Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2999] Radián2009-07-22 19:13:37

Csak addig jutottam, hogy 2 hatványai közül csak azok jöhetnek szóba melyek 20-szal való osztási maradéka 1,2,3 v. 16. Gondolom ez a tény semmire se jó de hátha valami csoda folytán valakinek segít:)

[2998] R.R King2009-07-19 21:11:32

Páros sok jegyből álló nincs, mert az ilyenek oszthatók 11-gyel.

Előzmény: [2997] MTM, 2009-07-19 16:18:36
[2997] MTM2009-07-19 16:18:36

Üdv!

Van-e 2-nek többjegyű palindromhatványa?

[2996] R.R King2009-06-26 11:03:05

Nem ismerem a roman módszert és azt sem értem, hogy mit jelent, hogy kompatibilisek az egyenletek:) Egyébként mi volt a kérdés, hiszen megoldottad a feladatot...

Előzmény: [2995] sanyi15ka, 2009-06-26 09:43:13
[2995] sanyi15ka2009-06-26 09:43:13

En mashogy oldottam meg, de igy is jo. En inkabb roman modszert hasznaltam, vagyis egy kis rendezessel felirtam 3 egyenlotlenseget es ezek altal bebizonyitottam h csak n=3-ra kompatibilisek az egyenletek es igy megkimeltem magam attol, hogy n=1-t, illetve n=2-t targyaljam.:)

Előzmény: [2994] R.R King, 2009-06-26 08:34:00
[2994] R.R King2009-06-26 08:34:00

egy pozitív szám és a reciprokának összege legalább 2, így a második egyenletből n legfeljebb 3 lehet.Ha n pl 3 akkor a második egyenlet csak X(i)=1 esetben teljesülhet.Ez teljesíti az első egyenletet is. Ebben az esetben tehát a kérdéses összeg 3. n=1, illetve n=2-tőt rád bízom:)

Előzmény: [2993] sanyi15ka, 2009-06-26 00:32:28
[2993] sanyi15ka2009-06-26 00:32:28

Udv! 10. vegen megkert minket a matektanarunk, hogy szerkesszunk 2 matek feladatot. Nekem ez lett az egyik. Az e-mail cimemre varom a megoldasokat. Ha lehet akkor a feladatom elemi matekkel legyen megoldva, mert csak jovore, 11-be, tanulok analizist meg felsobb dolgokat es azokat meg nem tudom.

[2992] S.Ákos2009-06-23 13:40:19

B.4185. minden n-re igaz.

Vázlat: tekintsük az (x-a)(xn-1+axn-1+...+an-1)=xn-an azonosságot, és P(x)=\sum_{i=0}^k a_i x^i=a_k\prod_{i=0}^k (x-u_i), ahol ui P(x) komplex gyöke. a=ui helyettesítéssel és ezek összeszorzásából kapjuk a Q(x)=\prod_{i=1}^k\sum_{j=0}^{n-1}{u_i}^j x^{n-1-j} polinomot. P(x) Q(x)=a_n\prod_{i=1}^k (x-u_i)\cdot\prod_{i=1}^k\sum_{j=0}^{n-1}{u_i}^j x^{n-1-j}=a_n\prod_{i=1}^k (x^n-u_i^n), így P(x)Q(x) jó.

Előzmény: [2991] m2mm, 2009-06-22 22:08:40
[2991] m2mm2009-06-22 22:08:40

Üdv!

Két idei KöMaL-feladat általánosítása:

Egy májusi feladat:

B. 4185. Mutassuk meg, hogy minden nemnulla polinomnak van olyan nemnulla polinomszorosa, amelyben minden tag kitevője osztható 3-mal.

Ez a (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=a3+b3+c3-3abc azonossággal könnyen kezelhető.

A kérdés: Mely n-ekre igaz az, hogy minden nemnulla polinomnak van olyan nemnulla polinomszorosa, amelyben minden tag kitevője osztható n-nel?

Egy márciusi feladat:

B. 4167. Egy n pozitív egészre jelölje f(n) az n tízes számrendszerbeli alakjának a megfordításával kapható számot. (Tehát f(2500)=52, f(1456)=6541.) Keressük meg azokat a pozitív egész k számokat, amelyekre teljesül, hogy tetszőleges n többszörösükre k az f(n) számnak is osztója.

A kérdés: Mik a keresendő k számok r alapú számrendszerben? (esélyesnek tartom r2-1 osztóit, de nem tudtam bizonyítani)

[2990] kiskiváncsi2009-06-22 20:26:18

Ez egy három pofás (pont, teknős, stb.) eszterga tokmány belseje. (Van 4 és 6 pofás is.)

