Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3012] m2mm2009-08-17 14:50:26

Én találtam egy (lehet hogy elemi[mi számít eleminek?], mindenesetre komplex számok nélküli) megoldást. Legyen a>0, tehát a többi megoldást keressük.

a2+1=b3, tehát a2=b3-1=(b-1)(b2+b+1)=(b-1)((b-1)2+3(b-1)+3). Tetszőleges 3-mal nem egyenlő p prímre, b-1=pkl alakba írható. a2=pk(p2kl3+3pkl2+3l) Ha k>0, akkor p2kl3+3pkl2+3l nem osztható p-vel, tehát k páros. Magyarán b-1=c2, vagy b-1=3c2. Előbbi esetben Q=(b-1)2+3(b-1)+3 négyzetszám, de ((b-1)+1)2<Q<((b-1)+2)2, tehát mégse az: b-1=3c2.Mivel a>0, ezért b>1, tehát c pozitív.

a2+1=(3c2+1)3=27c6+27c4+9c2+1, ebből e^2=(\frac{a}{3c})^2=3c^4+3c^2+1. (c2+1)2<e2<(2c2+1)2. Tehát e c2-tel való osztási maradéka 2,3,4,...,0 lehet(tehát csak 1 nem lehet), mindegyik 1 esetben. e2 c2-tel való osztási maradéka 1.

Tehát e=c2+f, e2=c4+2fc2+f2, e2\equivf2\equiv12 (modc2), tehát c2|(f-1)(f+1), magyarán f=1 vagy f=c2-1. f=1 nem lehet, tehát e=2c2-1. Tehát 3c4+3c2+1=(2c2-1)2=4c4-4c2+1, 7c2=c4, c>0 miatt 7=c2, tehát c nem egész. Tehát csak az (a,b)=(0,1) számpár megoldás.

Előzmény: [3011] Lóczi Lajos, 2009-08-17 13:54:34
[3011] Lóczi Lajos2009-08-17 13:54:34

Ez a típus a Mordell-egyenletek családjába tartozik, melyeknek véges sok egész megoldása van. A példádban valóban nincs más, csak az említett megoldás, de ennek igazolása nem megy "elemi" maradékosztályos vizsgálatokkal. Itt egy link, ahol többek között megtalálod a levezetést:

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/mordelleqn1.pdf

Előzmény: [3007] Higgs, 2009-08-15 21:40:05
[3010] m2mm2009-08-16 19:24:33

Én hirtelenjében csak annyira jutottam, hogyha a2+1=b3, akkor \frac{b-1}{3} négyzetszám. Ez lehet, hogy segít.

Előzmény: [3009] Higgs, 2009-08-16 16:02:20
[3009] Higgs2009-08-16 16:02:20

Igen, rosszul tettem fel! Az előbb említett eseten kívűl van-e más megoldás is, és ha nincs, akkor hogyan bizonyítható?

[3008] MTM2009-08-16 15:58:10

Igen: 02+1=13. Több megoldást nem találtam(de ez nem is volt kérdés).

Előzmény: [3007] Higgs, 2009-08-15 21:40:05
[3007] Higgs2009-08-15 21:40:05

Üdv!

Egy négyzetszám+1 lehet egyenlő egy köbszámmal?

[3006] leni5362009-08-12 21:43:45

A [2973]-as hozzászólás ebben a témában ugyanezt a problémát veti föl, ami ki is lett vesézve a későbbiekben. A görbe neve asztroid, ez a szócikk leír fontosabb dolgokat róla.

Előzmény: [3005] djuice, 2009-08-12 21:08:56
[3005] djuice2009-08-12 21:08:56

Sziasztok!

A következő feladatot adnám fejtörés gyanánt: Adottak A és B pontok melyek mozognak egy meghatározott síkban, A-B távolsága mindíg állandó. A pont vízszintesen mozog, B függőlegesen. Ha A-B pontok állandó távolságát pl egy rúddal szemléltetjük, a rúd mozgás során kapott gördülési íve milyen síkgörbével határozható meg? Továbbá ha ezt a rendszert pl egy lezáródó garázsajtóként értelmezzük (merthogy gyakorlati alkalmazásként onnan származik), egy adott H magasságú jármű milyen minimális M távolságra kell beparkoljon a garázsba, hogy a lezáródó ajtó ne ütközzön a tetejének? (nem túl bonyolult feladat, de érdekes paraméteres egyenletet lehet rá felírni) :)

[3004] Radián2009-08-05 18:12:59

Igen. Köszönöm a javítást nem vettem észre, hogy a lényeget kihagytam. Jól gondolom, hogy semmiféle a sorba fejtés nem visz előbbre?

Előzmény: [3001] m2mm, 2009-08-01 11:56:37
[3003] MTM2009-08-01 13:27:33

Ha van másik 10n+1 alakú prím, akkor annak a négyzete pal., de tudtommal nem ismert másik(és nincs is bizonyítva, hogy nincs több), magyarán ez a kérdés baromi nehéz.

Előzmény: [3000] Radián, 2009-07-22 19:17:50
[3002] MTM2009-08-01 13:21:25

Meg 25 20-as maradéka 12, tehát feltételezhetően a kitevő 20-as maradéka 1,2,3, vagy 16.

Előzmény: [3001] m2mm, 2009-08-01 11:56:37
[3001] m2mm2009-08-01 11:56:37

A kitevő 20-as maradéka 1,2,3 vagy 16? Mert ha a 2-hatványé, akkor az 1-et és a 3-at ki is lőhetjük(1 csak 20 esetén fordul elő, 3 meg soha).

