Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3146] Cogito2010-01-04 11:13:53

A 4. kérdés tényleg kipipálva (és pofonegyszerűen). :)) A lim f '=0 esettel kapcsolatban olyan függvényeket is vizsgáltam, amelyekről csak később derült ki, hogy szétfeszítik a 4. feladat feltételeit és már csak egy újabb, 5. feladatba férnek bele ... .

[3145)-ös kérdésedre holnap tudok egész pontosan válaszolni. Most nincs nálam a könyv, de arra emlékszem, hogy a tételidézetem végén, a (...) helyen Rudin hivatkozik egy korábbi fejezetre, az pedig egy mégkorábbira. Így magát az - önmagában is terjedelmes - bizonyítást érdemes ezekkel mind összeolvasni. Holnap megpróbálom összeollózni és beszkennelni mindezt, s e-mail-ben elküldöm (a szerzői jogok ugyebár ...). Azt ellenőriztem, hogy e hivatkozásokkal együtt is érvényes a tétel a feladatunkra.

Előzmény: [3143] Lóczi Lajos, 2010-01-03 01:24:47
[3145] Lóczi Lajos2010-01-03 19:00:11

Eszembe jutott egy apróság: az interneten amit láttam Rudin-bizonyítást idézve, abban az A szám csak véges volt. A könyvedben az A=\infty eset is be van bizonyítva?

Előzmény: [3142] Cogito, 2010-01-01 17:57:48
[3144] Ló Béla2010-01-03 12:43:02

Adott n db racionális szám. Be kellene öket m db csoportba osztani úgy, hogy az egy csoporton belül lévö számok összegének legnagyobbika a lehetö legkisebb legyen. Hogy helyezzünk el egy n+1-ik elemet, ha n elemet már sikerült besorolnunk ?

[3143] Lóczi Lajos2010-01-03 01:24:47

Nagyon érdekes, amit mondasz. Valaki az interneten idézi a Rudin-féle bizonyítást: szerintem az teljesen rendben van. Ezek szerint a tankönyvek mindig csak egy speciális esetet bizonyítanak be akkor, amikor a nevező a végtelenbe tart!

(Kíváncsi lennék, mielőtt a könyvtárban megnézem, hogy pl. a Császár-féle könyv mit mond erről a kérdésről.)

A feladat 1-3. kérdéseit tehát a Rudin-féle általánosabb L'Hospital-szabály megoldja. Az én bizonyításom az A=B állításra pedig szinte szóról szóra az volt, amit Rudin is csinál (persze ő általánosan, én pedig csak az u(x)=f(x) exp(x), v(x)=exp(x) esetben bizonyítottam); nem biztos, hogy könnyű lenne találni olyan bizonyítást, ami nem "L'Hospital-szerű".

Nem értem, hogy a 4. kérdésen miért gondolkozol még :), jonas a [3130]-ban rámutatott, hogy a 4. kérdés igaz volta következik a 3. kérdés igazságából.

Előzmény: [3142] Cogito, 2010-01-01 17:57:48
[3142] Cogito2010-01-01 17:57:48

Elnézést kérek az elsietett [3138]-ért. A tankönyvek ezúttal elaltatták az éberségemet és csak utólag kaptam észbe (lásd az 1. megjegyzést).

Előzmény: [3139] jenei.attila, 2009-12-29 15:37:00
[3141] Lóczi Lajos2009-12-29 23:39:34

Hármas ciklusra is van példa bőven: az első százezer pozitív egészt, mint kezdőértéket addig iterálva, amíg a C függvény ciklusba nem kerül, azt tapasztaljuk, hogy a 100000 kezdőérték közül 11467 db végződik előbb-utóbb fixpontban, 65638 db 2-es ciklusban, 22895 db pedig 3-as ciklusban.

A legkisebb kezdőérték, amelyből 3-as ciklusban végződik a rekurzió, az n=50.

Az tehát ebből a sejtés, hogy a 4-es és magasabb elemszámú ciklusok elég ritkák (ha egyáltalán vannak??).

