Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3062] bily712009-11-27 22:17:07

Kösz, megint tanultam valamit :)

Előzmény: [3060] m2mm, 2009-11-27 22:07:06
[3061] m2mm2009-11-27 22:12:38

Valóban. Ha k és l relatív prímek, akkor már igaz lesz az állítás?

Előzmény: [3055] BohnerGéza, 2009-11-27 21:16:30
[3060] m2mm2009-11-27 22:07:06

Miért lenne 2x2=y2-1 egyenlet összes megoldása x=\pm2, y=\pm3?

2x2+1=y2-re megoldás az x0=0, x1=2, xn=6xn-1-xn-2 sorozat, ami szig.mon. nő, ergo végtelen sok megoldás van[a következő néhány (x,y) pár a sorozatban (12,17), (70,99), (408,577)].

Előzmény: [3056] bily71, 2009-11-27 21:20:12
[3059] bily712009-11-27 21:50:28

Bocs, elnéztem, a jobb oldal összeg, nem különbség. Hirtelen azt hittem, hogy a második egyenlet egy zárt görbe egyenlete, ami csak véges sok rácsponton haladhat át, de ez egy nyílt görbe egyenlete.

De mivel van ellenpélda, így a válasz: nem igaz.

Előzmény: [3056] bily71, 2009-11-27 21:20:12
[3058] RRichi2009-11-27 21:45:31

Feladat: Ismert n db prímszám, melyeket összeszorozzuk, az eredményhez hozzáadunk egyet, és az így kapott a számnak vesszük a legkisebb 1-től különböző osztóját, ami biztosan prímszám lesz. Ezt hozzávesszük az ismert prímekhez, és újrakezdjük az algoritmust. Kérdés, hogy bármely kiindulóprímek esetén megkapható e az összes létező prímszám ezzel a módszerrel?

[3057] bily712009-11-27 21:28:33

Lehet, hogy megint valami butaságot írtam?

Előzmény: [3056] bily71, 2009-11-27 21:20:12
[3056] bily712009-11-27 21:20:12

Legyen k=2, tehát nem négyzetszám és l=1, ekkor

2x=y2-1.

Az egyik lehetséges megoldás: x=4, y=3, azaz

2.4=32-1.

A kx2+l=y2, azaz behelyettesítve, átrendezve, az

2x2=y2-1

egyenlet összes megoldása: x=\pm2, y=\pm3, tehát nem igaz.

A második egyenlet átrendezve:

y=\sqrt{kx^2+l},

az

f(x)=\sqrt{kx^2+l}

függvénynek véges sok zérushelye van, (0, 1 vagy 2 db.), tehát semmilyen k,l értékek esetén sem lehet végtelen sok megoldás.

Előzmény: [3054] m2mm, 2009-11-27 18:44:02
[3055] BohnerGéza2009-11-27 21:16:30

k=3, l=3 esetén ugyanazok a megoldások, mint az előző hozzászólásomban.

Előzmény: [3054] m2mm, 2009-11-27 18:44:02
[3054] m2mm2009-11-27 18:44:02

Ja, persze: elfelejtettem beleírni, hogy k nem négyzetszám.

Előzmény: [3053] BohnerGéza, 2009-11-27 18:32:11
[3053] BohnerGéza2009-11-27 18:32:11

Nem.

x+8=yy (k=1, l=8) egyenletnek van megoldása: (1,3).

Az xx+8=yy egyenletnek csak 4 mo-sa van: (1,3), (1,-3), (-1,3), (-1,-3)

Előzmény: [3052] m2mm, 2009-11-27 14:42:14
[3052] m2mm2009-11-27 14:42:14

Igaz-e, hogy ha az egész számpárok halmazán van megoldása a kx+l=y2 egyenletnek(k,l adott), akkor végtelen sok megoldása van a kx2+l=y2 egyenletnek?

[3051] Lóczi Lajos2009-10-31 00:19:34

Az irodalomban egyébként ezt hívják a "fundamentális tartományok" módszerének.

Előzmény: [3050] jenei.attila, 2009-10-30 23:45:00
[3050] jenei.attila2009-10-30 23:45:00

Valóban ugyanaz a konstrukció. Tényleg nem adtam meg az összes fv.-t, és ahogy javasoltad úgy jó fv.-ek konstruálhatók. Elég megadni pl. az [1,3] intervallumon akármilyen deriválható fv.-t, amelyre f(3)=2f(1), és 3-ban a balodali derivált értéke az 1-beli jobboldali derivált értékének 2/3-szorosa. A többi a már általad leírt módon mehet tovább. Ilyen módon valóban az összes megfelelő fv.-t megadjuk (a 0-beli deriválhatóság természetesen nem teljesíthető).

Előzmény: [3049] HoA, 2009-10-30 13:24:23
[3049] HoA2009-10-30 13:24:23

Ez ugyanaz a konstrukció, amit [3036]-ban jeleztem. x0=1 választással y0=f(1) és y = y_0 \cdot {\left( \frac{x}{x_0}\right) }^{log_3 2} = f(1) \cdot x^{log_3 2} . Legyen x=3u .   x^{log_3 2} = \left(3^u \right)^ {log_3 2} = \left( 3^{log_3 2}\right)^u = 2^u  = 2^{log_3\left(3^u\right)} = 2^{log_3 x} .

