Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3153] R.R King2010-01-08 16:04:51

Üdv. neten nézegettem hatványsorokat. Az arcsinx hatványsorával kellene valamit kezdeni, mert eléggé hasonlít az általad megadottra..Csak egy ötlet, lehet nem így kell nekifogni.

Előzmény: [3149] Cokee, 2010-01-07 15:20:42
[3152] nadorp2010-01-08 12:45:55

Bizonyítsuk be, hogy ha a határfüggvény F(x), akkor

(x2-1)F"+xF'+4=0

Előzmény: [3149] Cokee, 2010-01-07 15:20:42
[3151] jonas2010-01-08 09:24:32

Ez nem is olyan egyszerű, mint amilyennek elsőre tűnik.

Előzmény: [3150] Lóczi Lajos, 2010-01-08 02:03:59
[3150] Lóczi Lajos2010-01-08 02:03:59

Bizonyítsuk be, hogy a megadott sor |x|=1 esetén is konvergens!

Előzmény: [3149] Cokee, 2010-01-07 15:20:42
[3149] Cokee2010-01-07 15:20:42

Számítsuk ki a következő összeget:

 \sum^{\infty}_{n=1} \frac{((n-1)!)^2}{(2n)!}(2x)^{2n}

ahol |x|<1

Üdv.: Cokee

[3148] Cogito2010-01-05 15:01:20

Így van, ezt a Rudin-féle általánosabb L'Hospital-szabály értelmezési tartománya igazolja. Rudin bizonyításából kiderül, hogy A lehet véges és lehet \pm\infty is. Lásd ott :-)

Előzmény: [3147] Lóczi Lajos, 2010-01-05 01:35:52
[3147] Lóczi Lajos2010-01-05 01:35:52

Ezek szerint az alábbi általánosabb állítás is igaz:

ha f az egész számegyenesen értelmezett deriválható függvény és létezik az


A:=\lim_{x\to a} (f(x)+f'(x))

határérték, akkor létezik a


B:=\lim_{x\to a} f(x)

határérték is és A=B.

1. A fentiekben tehát a és A tetszőleges véges szám lehet, vagy a két végtelen bármelyike, egymástól függetlenül.

2. Persze ebben az általánosabb szituációban \lim_{x\to a} f'(x) értékéről általában nem tudunk semmit mondani.

Előzmény: [3146] Cogito, 2010-01-04 11:13:53
[3146] Cogito2010-01-04 11:13:53

A 4. kérdés tényleg kipipálva (és pofonegyszerűen). :)) A lim f '=0 esettel kapcsolatban olyan függvényeket is vizsgáltam, amelyekről csak később derült ki, hogy szétfeszítik a 4. feladat feltételeit és már csak egy újabb, 5. feladatba férnek bele ... .

[3145)-ös kérdésedre holnap tudok egész pontosan válaszolni. Most nincs nálam a könyv, de arra emlékszem, hogy a tételidézetem végén, a (...) helyen Rudin hivatkozik egy korábbi fejezetre, az pedig egy mégkorábbira. Így magát az - önmagában is terjedelmes - bizonyítást érdemes ezekkel mind összeolvasni. Holnap megpróbálom összeollózni és beszkennelni mindezt, s e-mail-ben elküldöm (a szerzői jogok ugyebár ...). Azt ellenőriztem, hogy e hivatkozásokkal együtt is érvényes a tétel a feladatunkra.

Előzmény: [3143] Lóczi Lajos, 2010-01-03 01:24:47
[3145] Lóczi Lajos2010-01-03 19:00:11

Eszembe jutott egy apróság: az interneten amit láttam Rudin-bizonyítást idézve, abban az A szám csak véges volt. A könyvedben az A=\infty eset is be van bizonyítva?

Előzmény: [3142] Cogito, 2010-01-01 17:57:48
[3144] Ló Béla2010-01-03 12:43:02

Adott n db racionális szám. Be kellene öket m db csoportba osztani úgy, hogy az egy csoporton belül lévö számok összegének legnagyobbika a lehetö legkisebb legyen. Hogy helyezzünk el egy n+1-ik elemet, ha n elemet már sikerült besorolnunk ?

[3143] Lóczi Lajos2010-01-03 01:24:47

Nagyon érdekes, amit mondasz. Valaki az interneten idézi a Rudin-féle bizonyítást: szerintem az teljesen rendben van. Ezek szerint a tankönyvek mindig csak egy speciális esetet bizonyítanak be akkor, amikor a nevező a végtelenbe tart!

(Kíváncsi lennék, mielőtt a könyvtárban megnézem, hogy pl. a Császár-féle könyv mit mond erről a kérdésről.)

A feladat 1-3. kérdéseit tehát a Rudin-féle általánosabb L'Hospital-szabály megoldja. Az én bizonyításom az A=B állításra pedig szinte szóról szóra az volt, amit Rudin is csinál (persze ő általánosan, én pedig csak az u(x)=f(x) exp(x), v(x)=exp(x) esetben bizonyítottam); nem biztos, hogy könnyű lenne találni olyan bizonyítást, ami nem "L'Hospital-szerű".

Nem értem, hogy a 4. kérdésen miért gondolkozol még :), jonas a [3130]-ban rámutatott, hogy a 4. kérdés igaz volta következik a 3. kérdés igazságából.

