. Bennem meleg elmékeket kelt az utóbbi, de sokan szerintem már azt sem tudják mi az. ( Spór = spórhelt = sparhert = takaréktűzhely )

64. feladat: Valaki dombos úton kerékpárral ment A helyről B-be majd ugyanott vissza. Vizszintes úton v = 16 km/h, lefelé u = 24 km/h, felfelé pedig w = 12 km/h sebességgel haladt. Oda-vissza összesen 3 órát kerékpározott. Mekkora az AB távolság?

Akinek ez nagyon könnyű lenne:

64.b feladat: Milyen 60 km/h > u > v > w egész számokra van a feladatnak egyértelmű megoldása?

Előzmény: [287] Hajba Károly, 2004-03-22 15:19:25
[287] Hajba Károly2004-03-22 15:19:25

Üdv Mindenki!

Felhozandó a Téma bedobok egy ide illő és egyszerű, akár az "Ujjgyakorlatok"-ba is illő 63. feladatot:

Három barátnő főzéshez készül, az egyik 5 db fát, a másik 3 db fát hozzott a spórba és így mindhármójuk megfőzött. A harmadik, mivel nem volt tüzifája, 8 forinttal járult hozzá a tüzifa költségekhez. A másik két barátnő milyen arányban osztozik igazságosan a pénzen?

HK

[286] Csimby2004-03-05 13:17:08

Kedves Gyuri!

Megköszönném!

[285] Gyuri2004-03-05 12:16:51

Kedves Csimby!

A 60. feladathoz irt kerdesedre a valasz: Lehet jobbat talalni, megpedig 21/36 a legnagyobb nyeresi esely Andris szamara. Hogyan lehet bizonyitani? Most nincs nalam, de egy rovidke C progival vegigneztem a lehetosegeket. Ha erdekel, elkuldhetem emailben.

Udv: Gyuri

Előzmény: [275] Csimby, 2004-02-26 21:13:06
[284] pragmaP2004-03-03 19:46:57

Kedves László!

Köszönöm, hogy felhívtad a figyelmem az elegánsabb megoldásra. Én a \sqrt5 és a \sqrt10 arányából jöttem rá, hogy egyenlőszárú derékszögű háromszöget kell valahol találnom.

[283] lorantfy2004-03-02 20:11:49

Kedves Tamás!

Örülök, hogy beírtad a megoldást – én nem mondtam, hogy nem kell megoldani, csak, hogy emlékeztet egy másik példára. Különösen a jó ábrákat imádom – és ez is az!

Ha jól megnézed, kiderül, hogy a szög megállapításához nem szükséges kiszámolni az átfogókat, elegendő az 1-2 befogójú derékszügű \Delta-ek egybevágóságára hivatkozni. Ezért is szeretik ezt a példát és variációit a 7. osztályos versenyfeladatokba berakni.

Előzmény: [282] pragmaP, 2004-03-02 18:13:30
[282] pragmaP2004-03-02 18:13:30

62. feladat megoldása

Sajnálom, hogy már volt, de azért, ha már lerajzoltam, elküldöm.

A Pithagorasz-tételből ED=\sqrt5 és EC=\sqrt10=\sqrt2 * \sqrt5. Tükrözzük AED háromszöget E pontra! Így ED'=\sqrt5. Ha be tudom bizonyítani, hogy D'C is \sqrt5, akkor ED'C egy egyenlőszárú derékszögű háromszög, ezért 45-°osak az alapon fekvő szögei. Ebből \alpha=135°.

A fentinek bizonyítása: BP=1, ha a D'P-t AB-vel párhuzamosan húztam. EA'=2, így A'B=1, ezért D'C=\sqrt5

Előzmény: [280] lorantfy, 2004-03-02 11:33:04
[281] nadorp2004-03-02 12:10:54

Kedves László !

Teljesen igazad van, sajnos nem vettem észre, hogy ez a példa már szerepelt ( egy kicsit más köntösben). Bocsi

N.P.

Előzmény: [280] lorantfy, 2004-03-02 11:33:04
[280] lorantfy2004-03-02 11:33:04

Kedves NadorP és Fórumosok!

Úgy látom ez a feladat az "Ujjgyak" 27. feladatának [86] egy változata. Persze csak az nézze meg aki nem tudja megoldani!

Előzmény: [279] nadorp, 2004-03-02 08:26:12
[279] nadorp2004-03-02 08:26:12

Kedves László !

Gratula,nagyon elegáns a megoldás. Hetedikes fiam hozta a következő példát.

62.feladat: Az ABCD téglalapban AB=5,BC=1. Az AB oldal olyan belső pontja E, melyre AE:EB=2:3. Határozzuk meg szögfüggvények használata nélkül a CED szöget.

