Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3049] HoA2009-10-30 13:24:23

Ez ugyanaz a konstrukció, amit [3036]-ban jeleztem. x0=1 választással y0=f(1) és y = y_0 \cdot {\left( \frac{x}{x_0}\right) }^{log_3 2} = f(1) \cdot x^{log_3 2} . Legyen x=3u .   x^{log_3 2} = \left(3^u \right)^ {log_3 2} = \left( 3^{log_3 2}\right)^u = 2^u  = 2^{log_3\left(3^u\right)} = 2^{log_3 x} .

Éppen Lóczi Lajos [3038] után gondolkodtam el azon, miért ne lehetne másmilyen is a függvény? Elég, ha egy [x0;3x0] tartományon úgy definiálom a folytonos f-et, hogy a feltétel teljesüljön, valamint f’(3x0)=2/3f’(x0) legyen. Ezzel a szabály alapján rekurzív módon megadtam a [3x0;9x0]...[3kx0;3k+1x0] illetve [3-k-1x0;3-k] tartományokra is. Szerintem az ilyen függvények megfelelnek a [3044]-ben leírtaknak, és így ott nem adtuk meg az összes ilyen függvényt. Miért nem jó például f(x) = x + 1 - \frac{x}{7 \pi} sin ((x-1) \pi) és az ebből a fentiek valamint x < 0-ra [3044] szerint származtatott függvény? Erre

f(1)=1;f(3)=2;f’(1)=6/7ésf’(3)=4/7

(ha jól számoltam. )

Előzmény: [3048] jenei.attila, 2009-10-30 11:05:45
[3048] jenei.attila2009-10-30 11:05:45

És ekkor

f(x)=f(1)*2log3x, ha x>0

f(x)=f(-1)*2log3(-x), ha x<0

és f(0)=0

Előzmény: [3047] jenei.attila, 2009-10-30 11:00:04
[3047] jenei.attila2009-10-30 11:00:04

Pontosabban f(1)-et és f(-1)-et különböző előjelűnek definiáljuk.

Előzmény: [3046] jenei.attila, 2009-10-30 10:59:01
[3046] jenei.attila2009-10-30 10:59:01

Igazából a 0-án való "sima áthaladáshoz" nem kell, hogy f(-x)=-f(x) legyen. Elég, ha f(-1)-et negatívnak definiáljuk.

Előzmény: [3044] jenei.attila, 2009-10-30 09:43:05
[3045] HoA2009-10-30 09:48:21

Azért írtam, hogy próbáltam, mert nem sikerült. Nem kell így lennie ( [3038] ) . Azt viszont úgy látom, hogy például valamilyen x0>0,y0=f(x0)>0 választással a függvény x>=0-ra megfelel a feltételeknek , és így igaz rá, amit jenei.attila [3039] -ben ír. Tévedek?

Előzmény: [3042] Lóczi Lajos, 2009-10-29 23:04:25
[3044] jenei.attila2009-10-30 09:43:05

Az f(3nx)=2nf(x) (n egész szám) képletből következik, hogy ha log3x egész, akkor f(x)=2log3xf(1) Ahhoz, hogy ez a fv. folytonos legyen a pozitív valós számokon, az kell, hogy a log3x is ilyen legyen. De a logaritmus szokásos értelmezése (az exponenciális fv. folytonosságot szem előtt tartó értelmezéséből adódóan) már ilyen. Tehát a pozitív valós számokon megadjuk az összes, kiírt feltételeknek megfelelő fv.-t, ha f(1)-et tetszőlegesen megadjuk. f(0)=0 kell hogy teljesüljön, és legyen f(-x)=-f(x), amivel negatív valós számokra is értelmezzük a fv.-t Így a valós számokon értelmezett, folytonos, a 0 kivételével deriválható fv.-t kapunk, ami a 0-ban ugyan nem deriválható, de "simán" halad át 0-án (nincs benne "törés", az érintő nem "billeg", de függőleges). Így meg is adtuk az összes ilyen fv.-t.

Előzmény: [3033] Lóczi Lajos, 2009-10-29 10:47:02
[3043] nadorp2009-10-30 07:55:04

Gratulálok, szép megoldás. A félreértés oka az volt, hogy azt hittem, f'(a) helyett írtál f(a)-t és nem gondoltam arra, hogy a nevezőből maradt le az "a".

Előzmény: [3039] jenei.attila, 2009-10-29 16:56:12
[3042] Lóczi Lajos2009-10-29 23:04:25

Ez a függvény valósban csak a nemnegatív számokon értelmezett. (Miért lenne baj a 0-ban a deriválással?)