Előzmény: [3117] Lóczi Lajos, 2009-12-20 00:57:06
[3140] Cogito2009-12-29 16:23:34

A negyedik kérdésre adott "ellenpéldám" nem volt jó, mert ekkor A nem véges. Ez a kérdés tehát még megválaszolatlan.

Jenei Attila felvetésére később térek vissza.

Előzmény: [3138] Cogito, 2009-12-29 13:18:17
[3139] jenei.attila2009-12-29 15:37:00

Hát ez azért így meredek. Szerinted, ha jól értem, lim f=lim f+f', ha f deriválható és x végtelenhez tart. Ezt nem hinném. A számlálóban egyáltalán nem biztos, hogy ex*f(x) végtelenhez tart (pl. f=sin, vagy f 0-hoz tart, akkor bármi lehet a határérték).

Előzmény: [3138] Cogito, 2009-12-29 13:18:17
[3138] Cogito2009-12-29 13:18:17
Előzmény: [3129] Lóczi Lajos, 2009-12-27 13:40:08
[3137] jonas2009-12-28 11:51:19

Igaz, ez tényleg hiányzik.

Előzmény: [3135] Lóczi Lajos, 2009-12-28 00:03:42
[3136] lgdt2009-12-28 03:10:38

Vegyünk egy olyan helyet, amitől felfelé a derivált legalább egy pozitív konstans. Alkalmazzuk a Langrange-féle középértéktételt a kiválasztott és az összes tőle jobbra lévő helyre: a függvény a kiválasztott ponton átmenő olyan egyenes felett van, melynek meredeksége az említett konstans.

Előzmény: [3135] Lóczi Lajos, 2009-12-28 00:03:42
[3135] Lóczi Lajos2009-12-28 00:03:42

De várj, van itt még más is. Honnan tudod, hogy f deriváltja integrálható?

Előzmény: [3134] jonas, 2009-12-27 23:31:05
[3134] jonas2009-12-27 23:31:05

Ha a  \lim_{x\to\infty} f'(x) határérték létezik, akkor biztosan nulla.

Bizonyítás indirekt módon. Ha a határérték nem nulla, akkor szimmetria miatt feltehetjük, hogy pozitív, ekkor van olyan 0<c és x0 hogy minden x0<x helyen c\lef'(x). Mivel viszont a függvény mindenütt deriválható, a Newton-Leibniz szabály miatt  c (x - x_0) < \int_{x_0}^x f'(x) = f(x) - f(x_0) tartana a végtelenhez, ahogy x\to\infty. Az előbb elmondottak miatt viszont  \lim_{x\to\infty} f(x) létezik és véges, ami ellentmondás.

Azt azonban még nem tudom, hogy biztosan létezik-e a határérték.

Előzmény: [3129] Lóczi Lajos, 2009-12-27 13:40:08
[3133] Lóczi Lajos2009-12-27 22:16:59

Persze, igazad van, a 3. és 4. kérdés most ekvivalens, hiszen az összeg limeszének végességét eleve tudjuk. (A hozzászólásodban nyilván az egyik G helyett F áll mindkét képletben.)

Előzmény: [3132] jonas, 2009-12-27 21:49:07
[3132] jonas2009-12-27 21:49:07

Dehát G=(F+G)-G ezért  \lim G = \lim (F + G) - \lim G = 0 , mivelhogy a jobb oldali két határérték létezik és véges. Az első határértékről a feladat kimondja, hogy véges.

Előzmény: [3131] Lóczi Lajos, 2009-12-27 21:34:18
[3131] Lóczi Lajos2009-12-27 21:34:18

Ha \lim_a F=\lim_a (F+G), akkor abból általában nem következik, hogy \lim_a G=0.

Előzmény: [3130] jonas, 2009-12-27 14:43:08
[3130] jonas2009-12-27 14:43:08

A harmadik és a negyedik kérdés nem ugyanaz?

Előzmény: [3129] Lóczi Lajos, 2009-12-27 13:40:08
[3129] Lóczi Lajos2009-12-27 13:40:08

Legyen f az egész számegyenesen értelmezett deriválható függvény és tegyük fel, hogy az


A:=\lim_{x\to\infty}(f(x)+f '(x))

határérték létezik és véges.