Előzmény: [2989] Lóczi Lajos, 2009-06-22 13:05:48
[2989] Lóczi Lajos2009-06-22 13:05:48

Mi ez? :-)

Előzmény: [2988] kiskiváncsi, 2009-06-22 12:01:18
[2988] kiskiváncsi2009-06-22 12:01:18

Ahogy a matematikus kiszámolta- ahogy a mérnökök megtervezték.....

Előzmény: [2984] jonas, 2009-06-18 14:19:05
[2987] Lóczi Lajos2009-06-21 00:17:51

Az asztroidot egy differenciálegyenlet megoldásaként is megkaphatjuk.

Ha f jelöli a keresett burkológörbét, akkor felírva az "érintőszakaszok pozitív síknegyedbe eső része konstans" feltételt, az alábbi egyenlet adódik:


\left(x-\frac{f(x)}{f'(x)} \right)^2+\left(f(x)-x f'(x)\right)^2={\rm{konstans}}.

Ezt megoldva (és a triviális eseteket eldobva) éppen az asztroid egyenletét kapjuk.

Előzmény: [2985] HoA, 2009-06-19 15:08:04
[2986] leni5362009-06-19 15:52:56

Ennek a burkolónak a neve asztroid. Érdemes megfigyelni, hogy a buszok ajtaja is valahogy hasonlóan nyílik, és mivel az aljukon van egy seprű, ezért a lépcső alján lévő kosznak a burkolója is ugyanez a görbe.

[2985] HoA2009-06-19 15:08:04

Egy mechanikai kapcsolódási pont:

Szerkesszük meg az egységnyi hosszú AB szakasszal ábrázolt létra pillanatnyi forgás középpontját (M) , mint a végpontokban a mozgásirányra (tengely) emelt merőlegesek metszéspontját. M-ből az AB-re bocsátott merőleges talppontja legyen T. Az M körüli elfordulás során az M középpontú, AB-t T-ben érintő k körív elválasztja egymástól a sík létra által súrolt illetve nem súrolt pontjait, T tehát a burkológörbe pontja. Az ábrából

BM=cos\phi;BT=cos2\phi;Tx=u=cos3\phi

és hasonlóan

AM=sin\phi;AT=sin2\phi;Ty=v=sin3\phi

Innen a \phi paramétert kiküszöbölve [2975] képletét kapjuk.

Előzmény: [2976] Lóczi Lajos, 2009-06-17 15:33:27
[2984] jonas2009-06-18 14:19:05

Felrakok azért egy ábrát is a teknősök útvonaláról, csak dísznek.

Előzmény: [2978] jenei.attila, 2009-06-17 20:32:39
[2983] Alma2009-06-18 13:41:26

Látom senki sem írta fel a polárkoordinátás megoldást, és újabb kérdések vetődtek fel, ezért beírom én.

Már az előttem szólók megállapították, hogy a mozgás során szimmetria okokból az eredeti négyzetalak megmarad, csak zsugorodik és elfordul. Jól jellemezhető a rendszer tehát két paraméterrel: az egyik pont középponttól (ez lesz az origó) való r távolságával, ami kezdetben r_0=a/\sqrt{2}, valamint az origóból a pontba mutató vektor \phi szögelfordulásával.

Minden pillanatban a pontok sebességvektorának radiális és tangenciális komponense is \frac{v}{\sqrt2}, ami azt jelenti, hogy a következő differenciálegyenleteket írhatjuk fel a sebesség definíciója alapján: \frac{dr}{dt}=-\frac{v}{\sqrt2} valamint \frac{d\phi}{dt}=\frac{v}{\sqrt2\cdot r}. Az első egyenlet megoldása kezdeti feltétellel:

r=\frac{1}{\sqrt2}\cdot \left(a-vt\right).

Ebből leolvasható, hogy a pontok T=\frac{a}{v} idő mulva találkoznak, vagyis addig a utat tesznek meg.

Ha már eddig leírtam, akkor gyorsan a pályát is levezetem ebből:

A kapott sugár-idő függvényt behelyettesítve a szögre vonatkozó differenciálegyenletre a következőt kapjuk:

\frac{d\phi}{dt}=\frac{v}{a-vt}.

Integrálva az egyenletet, valamint figyelembe véve a kezdeti feltételt \phi= -\ln{\left(1-\frac{vt}{a}\right)}. Az időt kifejezve a pillanatnyi sugárral és behelyettesítve ide megkapjuk a pálya egyenletét:

\phi= -\ln{\left(\frac{\sqrt2\cdot r}{a}\right)}.