Éppen Lóczi Lajos [3038] után gondolkodtam el azon, miért ne lehetne másmilyen is a függvény? Elég, ha egy [x0;3x0] tartományon úgy definiálom a folytonos f-et, hogy a feltétel teljesüljön, valamint f’(3x0)=2/3f’(x0) legyen. Ezzel a szabály alapján rekurzív módon megadtam a [3x0;9x0]...[3kx0;3k+1x0] illetve [3-k-1x0;3-k] tartományokra is. Szerintem az ilyen függvények megfelelnek a [3044]-ben leírtaknak, és így ott nem adtuk meg az összes ilyen függvényt. Miért nem jó például f(x) = x + 1 - \frac{x}{7 \pi} sin ((x-1) \pi) és az ebből a fentiek valamint x < 0-ra [3044] szerint származtatott függvény? Erre

f(1)=1;f(3)=2;f’(1)=6/7ésf’(3)=4/7

(ha jól számoltam. )

Előzmény: [3048] jenei.attila, 2009-10-30 11:05:45
[3048] jenei.attila2009-10-30 11:05:45

És ekkor

f(x)=f(1)*2log3x, ha x>0

f(x)=f(-1)*2log3(-x), ha x<0

és f(0)=0

Előzmény: [3047] jenei.attila, 2009-10-30 11:00:04
[3047] jenei.attila2009-10-30 11:00:04

Pontosabban f(1)-et és f(-1)-et különböző előjelűnek definiáljuk.

Előzmény: [3046] jenei.attila, 2009-10-30 10:59:01
[3046] jenei.attila2009-10-30 10:59:01

Igazából a 0-án való "sima áthaladáshoz" nem kell, hogy f(-x)=-f(x) legyen. Elég, ha f(-1)-et negatívnak definiáljuk.

Előzmény: [3044] jenei.attila, 2009-10-30 09:43:05
[3045] HoA2009-10-30 09:48:21

Azért írtam, hogy próbáltam, mert nem sikerült. Nem kell így lennie ( [3038] ) . Azt viszont úgy látom, hogy például valamilyen x0>0,y0=f(x0)>0 választással a függvény x>=0-ra megfelel a feltételeknek , és így igaz rá, amit jenei.attila [3039] -ben ír. Tévedek?

Előzmény: [3042] Lóczi Lajos, 2009-10-29 23:04:25
[3044] jenei.attila2009-10-30 09:43:05

Az f(3nx)=2nf(x) (n egész szám) képletből következik, hogy ha log3x egész, akkor f(x)=2log3xf(1) Ahhoz, hogy ez a fv. folytonos legyen a pozitív valós számokon, az kell, hogy a log3x is ilyen legyen. De a logaritmus szokásos értelmezése (az exponenciális fv. folytonosságot szem előtt tartó értelmezéséből adódóan) már ilyen. Tehát a pozitív valós számokon megadjuk az összes, kiírt feltételeknek megfelelő fv.-t, ha f(1)-et tetszőlegesen megadjuk. f(0)=0 kell hogy teljesüljön, és legyen f(-x)=-f(x), amivel negatív valós számokra is értelmezzük a fv.-t Így a valós számokon értelmezett, folytonos, a 0 kivételével deriválható fv.-t kapunk, ami a 0-ban ugyan nem deriválható, de "simán" halad át 0-án (nincs benne "törés", az érintő nem "billeg", de függőleges). Így meg is adtuk az összes ilyen fv.-t.

Előzmény: [3033] Lóczi Lajos, 2009-10-29 10:47:02
[3043] nadorp2009-10-30 07:55:04

Gratulálok, szép megoldás. A félreértés oka az volt, hogy azt hittem, f'(a) helyett írtál f(a)-t és nem gondoltam arra, hogy a nevezőből maradt le az "a".

Előzmény: [3039] jenei.attila, 2009-10-29 16:56:12
[3042] Lóczi Lajos2009-10-29 23:04:25

Ez a függvény valósban csak a nemnegatív számokon értelmezett. (Miért lenne baj a 0-ban a deriválással?)

Előzmény: [3036] HoA, 2009-10-29 14:54:54
[3041] Lóczi Lajos2009-10-29 23:00:22

Amiből az jönne ki, hogy 3=2.

Előzmény: [3040] rizsesz, 2009-10-29 20:46:03
[3040] rizsesz2009-10-29 20:46:03

f(x)=lg2/lg3 * x (csaltam, a hányados éppen 3-as alapú logaritmus 2 ugye, de elfelejtettem az alapokat is TeX-ben... :()

Előzmény: [3033] Lóczi Lajos, 2009-10-29 10:47:02
[3039] jenei.attila2009-10-29 16:56:12

Húha, most meg én nem értem amit te írtál, de majd még gondolkodok rajta. Hogy f(0)=0, és f(3nx)=2nf(x), az teljes indukcióval nyilvánvaló (negatív n-ekre is). Képezzük a a,\frac{1}{3}a,\frac{1}{9}a,...,\frac{1}{3^k}a,... 0-hoz tartó sorozatot. Az itt felvett függvényértékek a képletünk szerint: f(a),\frac{1}{2}f(a),\frac{1}{4}f(a),...,\frac{1}{2^k}f(a),.... Ha f 0-ban deriválható, akkor 0-ban, ezekkel a pontokkal képzett különbségi hányados értékek (mivel f(0)=0):

\frac{f(a)}{a},\frac{\frac{1}{2}f(a)}{\frac{1}{3}a},\frac{\frac{1}{4}f(a)}{\frac{1}{9}a},...,\frac{\frac{1}{2^k}f(a)}{\frac{1}{3^k}a},...

véges határértékhez kell, hogy tartsanak. Ez azonban csak akkor lehetséges, ha f(a)=0. Az előző hozzászólásban valóban elírtam, lemaradt a nevezőből az a. De a lényeg ugyanaz.

Előzmény: [3037] nadorp, 2009-10-29 15:24:20
[3038] Lóczi Lajos2009-10-29 16:53:41

Ezt meg tudnád indokolni egy kicsit, hogy miért kell így lennie?

Előzmény: [3036] HoA, 2009-10-29 14:54:54

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]