Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3076] R.R King2009-11-29 18:37:31

Üdv. Hatványozás, mint rövidített szorzás nem használható? 1 a köbön*4*6, de így túl egyszerű...

Előzmény: [3074] Janosov Milán, 2009-11-29 17:27:54
[3075] bily712009-11-29 18:21:36

Adott az ABCD négyzet. Osszuk fel az AB és a BC oldalakat n egyenlő részre. Kössük össze az A csúcsot a BC oldal B-hez közelebbi első osztópontjával, azután az AB oldal A-hoz közelebbi első osztópontját a BC oldal B-hez közelebbi második osztópontjával, sít., végül az AB oldal B-hez közelebbi első osztópontját fogjuk összekötni a C csúccsal. A kapott szakaszok egy görbét érintenek, ami az E pontban metszi a BD átlót. Milyen arányban osztja az E pont az átlót, ha n-et minden határon túl növeljük?

[3074] Janosov Milán2009-11-29 17:27:54

Hahó!

Egy szerintem érdekes (de nem annyira nehéz feladat):

Írjuk fel a 24-et az 1, 3, 4 és 6 számok és az alapműveletek segítségével úgy, hogy mindegyik számot pontosan egyszer kell felhasználni, zárójelet használhatunk, de a számokat közvetlenül egymás mellé írva többjegyű számokat alkotni nem szabad.

(A feladat egy BME-s felvételivel kapcsolatos újságjából való)

[3073] bily712009-11-29 14:15:51

[3067]-ben kiegészítettem a feladatot a következő mondattal:

"Azt kell megmutatni, hogy bármely m prímre..."

Előzmény: [3071] Sirpi, 2009-11-29 12:43:29
[3072] SAMBUCA2009-11-29 12:48:18

Pell-egyenletek

[3071] Sirpi2009-11-29 12:43:29

Azt honnan kellett volna tudnunk, hogy m prím?

Előzmény: [3070] bily71, 2009-11-29 10:07:49
[3070] bily712009-11-29 10:07:49

Nem fokozom, csak leírom a választ.

am+bm=cm, mivel c>a, létezik n egész, hogy c=a+n. Fermat tételéből következik, mivel m prím, hogy

cm\equivc\equiv(a+n)m\equiva+n(mod m)

, továbbá

am\equiva(mod m)

bm\equivb(mod m)

, ebből

am+bm\equiva+b\equiva+n(mod m)

b\equivn(mod m)

, tehát

b=n+xm

, ahol x nemnegatív egész.

Előzmény: [3067] bily71, 2009-11-28 16:05:53
[3068] Radián2009-11-28 21:25:36

Azt "mutattam" meg.

Előzmény: [3067] bily71, 2009-11-28 16:05:53
[3067] bily712009-11-28 16:05:53

Azt kell megmutatni, hogy bármely m prímre "igaz", persze tudjuk, hogy ha m>2, akkor nem lesz megoldás.

Előzmény: [3065] Radián, 2009-11-27 23:25:47
[3065] Radián2009-11-27 23:25:47

Szia Bily!

Az állítás igaz. (hisz 2. egyenlőségbe behelyettesítve b=n+mx, c=a+n kapjuk az 1-et)

Előzmény: [3063] bily71, 2009-11-27 22:41:08
[3064] bily712009-11-27 22:46:28

Bocs, a<b nem feltétel, csak a<c és b<c.

Előzmény: [3063] bily71, 2009-11-27 22:41:08
[3063] bily712009-11-27 22:41:08

Igaz-e, hogy ha teljesül az am+bm=cm egyenlőség, akkor teljesül az am+(n+mx)m=(a+n)m egyenlőség is, ahol b=n+mx, c=a+n?

(a<b<c és a,b,c,n,m,x nemnegatív egészek.)

[3062] bily712009-11-27 22:17:07

Kösz, megint tanultam valamit :)

Előzmény: [3060] m2mm, 2009-11-27 22:07:06
[3061] m2mm2009-11-27 22:12:38

Valóban. Ha k és l relatív prímek, akkor már igaz lesz az állítás?

Előzmény: [3055] BohnerGéza, 2009-11-27 21:16:30
[3060] m2mm2009-11-27 22:07:06

Miért lenne 2x2=y2-1 egyenlet összes megoldása x=\pm2, y=\pm3?