Kicsit szebb alakban:

r=\frac{a}{\sqrt2}\cdot e^{-\phi}.

Ez pedig egy logaritmikus spirál.

Előzmény: [2979] Lóczi Lajos, 2009-06-17 22:49:08
[2982] rizsesz2009-06-18 13:03:42

"Ha például azt akarjuk, hogy a kiválasztott teknős t=0-nál az (1;1) pontban legyen, akkor

lambda=1+i kell.

Miért?

Előzmény: [2970] Tibixe, 2009-06-16 22:23:33
[2981] HoA2009-06-18 11:07:29

S. Ákos megoldásának változata: [2973] ábrájáról megállapítjuk, hogy a burkológörbe pontjait a létra egymáshoz közeli helyzeteit képviselő egyenesek metszéspontjai közelítik. Tekinsük két ilyen közeli helyzet egyenesét a talajjal bezárt \phi szöggel paraméterezve

\frac{x}{cos\phi} + \frac{y}{sin\phi} = 1

és

\frac{x}{cos(\phi+\Delta\phi)} + \frac{y}{sin(\phi+\Delta\phi)} = 1

. Az egyenletrendszert x-re megoldva és a \Delta\phi->0 határátmenetet képezve azt kapjuk, hogy x=cos3\phi, amit az első egyenletbe visszahelyettesítve adódik, hogy y=sin3\phi . Ezekből a paramétert kiküszöbölve S. Ákos képletét kapjuk.

Előzmény: [2975] S.Ákos, 2009-06-17 14:47:38
[2980] HoA2009-06-18 09:53:57

Látszik. Érdemes megfigyelni , hogy [2961] ábráján hogyan változik az időközben teknőcökké előlépett pontok által alkotott négyzet oldalhossza, ha azok \Deltax -et lépnek egymás felé. Különösen hasznos ezt összevetni a [2972]-ben említett háromszöges változat esetével. Szabatos-e az ezekből levezetett eredmény a görbe hosszára azon az alapon, hogy mikorra csökken a futópontok által meghatározott négyzet/háromszög oldalhossza 0-ra?

Előzmény: [2979] Lóczi Lajos, 2009-06-17 22:49:08
[2979] Lóczi Lajos2009-06-17 22:49:08

Persze hogy érdekes:) Mennyi?

(Egyáltalán látszik közvetlenül az, hogy véges az út vagy az idő, amíg a teknőcök összeütköznek?)

Előzmény: [2978] jenei.attila, 2009-06-17 20:32:39
[2978] jenei.attila2009-06-17 20:32:39

érdekes kérdés, hogy mekkora utat tesznek meg a pontok, mire a középpontot elérik?

Előzmény: [2961] Lóczi Lajos, 2009-06-16 00:07:09
[2977] HoA2009-06-17 20:20:02

Egy "kapcsolódási pont": Az ábra szimmetrikus az y=x egyenesre, így a keresett függvény saját inverze. Ellenőrizhetjük Ákos megoldását:

y=(1-x2/3)3/2

y2/3=1-x2/3

x2/3=1-y2/3

x=(1-y2/3)3/2

A megoldás tehát akár jó is lehet :-)

Előzmény: [2976] Lóczi Lajos, 2009-06-17 15:33:27
[2976] Lóczi Lajos2009-06-17 15:33:27

(Persze az egységlétra esetén :)

A feladatot még többféleképp is meg lehet oldani, bizonyára látni fogunk több szép geometriai, illetve differenciálegyenletes kapcsolódási pontot.

Előzmény: [2975] S.Ákos, 2009-06-17 14:47:38
[2975] S.Ákos2009-06-17 14:47:38

Ha jól számoltam, akkor (1-x^{\frac23})^{\frac32}. Megoldásvázlat: Rögzített x0 esetén megkeressük azt az y értéket, amire a létra az x0 helyen maximális értéket vesz fel. Felírjuk a létra által az (a,0) pontban meghatározott egyenes egyenletét, ez f(a)=\sqrt{1-a^2}-\frac{\sqrt {1-a^2}}{a} x_0 (a\lex0). A derivált és második derivált vizsgálatából következik, hogy a=\root3\of{ x_0} esetén áll maximum. Ebből visszahelyettesítéssel a függvényre kapjuk, hogy (1-(x_0)^{\frac23})^{\frac32}.

Előzmény: [2973] Lóczi Lajos, 2009-06-17 12:16:38

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]