Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3141] Lóczi Lajos2009-12-29 23:39:34

Hármas ciklusra is van példa bőven: az első százezer pozitív egészt, mint kezdőértéket addig iterálva, amíg a C függvény ciklusba nem kerül, azt tapasztaljuk, hogy a 100000 kezdőérték közül 11467 db végződik előbb-utóbb fixpontban, 65638 db 2-es ciklusban, 22895 db pedig 3-as ciklusban.

A legkisebb kezdőérték, amelyből 3-as ciklusban végződik a rekurzió, az n=50.

Az tehát ebből a sejtés, hogy a 4-es és magasabb elemszámú ciklusok elég ritkák (ha egyáltalán vannak??).

Előzmény: [3117] Lóczi Lajos, 2009-12-20 00:57:06
[3140] Cogito2009-12-29 16:23:34

A negyedik kérdésre adott "ellenpéldám" nem volt jó, mert ekkor A nem véges. Ez a kérdés tehát még megválaszolatlan.

Jenei Attila felvetésére később térek vissza.

Előzmény: [3138] Cogito, 2009-12-29 13:18:17
[3139] jenei.attila2009-12-29 15:37:00

Hát ez azért így meredek. Szerinted, ha jól értem, lim f=lim f+f', ha f deriválható és x végtelenhez tart. Ezt nem hinném. A számlálóban egyáltalán nem biztos, hogy ex*f(x) végtelenhez tart (pl. f=sin, vagy f 0-hoz tart, akkor bármi lehet a határérték).

Előzmény: [3138] Cogito, 2009-12-29 13:18:17
[3138] Cogito2009-12-29 13:18:17
Előzmény: [3129] Lóczi Lajos, 2009-12-27 13:40:08
[3137] jonas2009-12-28 11:51:19

Igaz, ez tényleg hiányzik.

Előzmény: [3135] Lóczi Lajos, 2009-12-28 00:03:42
[3136] lgdt2009-12-28 03:10:38

Vegyünk egy olyan helyet, amitől felfelé a derivált legalább egy pozitív konstans. Alkalmazzuk a Langrange-féle középértéktételt a kiválasztott és az összes tőle jobbra lévő helyre: a függvény a kiválasztott ponton átmenő olyan egyenes felett van, melynek meredeksége az említett konstans.

Előzmény: [3135] Lóczi Lajos, 2009-12-28 00:03:42
[3135] Lóczi Lajos2009-12-28 00:03:42

De várj, van itt még más is. Honnan tudod, hogy f deriváltja integrálható?

Előzmény: [3134] jonas, 2009-12-27 23:31:05
[3134] jonas2009-12-27 23:31:05

Ha a  \lim_{x\to\infty} f'(x) határérték létezik, akkor biztosan nulla.

Bizonyítás indirekt módon. Ha a határérték nem nulla, akkor szimmetria miatt feltehetjük, hogy pozitív, ekkor van olyan 0<c és x0 hogy minden x0<x helyen c\lef'(x). Mivel viszont a függvény mindenütt deriválható, a Newton-Leibniz szabály miatt  c (x - x_0) < \int_{x_0}^x f'(x) = f(x) - f(x_0) tartana a végtelenhez, ahogy x\to\infty. Az előbb elmondottak miatt viszont  \lim_{x\to\infty} f(x) létezik és véges, ami ellentmondás.

Azt azonban még nem tudom, hogy biztosan létezik-e a határérték.

Előzmény: [3129] Lóczi Lajos, 2009-12-27 13:40:08
[3133] Lóczi Lajos2009-12-27 22:16:59

Persze, igazad van, a 3. és 4. kérdés most ekvivalens, hiszen az összeg limeszének végességét eleve tudjuk. (A hozzászólásodban nyilván az egyik G helyett F áll mindkét képletben.)