2x2+1=y2-re megoldás az x0=0, x1=2, xn=6xn-1-xn-2 sorozat, ami szig.mon. nő, ergo végtelen sok megoldás van[a következő néhány (x,y) pár a sorozatban (12,17), (70,99), (408,577)].

Előzmény: [3056] bily71, 2009-11-27 21:20:12
[3059] bily712009-11-27 21:50:28

Bocs, elnéztem, a jobb oldal összeg, nem különbség. Hirtelen azt hittem, hogy a második egyenlet egy zárt görbe egyenlete, ami csak véges sok rácsponton haladhat át, de ez egy nyílt görbe egyenlete.

De mivel van ellenpélda, így a válasz: nem igaz.

Előzmény: [3056] bily71, 2009-11-27 21:20:12
[3058] RRichi2009-11-27 21:45:31

Feladat: Ismert n db prímszám, melyeket összeszorozzuk, az eredményhez hozzáadunk egyet, és az így kapott a számnak vesszük a legkisebb 1-től különböző osztóját, ami biztosan prímszám lesz. Ezt hozzávesszük az ismert prímekhez, és újrakezdjük az algoritmust. Kérdés, hogy bármely kiindulóprímek esetén megkapható e az összes létező prímszám ezzel a módszerrel?

[3057] bily712009-11-27 21:28:33

Lehet, hogy megint valami butaságot írtam?

Előzmény: [3056] bily71, 2009-11-27 21:20:12
[3056] bily712009-11-27 21:20:12

Legyen k=2, tehát nem négyzetszám és l=1, ekkor

2x=y2-1.

Az egyik lehetséges megoldás: x=4, y=3, azaz

2.4=32-1.

A kx2+l=y2, azaz behelyettesítve, átrendezve, az

2x2=y2-1

egyenlet összes megoldása: x=\pm2, y=\pm3, tehát nem igaz.

A második egyenlet átrendezve:

y=\sqrt{kx^2+l},

az

f(x)=\sqrt{kx^2+l}

függvénynek véges sok zérushelye van, (0, 1 vagy 2 db.), tehát semmilyen k,l értékek esetén sem lehet végtelen sok megoldás.

Előzmény: [3054] m2mm, 2009-11-27 18:44:02
[3055] BohnerGéza2009-11-27 21:16:30

k=3, l=3 esetén ugyanazok a megoldások, mint az előző hozzászólásomban.

Előzmény: [3054] m2mm, 2009-11-27 18:44:02
[3054] m2mm2009-11-27 18:44:02

Ja, persze: elfelejtettem beleírni, hogy k nem négyzetszám.

Előzmény: [3053] BohnerGéza, 2009-11-27 18:32:11
[3053] BohnerGéza2009-11-27 18:32:11

Nem.

x+8=yy (k=1, l=8) egyenletnek van megoldása: (1,3).

Az xx+8=yy egyenletnek csak 4 mo-sa van: (1,3), (1,-3), (-1,3), (-1,-3)

Előzmény: [3052] m2mm, 2009-11-27 14:42:14
[3052] m2mm2009-11-27 14:42:14

Igaz-e, hogy ha az egész számpárok halmazán van megoldása a kx+l=y2 egyenletnek(k,l adott), akkor végtelen sok megoldása van a kx2+l=y2 egyenletnek?

[3051] Lóczi Lajos2009-10-31 00:19:34

Az irodalomban egyébként ezt hívják a "fundamentális tartományok" módszerének.

Előzmény: [3050] jenei.attila, 2009-10-30 23:45:00
[3050] jenei.attila2009-10-30 23:45:00

Valóban ugyanaz a konstrukció. Tényleg nem adtam meg az összes fv.-t, és ahogy javasoltad úgy jó fv.-ek konstruálhatók. Elég megadni pl. az [1,3] intervallumon akármilyen deriválható fv.-t, amelyre f(3)=2f(1), és 3-ban a balodali derivált értéke az 1-beli jobboldali derivált értékének 2/3-szorosa. A többi a már általad leírt módon mehet tovább. Ilyen módon valóban az összes megfelelő fv.-t megadjuk (a 0-beli deriválhatóság természetesen nem teljesíthető).

Előzmény: [3049] HoA, 2009-10-30 13:24:23

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]