Igaz-e, hogy létezik a


B:=\lim_{x\to\infty}f(x)

határérték? Véges-e? Igaz-e, hogy A=B? Igaz-e, hogy


\lim_{x\to\infty}f'(x)=0 ?

[3128] Csimby2009-12-23 02:40:56

Szia! A (c)-t meg lehet oldani úgy is, hogy mindhárom alakzat 8-szög (és összefüggő és mindent szét lehet szedni).

A (b) ennyire nem "bonyolult". Persze nem egyszerű, és nem tudom hogy lehet rájönni. Én megoldással együtt láttam a feladatokat. Aki szeretné, itt egy segítség.

Előzmény: [3127] jonas, 2009-12-22 17:01:00
[3127] jonas2009-12-22 17:01:00

Az összefüggőséget tényleg meg lehet oldani, valahogy így. Ez akkor feltehetően a (c) kérdésedre lenne a válasz, kivéve, hogy nem lehet mind a három darabot szétszedni.

A (b) kérdésre feltehetően valami olyasmit lehet csinálni, mint a kínai karikáknak a címer alakú fadarabokból álló változata. A plusz feltételeidet talán úgy lehetne megoldani, hogy mindig újabb, bonyolultabb példányt helyezünk el a régi rejtvény mellé egyre kisebb méretben.

Előzmény: [3124] Csimby, 2009-12-22 13:25:10
[3126] Csimby2009-12-22 13:52:42

Nem megy ez ma. Szóval, az elrendezés foglalható be egy konstans sugarú körbe. És mondjuk legyen még egy feltétel, hogy az n+1 elemű elrendezés egy alakzat hozzávételével keletkezik az n eleműből (a többi változatlan helyen és méretben marad).

Előzmény: [3124] Csimby, 2009-12-22 13:25:10
[3125] Csimby2009-12-22 13:27:00

Valóban

Előzmény: [3123] jonas, 2009-12-22 13:09:58
[3124] Csimby2009-12-22 13:25:10

Sziasztok!

Éreztem, hogy nem vagyok elég pontos :-(

Sirpi: 1 mozgatás := 1 eltolás (tetszőleges hosszú vektorral) vagy 1 forgatás (tetszőleges középpont körül tetszőleges szöggel) De amúgy ugyanaz a válasz mindhárom kérdésre akkor is ha forgatást nem engedünk meg, csak eltolást.

Jonas: Ügyes példa! És meglehet csinálni összefüggő darabokkal is (a többinél is ugyanaz a válasz, akkor is ha feltesszük, hogy összefüggőek a darabok).

A b. példában valami olyasmit akartam megfogalmazni (nem sikerült), hogy ne azért legyen nagy a lépésszám, mert "nagyok a távolságok" az elrendezésben. Pl. Jonas példájában sok lépés kell, de ehhez kellett egy nagyon hosszú alakzat (a zöld). Valahogy az alakzatok egymáshoz viszonyított arányát akartam megfogni (A "legkisebb alakzat" helyett persze azt kellett volna írnom, hogy "mindegyik alakzat" de így is hülyeség).

b. még egyszer, másképp:

- S(n) exp.

- Mindegyik alakzat egy < 100 oldalú sokszög.

- Az alakzat belefoglalható egy 100 sugarú körbe.

[3123] jonas2009-12-22 13:09:58

Ez mondjuk így nem működik, mert nem lehet minden darabot szétszedni.

Előzmény: [3122] jonas, 2009-12-22 12:26:25
[3122] jonas2009-12-22 12:26:25

A képen látható szerkezet három darabból áll, és ha elég hosszúra csináljuk, csak nagyon sok lépésben lehet a piros darabot kiszedni. Ha még hozzáveszünk mindhárom darabhoz egy nagy kört úgy, hogy ne akadályozza a darabok mozgatását, de azért nagyon távol se legyen, akkor meg lehet oldani az átmérős feltételt is.

Előzmény: [3121] jonas, 2009-12-22 12:09:17

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]