Előzmény: [3132] jonas, 2009-12-27 21:49:07
[3132] jonas2009-12-27 21:49:07

Dehát G=(F+G)-G ezért  \lim G = \lim (F + G) - \lim G = 0 , mivelhogy a jobb oldali két határérték létezik és véges. Az első határértékről a feladat kimondja, hogy véges.

Előzmény: [3131] Lóczi Lajos, 2009-12-27 21:34:18
[3131] Lóczi Lajos2009-12-27 21:34:18

Ha \lim_a F=\lim_a (F+G), akkor abból általában nem következik, hogy \lim_a G=0.

Előzmény: [3130] jonas, 2009-12-27 14:43:08
[3130] jonas2009-12-27 14:43:08

A harmadik és a negyedik kérdés nem ugyanaz?

Előzmény: [3129] Lóczi Lajos, 2009-12-27 13:40:08
[3129] Lóczi Lajos2009-12-27 13:40:08

Legyen f az egész számegyenesen értelmezett deriválható függvény és tegyük fel, hogy az


A:=\lim_{x\to\infty}(f(x)+f '(x))

határérték létezik és véges.

Igaz-e, hogy létezik a


B:=\lim_{x\to\infty}f(x)

határérték? Véges-e? Igaz-e, hogy A=B? Igaz-e, hogy


\lim_{x\to\infty}f'(x)=0 ?

[3128] Csimby2009-12-23 02:40:56

Szia! A (c)-t meg lehet oldani úgy is, hogy mindhárom alakzat 8-szög (és összefüggő és mindent szét lehet szedni).

A (b) ennyire nem "bonyolult". Persze nem egyszerű, és nem tudom hogy lehet rájönni. Én megoldással együtt láttam a feladatokat. Aki szeretné, itt egy segítség.

Előzmény: [3127] jonas, 2009-12-22 17:01:00
[3127] jonas2009-12-22 17:01:00

Az összefüggőséget tényleg meg lehet oldani, valahogy így. Ez akkor feltehetően a (c) kérdésedre lenne a válasz, kivéve, hogy nem lehet mind a három darabot szétszedni.

A (b) kérdésre feltehetően valami olyasmit lehet csinálni, mint a kínai karikáknak a címer alakú fadarabokból álló változata. A plusz feltételeidet talán úgy lehetne megoldani, hogy mindig újabb, bonyolultabb példányt helyezünk el a régi rejtvény mellé egyre kisebb méretben.

Előzmény: [3124] Csimby, 2009-12-22 13:25:10
[3126] Csimby2009-12-22 13:52:42

Nem megy ez ma. Szóval, az elrendezés foglalható be egy konstans sugarú körbe. És mondjuk legyen még egy feltétel, hogy az n+1 elemű elrendezés egy alakzat hozzávételével keletkezik az n eleműből (a többi változatlan helyen és méretben marad).

Előzmény: [3124] Csimby, 2009-12-22 13:25:10
[3125] Csimby2009-12-22 13:27:00

Valóban

Előzmény: [3123] jonas, 2009-12-22 13:09:58
[3124] Csimby2009-12-22 13:25:10

Sziasztok!

Éreztem, hogy nem vagyok elég pontos :-(

Sirpi: 1 mozgatás := 1 eltolás (tetszőleges hosszú vektorral) vagy 1 forgatás (tetszőleges középpont körül tetszőleges szöggel) De amúgy ugyanaz a válasz mindhárom kérdésre akkor is ha forgatást nem engedünk meg, csak eltolást.

Jonas: Ügyes példa! És meglehet csinálni összefüggő darabokkal is (a többinél is ugyanaz a válasz, akkor is ha feltesszük, hogy összefüggőek a darabok).

A b. példában valami olyasmit akartam megfogalmazni (nem sikerült), hogy ne azért legyen nagy a lépésszám, mert "nagyok a távolságok" az elrendezésben. Pl. Jonas példájában sok lépés kell, de ehhez kellett egy nagyon hosszú alakzat (a zöld). Valahogy az alakzatok egymáshoz viszonyított arányát akartam megfogni (A "legkisebb alakzat" helyett persze azt kellett volna írnom, hogy "mindegyik alakzat" de így is hülyeség).

b. még egyszer, másképp:

- S(n) exp.