Előzmény: [3036] HoA, 2009-10-29 14:54:54
[3041] Lóczi Lajos2009-10-29 23:00:22

Amiből az jönne ki, hogy 3=2.

Előzmény: [3040] rizsesz, 2009-10-29 20:46:03
[3040] rizsesz2009-10-29 20:46:03

f(x)=lg2/lg3 * x (csaltam, a hányados éppen 3-as alapú logaritmus 2 ugye, de elfelejtettem az alapokat is TeX-ben... :()

Előzmény: [3033] Lóczi Lajos, 2009-10-29 10:47:02
[3039] jenei.attila2009-10-29 16:56:12

Húha, most meg én nem értem amit te írtál, de majd még gondolkodok rajta. Hogy f(0)=0, és f(3nx)=2nf(x), az teljes indukcióval nyilvánvaló (negatív n-ekre is). Képezzük a a,\frac{1}{3}a,\frac{1}{9}a,...,\frac{1}{3^k}a,... 0-hoz tartó sorozatot. Az itt felvett függvényértékek a képletünk szerint: f(a),\frac{1}{2}f(a),\frac{1}{4}f(a),...,\frac{1}{2^k}f(a),.... Ha f 0-ban deriválható, akkor 0-ban, ezekkel a pontokkal képzett különbségi hányados értékek (mivel f(0)=0):

\frac{f(a)}{a},\frac{\frac{1}{2}f(a)}{\frac{1}{3}a},\frac{\frac{1}{4}f(a)}{\frac{1}{9}a},...,\frac{\frac{1}{2^k}f(a)}{\frac{1}{3^k}a},...

véges határértékhez kell, hogy tartsanak. Ez azonban csak akkor lehetséges, ha f(a)=0. Az előző hozzászólásban valóban elírtam, lemaradt a nevezőből az a. De a lényeg ugyanaz.

Előzmény: [3037] nadorp, 2009-10-29 15:24:20
[3038] Lóczi Lajos2009-10-29 16:53:41

Ezt meg tudnád indokolni egy kicsit, hogy miért kell így lennie?

Előzmény: [3036] HoA, 2009-10-29 14:54:54
[3037] nadorp2009-10-29 15:24:20

Valamit nem értek vagy nem látok, de szerintem csak azt tudjuk, hogy tetszőleges a-ra

f^{'}(\frac a{3^k})=\left(\frac32\right)^kf^{'}(a) teljesül. Amit Te írtál, ott a jobb oldalon f(a) áll és nem a deriváltja. Hogy jött ez Neked ki ?

Másrészt az f-ről csak azt tudjuk, hogy deriválható és nem biztos, hogy folytonosan deriválható. Miért teljesül

f^{'}(0)=\lim_{k\to\infty} f^{'}(\frac a{3^k})

Előzmény: [3035] jenei.attila, 2009-10-29 14:43:51
[3036] HoA2009-10-29 14:54:54

Én arról az oldalról próbáltam, hogy egészről valósra áttérve igazoljuk, hogy a függvény csak

y = y_0 \cdot {\left( \frac{x}{x_0}\right) }^{log_3 2}

alakú lehet, ahonnan már következik, hogy a 0 -beli deriválhatósággal van a baj.

Előzmény: [3035] jenei.attila, 2009-10-29 14:43:51
[3035] jenei.attila2009-10-29 14:43:51

Szerintem is csak f(x)=0 megoldás. Nyilván igaz, hogy f(0)=0, és f(3nx)=2nf(x) minden n egészre. Ha f deriválható 0-ban, akkor egy tetszőleges a valós számot kiválasztva f'(0)=lim (\frac{3}{2})^k f(a), ahol k tart végtelenbe. De ez a határérték végtelenbe (vagy - végtelenbe) tart, ha f(a)\ne0, vagyis f csak akkor deriválható 0-ban, ha f(a)=0 minden a valós számra.

Előzmény: [3033] Lóczi Lajos, 2009-10-29 10:47:02
[3034] nadorp2009-10-29 14:11:01

Egy hónappal lemaradtam, de találtam egy szinte számolás nélküli megoldást.

yn+1=(1+x)yn+nx2

yn+1+nx=(1+x)(yn+nx)

yn+1+(n+1)x=(1+x)(yn+nx)+x

yn+1+(n+1)x+1=(1+x)(yn+nx+1)

Most már csak fel kell írni a fenti utolsó összefüggést az n=0,1,...,n-1 értékekre és összeszorozni őket. Kapjuk:

yn+nx+1=(1+x)n(y0+0.x+1)=2(1+x)n

yn=2(1+x)n-nx-1

Más:

Lóczi Lajos utolsó példájára szerintem csak az f(x)=0 a megoldás.