Előzmény: [2999] Radián, 2009-07-22 19:13:37
[3000] Radián2009-07-22 19:17:50

Lehet, hogy kicsit elsietem, de nem lehet tudni mikorra lesz meg e probléma megoldása. Kapcsolódó kérdés:

Mely prímeknek van többjegyű palindrom hatványa?(7-nek,11-nek,101-nek van, de vajon rendelkezik e tulajdonsággal még valamelyik másik prím is?)

[2999] Radián2009-07-22 19:13:37

Csak addig jutottam, hogy 2 hatványai közül csak azok jöhetnek szóba melyek 20-szal való osztási maradéka 1,2,3 v. 16. Gondolom ez a tény semmire se jó de hátha valami csoda folytán valakinek segít:)

[2998] R.R King2009-07-19 21:11:32

Páros sok jegyből álló nincs, mert az ilyenek oszthatók 11-gyel.

Előzmény: [2997] MTM, 2009-07-19 16:18:36
[2997] MTM2009-07-19 16:18:36

Üdv!

Van-e 2-nek többjegyű palindromhatványa?

[2996] R.R King2009-06-26 11:03:05

Nem ismerem a roman módszert és azt sem értem, hogy mit jelent, hogy kompatibilisek az egyenletek:) Egyébként mi volt a kérdés, hiszen megoldottad a feladatot...

Előzmény: [2995] sanyi15ka, 2009-06-26 09:43:13
[2995] sanyi15ka2009-06-26 09:43:13

En mashogy oldottam meg, de igy is jo. En inkabb roman modszert hasznaltam, vagyis egy kis rendezessel felirtam 3 egyenlotlenseget es ezek altal bebizonyitottam h csak n=3-ra kompatibilisek az egyenletek es igy megkimeltem magam attol, hogy n=1-t, illetve n=2-t targyaljam.:)

Előzmény: [2994] R.R King, 2009-06-26 08:34:00
[2994] R.R King2009-06-26 08:34:00

egy pozitív szám és a reciprokának összege legalább 2, így a második egyenletből n legfeljebb 3 lehet.Ha n pl 3 akkor a második egyenlet csak X(i)=1 esetben teljesülhet.Ez teljesíti az első egyenletet is. Ebben az esetben tehát a kérdéses összeg 3. n=1, illetve n=2-tőt rád bízom:)

Előzmény: [2993] sanyi15ka, 2009-06-26 00:32:28
[2993] sanyi15ka2009-06-26 00:32:28

Udv! 10. vegen megkert minket a matektanarunk, hogy szerkesszunk 2 matek feladatot. Nekem ez lett az egyik. Az e-mail cimemre varom a megoldasokat. Ha lehet akkor a feladatom elemi matekkel legyen megoldva, mert csak jovore, 11-be, tanulok analizist meg felsobb dolgokat es azokat meg nem tudom.

[2992] S.Ákos2009-06-23 13:40:19

B.4185. minden n-re igaz.

Vázlat: tekintsük az (x-a)(xn-1+axn-1+...+an-1)=xn-an azonosságot, és P(x)=\sum_{i=0}^k a_i x^i=a_k\prod_{i=0}^k (x-u_i), ahol ui P(x) komplex gyöke. a=ui helyettesítéssel és ezek összeszorzásából kapjuk a Q(x)=\prod_{i=1}^k\sum_{j=0}^{n-1}{u_i}^j x^{n-1-j} polinomot. P(x) Q(x)=a_n\prod_{i=1}^k (x-u_i)\cdot\prod_{i=1}^k\sum_{j=0}^{n-1}{u_i}^j x^{n-1-j}=a_n\prod_{i=1}^k (x^n-u_i^n), így P(x)Q(x) jó.

Előzmény: [2991] m2mm, 2009-06-22 22:08:40
[2991] m2mm2009-06-22 22:08:40

Üdv!

Két idei KöMaL-feladat általánosítása:

Egy májusi feladat:

B. 4185. Mutassuk meg, hogy minden nemnulla polinomnak van olyan nemnulla polinomszorosa, amelyben minden tag kitevője osztható 3-mal.

Ez a (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=a3+b3+c3-3abc azonossággal könnyen kezelhető.

A kérdés: Mely n-ekre igaz az, hogy minden nemnulla polinomnak van olyan nemnulla polinomszorosa, amelyben minden tag kitevője osztható n-nel?

Egy márciusi feladat:

B. 4167. Egy n pozitív egészre jelölje f(n) az n tízes számrendszerbeli alakjának a megfordításával kapható számot. (Tehát f(2500)=52, f(1456)=6541.) Keressük meg azokat a pozitív egész k számokat, amelyekre teljesül, hogy tetszőleges n többszörösükre k az f(n) számnak is osztója.

A kérdés: Mik a keresendő k számok r alapú számrendszerben? (esélyesnek tartom r2-1 osztóit, de nem tudtam bizonyítani)

[2990] kiskiváncsi2009-06-22 20:26:18

Ez egy három pofás (pont, teknős, stb.) eszterga tokmány belseje. (Van 4 és 6 pofás is.)

Előzmény: [2989] Lóczi Lajos, 2009-06-22 13:05:48
[2989] Lóczi Lajos2009-06-22 13:05:48

Mi ez? :-)

Előzmény: [2988] kiskiváncsi, 2009-06-22 12:01:18
[2988] kiskiváncsi2009-06-22 12:01:18

Ahogy a matematikus kiszámolta- ahogy a mérnökök megtervezték.....

Előzmény: [2984] jonas, 2009-06-18 14:19:05

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]