- Mindegyik alakzat egy < 100 oldalú sokszög.

- Az alakzat belefoglalható egy 100 sugarú körbe.

[3123] jonas2009-12-22 13:09:58

Ez mondjuk így nem működik, mert nem lehet minden darabot szétszedni.

Előzmény: [3122] jonas, 2009-12-22 12:26:25
[3122] jonas2009-12-22 12:26:25

A képen látható szerkezet három darabból áll, és ha elég hosszúra csináljuk, csak nagyon sok lépésben lehet a piros darabot kiszedni. Ha még hozzáveszünk mindhárom darabhoz egy nagy kört úgy, hogy ne akadályozza a darabok mozgatását, de azért nagyon távol se legyen, akkor meg lehet oldani az átmérős feltételt is.

Előzmény: [3121] jonas, 2009-12-22 12:09:17
[3121] jonas2009-12-22 12:09:17

A (b) kérdésre. Ha minden idomban elhelyezhető egy r sugarú kör, de az egész elrendezést magába foglalja egy R sugarú kör, ahol R/r konstans, akkor nyilván konstans sok idom van, mert több kis kör nem fér el a nagy körben. Így aztán az eredeti kérdést pontosítanod kéne.

Azt kell először eldönteni, hogy ilyen feltétellel konstans sok idommal lehet-e tetszőlegesen nagy minimális lépésszámot elérni. Ha nem szükséges, hogy az idomok összefüggőek legyenek, akkor szerintem lehet.

Előzmény: [3118] Csimby, 2009-12-22 00:59:19
[3120] jonas2009-12-22 12:00:23

Azt, hogy “a legkisebb síkidomban elhelyezhető egy r sugarú kör”, úgy érted, hogy minden síkidomban elhelyezhető egy ilyen kör? Mert a legkisebb nem egész egyértelmű.

Előzmény: [3118] Csimby, 2009-12-22 00:59:19
[3119] Sirpi2009-12-22 10:26:57

Pontosan mit értesz mozgatáson? Ha két síkidomom van, az egyik egy egységnégyzet, a másik pedig egy egységnégyzetekből kirakott labirintus (a négyzetek alkotják a falakat), és berakom a kisnégyzetet valahova a labirintus belsejébe, akkor ezt a konfigurációt 1, vagy csak nagyon sok mozgatással tudom szétszedni? Tehát a mozgatás történhet tetszőleges pályán vagy csak egyenesen? Lehet-e forgatni szétszedés közben?

Amúgy valami ilyesmivel biztos el lehet érni exponenciális hosszt.

Előzmény: [3118] Csimby, 2009-12-22 00:59:19
[3118] Csimby2009-12-22 00:59:19

504.feladat Helyezzünk el n db síkidomot a síkon. Legyen S(n), hogy hány db mozgatással tudjuk őket "szétszedni" (akkor mondjuk, hogy szét vannak szedve, ha 1 eltolással bármely 2 egymástól bármilyen messzire elvihető). Van-e olyan elhelyezés alkalmas síkidomokra, hogy:

a. S(n) n polinomja, de annak eldöntése, hogy szétszedhető-e NP-teljes

b. S(n) nagyságrendje en. Továbbá a legkisebb síkidomban elhelyezhető egy r sugarú kör, az elhelyezést magában foglalja egy R sugarú kör és R/r konstans (nem függ n-től)

c. n=3, K tetszőleges poz. egész és S(n)>K

[3117] Lóczi Lajos2009-12-20 00:57:06

A legkisebb olyan kezdőérték, amelyből indulva kettes ciklusba kerülünk, az n=40. (Itt elég 11 lépés.)

Előzmény: [3116] jonas, 2009-12-19 17:38:07

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]