Előzmény: [3028] jonas, 2009-09-27 20:46:48
[3033] Lóczi Lajos2009-10-29 10:47:02

Legyen f olyan valós függvény, amelyik mindenhol értelmezve van és mindenhol deriválható. Tudjuk továbbá, hogy minden valós x esetén f(3x)=2f(x).

Adjuk meg az összes ilyen tulajdonságú f leképezést.

[3032] djuice2009-10-27 13:25:56

Az angol wiki is foglalkozik vele: http://tinyurl.com/yhhtvkh

[3031] djuice2009-09-28 19:14:04

NEM SEMMI! Hát le a kalappal, komolyan! Én már nem is merek többet itt kérdezni. :) Egy volt KGB-s se nyomozta volna ki tüzetesebben! :)))

Mindenesetre lelombozó a tény ami a példát illeti, elvesztette minden varázsát.

Előzmény: [3030] Borsos, 2009-09-28 05:55:23
[3030] Borsos2009-09-28 05:55:23

Helló,

Pont erről van szó, amire jonas barátunk is rátappintott. Kis kutakodás után: epa.oszk.hu/00200/00220/00053/pdf/00053.pdf 18-23. oldal

Előzmény: [3027] djuice, 2009-09-27 19:25:51
[3029] jonas2009-09-27 20:48:37

„Nem valószínűsíthető hogy hibás lenne, hiszen akkor minek őrizték volna 100 meg 100 éveken át a könyvtárban.”

Kivéve persze, ha csak egy nemrégi átírás vagy fordítás lenne a hibás.

Előzmény: [3027] djuice, 2009-09-27 19:25:51
[3028] jonas2009-09-27 20:46:48

Én is ilyesmit próbáltam. A különbség az, hogy még kifejtés előtt a rekurziót szétszedtem két részre:

p0=1;pn+1=(1+x)pn

q0=0;qn+1=(1+x)qn+nx2

Ekkor könnyen belátható, hogy

xn=pn+qn

Mármost az első rekurziót triviális feloldani, a másodikat pedig ki kell fejteni, így két olyan összeget kaptam, aminek már ismert a kiszámítási módja, és nekem is végig kéne tudnom számolni, de elrontottam, és nem volt türelmem másodszor is nekiállni.

Előzmény: [3026] Euler, 2009-09-27 13:49:07
[3027] djuice2009-09-27 19:25:51

Szia Borsos,

Nem valószínűsíthető hogy hibás lenne, hiszen akkor minek őrizték volna 100 meg 100 éveken át a könyvtárban. Erre cáfol az egyetemenünkön egy tanár állítása is, miszerint elképzelhető hogy a feladatot (megírása korában) fejben meg lehetett oldani, nem ám hogy ámítógép meg ezmegaz! :)

Nyilván akkoriban sokkal többen használták a koponyájukat fejszámolásra, mint ma, a kalkulátorok korában. Pl. Bolyai is remekül tudott akkoriban fejben gyököt vonni és 4-5 jegyű számokat összeszorozni, osztani. (mellesleg aki itt közülünk tud ilyet és megosztaná a módszerét, szívesen meghallgatnám, ui állítólag a szorobán oktatás lényege is ez lett volna, hogy vizuálisan tudjon az ember számolni, ne az ujján...)

Szóval a feladatba nekem is beletört minden próbálkozásnál a bicskám, hiába kezdtem az amúgy értelmezni se egyszerű feladatból kifejezni az ismeretleneket... A lényeg hogy lehet több megoldása is, mert a végén a leírás leszűkíti ezeket "négyzet alakba sorakozva", vagyis egész szám aminek gyöke is egész, ill. "3-szögű rend" a csoportosításnál valamilyen egészekből álló sorozatot takar. Ennyire sikerült segítség nélkül rájönnöm. A sorozat elvileg lehet szimmetrikus és asszimmetrikus is, pl így:

Előzmény: [3025] Borsos, 2009-09-26 18:58:55
[3026] Euler2009-09-27 13:49:07

A helyes válasz: y(n)=2(1+x) az n-ediken-1-nx. A megoldásom menete: feloldottam a rekurziót, ekkor megkaptam y(n)-t, aztán összegeztem egy csomó mértani sorozatot. Ha valakinek van egyszerűbb, kérem irja fel a fórumra.

Előzmény: [3022] Lóczi Lajos, 2009-09-25 23:53:41
[3025] Borsos2009-09-26 18:58:55

Helló,

Megoldás közben ellentmondásra találtam. Lehetséges, hogy hibás a feladat szövege?

Előzmény: [3016] djuice, 2009-08-25 03:20:34

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]