[278] lorantfy2004-02-28 15:02:24

61. feladat megoldása: A pozitív egészekből álló sorozat: a1,a2,a3,...am,...an,...am+n-1

Nevezzük az i db egymásutáni tagból álló számsort „i-lánc”-nak. Nekünk m és n láncokat kell összegeznünk. Legyen m<n. Írjuk az összegzendő láncokat 1-el eltolva egymás alá, külön az m és külön az n-láncokat. Így azonos tagok kerülnek egymás alá.

Látható, hogy m-láncból (m+n-1)-m+1= n db van, hasonlóan n-láncból m db.

Az Sn összegben m sor van tehát az összeadott azonos tagok együtthatói 1-től m-ig növekednek a1-től am-ig. Ezután an-ig minden együttható m, majd egyesével csökkennek az együtthatók, am+n-1 együtthatója 1 lesz.

Az Sm összegben n(>m) sor van, de az m-láncok hossza m, így itt is csak m db azonos tag kerülhet egymás alá, hiszen minden m-lánc 1-el el van tolva és m számú eltolás után az első lánc „elfogy”. Így az egymás alá kerülő azonos tagokat összeadva az együtthatók pontosan úgy alakulnak mint az Sn összegben.

Tehát Sn=Sm.

Előzmény: [277] nadorp, 2004-02-27 11:58:44
[277] nadorp2004-02-27 11:58:44

A Nehezebb matamatikai problémák között Sirpi [75] kitűzött egy példát. Ennek egyik "mellékterméke" az alábbi állítás.

61.feladat: Legyenek m,n tetszőleges pozitív egészek és tekintsünk m+n-1 darab tetszőleges valós számot. Képezzük az összes lehetséges módon n darab szomszédos szám összegét. Jelölje ezen összegek összegét Sn. Definiáljuk hasonlóképpen Sm-et is. Bizonyítsuk be, hogy Sn=Sm

[276] Hajba Károly2004-02-26 21:57:29

Kedves László!

Íme az én verzióm majdnem a Te stílusodban. (Először nem jöttem rá a szines trükködre, de aztán gyakoroltam inkább a TeX-et :o)

K3-K1 K1 K1-K2 K2-K1 K2 K2-K3 K3-K2 K3 K1-K3
6 18 6 5 17 6 4 15 5
3 12 4 5 16 6 4 14 5
3 11 4 2 9 3 4 13 5
3 10 4 2 8 3 2 7 2
1 4 1 2 5 1 2 6 2
1 3 1 0 2 1 0 1 0
17 58 20 16 57 20 16 56 19

HK

Előzmény: [274] lorantfy, 2004-02-26 07:45:45
[275] Csimby2004-02-26 21:13:06

Onogur és Lorantfy megoldásában is 19/36 valószínűséggel nyer Andris. Nem lehet jobbat találni? ill. hogyan lehetne bebizonyítani, hogy nem lehet?

[274] lorantfy2004-02-26 07:45:45

Egy lehetséges változat a számok felírására:

Előzmény: [273] Hajba Károly, 2004-02-25 13:46:57
[273] Hajba Károly2004-02-25 13:46:57

Nekem is van már egy megoldásom, s az alábbi végeredményt adja az összevetésnél:

A:B=20:16; B:C=20:16; C:A=19:17

HK

Előzmény: [272] lorantfy, 2004-02-25 13:18:37
[272] lorantfy2004-02-25 13:18:37

Kedves Fórumosok!

Bejött Csimbi ötlete: el lehet helyezni a számokat úgy, hogy a kockák a "körbeverjék" egymást! Nekem már megvan! Variáljatok Ti is!

Előzmény: [271] Hajba Károly, 2004-02-25 12:55:20
[271] Hajba Károly2004-02-25 12:55:20

Valóban, (görög volt a falóban :o) ha Gyuri adta fel, ahhoz ez túl trivi, irány tovább gondolkodni.

HK

Előzmény: [265] Sirpi, 2004-02-25 10:47:37
[270] Sirpi2004-02-25 11:29:02

Nyomon vagytok... :-)

Előzmény: [268] Csimby, 2004-02-25 11:00:28
[269] lorantfy2004-02-25 11:20:16

Kedves Csimbi és Fórumosok!

Valóban túl egyszerűnek tűnik az egyenlő valószinüségű megoldás, figyelembe véve, hogy a példát Gyuri adta fel és a "kivégzés" emléke még bennünk él!

Nekem elsőre úgy tűnik, mintha az "egyik kocka jobb mint a másik" reláció tranzitív lenne. De mégis jónak találom az ötletedet! Vizsgáljuk meg!

Előzmény: [268] Csimby, 2004-02-25 11:00:28

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]