Előzmény: [3142] Cogito, 2010-01-01 17:57:48
[3142] Cogito2010-01-01 17:57:48

Elnézést kérek az elsietett [3138]-ért. A tankönyvek ezúttal elaltatták az éberségemet és csak utólag kaptam észbe (lásd az 1. megjegyzést).

Előzmény: [3139] jenei.attila, 2009-12-29 15:37:00
[3141] Lóczi Lajos2009-12-29 23:39:34

Hármas ciklusra is van példa bőven: az első százezer pozitív egészt, mint kezdőértéket addig iterálva, amíg a C függvény ciklusba nem kerül, azt tapasztaljuk, hogy a 100000 kezdőérték közül 11467 db végződik előbb-utóbb fixpontban, 65638 db 2-es ciklusban, 22895 db pedig 3-as ciklusban.

A legkisebb kezdőérték, amelyből 3-as ciklusban végződik a rekurzió, az n=50.

Az tehát ebből a sejtés, hogy a 4-es és magasabb elemszámú ciklusok elég ritkák (ha egyáltalán vannak??).

Előzmény: [3117] Lóczi Lajos, 2009-12-20 00:57:06
[3140] Cogito2009-12-29 16:23:34

A negyedik kérdésre adott "ellenpéldám" nem volt jó, mert ekkor A nem véges. Ez a kérdés tehát még megválaszolatlan.

Jenei Attila felvetésére később térek vissza.

Előzmény: [3138] Cogito, 2009-12-29 13:18:17
[3139] jenei.attila2009-12-29 15:37:00

Hát ez azért így meredek. Szerinted, ha jól értem, lim f=lim f+f', ha f deriválható és x végtelenhez tart. Ezt nem hinném. A számlálóban egyáltalán nem biztos, hogy ex*f(x) végtelenhez tart (pl. f=sin, vagy f 0-hoz tart, akkor bármi lehet a határérték).

Előzmény: [3138] Cogito, 2009-12-29 13:18:17
[3138] Cogito2009-12-29 13:18:17
Előzmény: [3129] Lóczi Lajos, 2009-12-27 13:40:08
[3137] jonas2009-12-28 11:51:19

Igaz, ez tényleg hiányzik.

Előzmény: [3135] Lóczi Lajos, 2009-12-28 00:03:42
[3136] lgdt2009-12-28 03:10:38

Vegyünk egy olyan helyet, amitől felfelé a derivált legalább egy pozitív konstans. Alkalmazzuk a Langrange-féle középértéktételt a kiválasztott és az összes tőle jobbra lévő helyre: a függvény a kiválasztott ponton átmenő olyan egyenes felett van, melynek meredeksége az említett konstans.

Előzmény: [3135] Lóczi Lajos, 2009-12-28 00:03:42
[3135] Lóczi Lajos2009-12-28 00:03:42

De várj, van itt még más is. Honnan tudod, hogy f deriváltja integrálható?

Előzmény: [3134] jonas, 2009-12-27 23:31:05
[3134] jonas2009-12-27 23:31:05

Ha a  \lim_{x\to\infty} f'(x) határérték létezik, akkor biztosan nulla.

Bizonyítás indirekt módon. Ha a határérték nem nulla, akkor szimmetria miatt feltehetjük, hogy pozitív, ekkor van olyan 0<c és x0 hogy minden x0<x helyen c\lef'(x). Mivel viszont a függvény mindenütt deriválható, a Newton-Leibniz szabály miatt  c (x - x_0) < \int_{x_0}^x f'(x) = f(x) - f(x_0) tartana a végtelenhez, ahogy x\to\infty. Az előbb elmondottak miatt viszont  \lim_{x\to\infty} f(x) létezik és véges, ami ellentmondás.

Azt azonban még nem tudom, hogy biztosan létezik-e a határérték.

Előzmény: [3129] Lóczi Lajos, 2009-12-27 13:40:08
[3133] Lóczi Lajos2009-12-27 22:16:59

Persze, igazad van, a 3. és 4. kérdés most ekvivalens, hiszen az összeg limeszének végességét eleve tudjuk. (A hozzászólásodban nyilván az egyik G helyett F áll mindkét képletben.)

Előzmény: [3132] jonas, 2009-12-27 21:49:07
[3132] jonas2009-12-27 21:49:07

Dehát G=(F+G)-G ezért  \lim G = \lim (F + G) - \lim G = 0 , mivelhogy a jobb oldali két határérték létezik és véges. Az első határértékről a feladat kimondja, hogy véges.

Előzmény: [3131] Lóczi Lajos, 2009-12-27 21:34:18
[3131] Lóczi Lajos2009-12-27 21:34:18

Ha \lim_a F=\lim_a (F+G), akkor abból általában nem következik, hogy \lim_a G=0.

Előzmény: [3130] jonas, 2009-12-27 14:43:08
[3130] jonas2009-12-27 14:43:08

A harmadik és a negyedik kérdés nem ugyanaz?

Előzmény: [3129] Lóczi Lajos, 2009-12-27 13:40:08
[3129] Lóczi Lajos2009-12-27 13:40:08

Legyen f az egész számegyenesen értelmezett deriválható függvény és tegyük fel, hogy az


A:=\lim_{x\to\infty}(f(x)+f '(x))

határérték létezik és véges.

Igaz-e, hogy létezik a


B:=\lim_{x\to\infty}f(x)

határérték? Véges-e? Igaz-e, hogy A=B? Igaz-e, hogy


\lim_{x\to\infty}f'(x)=0 ?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]