Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3178] bily712010-01-31 11:10:16

Ennek egy speciális esete a Wilson-tétel, ahol n=1,

ekkor (p-1)!\equiv\frac{(p-1)!}{(1-1)!}(-1)^{1-1}(\mod{p}),

mivel 0!=1 és (-1)0=1, ezért (p-1)!\equiv\frac{(p-1)!}{1}1\equiv{p-1}(\mod{p}).

Előzmény: [3177] m2mm, 2010-01-30 21:31:38
[3177] m2mm2010-01-30 21:31:38

((n-1)!,p)=1 ,azaz (p-n)!\equiv \frac{(p-1)!}{(n-1)!}(-1)^{n-1} <=> (p-n)!(n-1)!\equiv(p-1)!(-1)n-1 (mod p).

(p-n)!(n-1)!\equiv(-n)(-n-1)(-n-2)...(-p+1)(n-1)!=(-1)p-n(p-1)! (mod p). Tehát (-1)p-n(p-1)!\equiv(p-1)!(-1)n-1-et kell bizonyítani (mod p). Osztva (p-1)!-ral(mely rel. prím p-vel) (-1)p-n\equiv(-1)n-1-et kell igazolni.

Ha p=2, akkor n csak 1 lehet, ekkor mindkét oldal -1, ekkor az áll. igaz.

Ha p nem 2, akkor páratlan: p-n\equivn-1 (mod 2), (-1)p-n\equiv(-1)n-1. Tehát igaz állításod.

Előzmény: [3175] bily71, 2010-01-30 14:11:17
[3176] Lóczi Lajos2010-01-30 17:50:28

Valamely m nemnegatív valós szám esetén jelölje Hm azt a végtelen háromszögtartományt a nyílt jobboldali komplex félsíkon, amelynek z=a+bi (a>0) pontjaira fennáll, hogy |b|\lema.

Van-e olyan komplex függvény, amelyik értelmezve van a nyílt jobboldali komplex félsíkon (azaz a>0 esetén), ott (komplex értelemben) deriválható, és

- nem létezik a limesze az origóban, ha z\to0 és a>0 (vagyis ha z a jobb félsíkból tetszőlegesen jőve közelíti meg a nullát)

- viszont minden m\ge0 esetén létezik véges limesze az origóban, ha z\to0 és z\inHm (vagyis ha z a háromszögtartományban haladva tart a nullához). (Igaz-e továbbá, hogy van olyan példa, hogy ez a létező véges limesz m-től függetlennek is választható?)

[3175] bily712010-01-30 14:11:17

Igaz-e, hogy ha p\inP, azaz prím, akkor

(p-n)!\equiv\frac{(p-1)!}{(n-1)!}(-1)^{n-1}(\mod{p}),

(n\inN és 0<n<p)?

[3174] Horváth Bence2010-01-21 19:49:56

Gézi ezt a feladatot nehéz meg csinálni de nagyon tetszik

[3173] BohnerGéza2010-01-18 15:48:51

A félpályán túli rész egyforma...

Megelőztek, de itt egy ábra.

Előzmény: [3171] Valezius, 2010-01-18 14:44:55
[3172] Radián2010-01-18 15:43:56

Vegyük az egységsugarú kört és tegyük bele a négyzetünkbe(úgy hogy a négyzetünk és a kör középpontja egybeessen), majd forgassuk el úgy a körünket, hogy a kerületén kiválasztott A1 pont egybeessen a négyzet azon felezőpontjával (A2-vel), amely az R2 sugarú kör középpontja. Ha meghúzzuk az A1(=A2) pontból a megfelelő R1 sugarú kört akkor láthatjuk, hogy ez esetben négyzetünket nem osztottuk két egyenlő területű részre.(Hiszen R1<2 , így a kör a négyzetet két olyan pontban metszi melyek távolsága B ill C csúcstól (A2 eleme BC) kevesebb, mint 1/2. Így ha az R1 sugarú körrel (k1-gyel) eredeti körünket két egyenlő részre osztottuk, akkor négyzetünket a k1 kör nem fogja két egyenlő területű részre osztani.) Méghozzá az a rész lesz kisebb melyet tartalmaz a k1 kör. Így ahhoz hogy a négyzetünket két egyenlő területű részre oszthassuk egy R1-nél nagyobb sugarú R2 "körre" van szükségünk.

Előzmény: [3171] Valezius, 2010-01-18 14:44:55
[3171] Valezius2010-01-18 14:44:55

Van egy egységsugarú kör, kijelölünk a kerületén egy pontot ahonnan R1 sugárral kört rajzolunk úgy, hogy a körív két azonos területű részre ossza a kört.

Van egy 2 egység oldalhosszúságú négyzetünk, az egyik oldal felezőpontjából R2 sugárral kört rajzolunk úgy, hogy a körív két azonos területű részre ossza a négyzetet.

Érzésre R1 vagy R2-e a nagyobb? Leginkább heurisztikus megoldás érdekelne, a konkrét értékek kiszámolása nélkül.

[3170] Lóczi Lajos2010-01-14 19:32:17

Elnézést, itt kicsit "túláltalánosítottam". Persze a Cogito által [3142]-ben beírt bizonyítás csak a=+\infty esetén megy, tehát a [3147]-esben csak a=+\infty van megengedve. (Véges a esetén a [3147]-beli állítás nem is igaz, ezt pl. az f(x)=x mutatja. Hogy a=-\infty esetén mi a helyzet, azt hirtelen nem látom.)

Előzmény: [3147] Lóczi Lajos, 2010-01-05 01:35:52
[3169] Valezius2010-01-14 12:28:34

Igen, bocsi. Az volt a baj, hogy a számlálóban a papíromon -1 szerepel, és nem +1. Tehát mégse ugyanaz jött ki, csak azt hittem.

[3168] HoA2010-01-14 11:30:59

Igen, a szögletes zárójel egészrészt jelöl . 10 golyóra a várható nyeremények k = 1,2,3,4,5 esetén nálam is 1 ; 1,8 ; 2,16 ; 2,016 ; 1,512 , tehát k=3 az optimum. 20 golyónál a gyök alatt négyzetszám van, valóban k = 4-re és 5-re egyformán 2,907 a várható nyeremény.

Előzmény: [3164] Valezius, 2010-01-13 18:19:41
[3167] leni5362010-01-13 22:38:43

10-re 3,7-et ad és 3 golyónál kell megállni, tehát alsó egészrésznél. Ha pont egészet ad, akkor az eggyel kisebb is pont ugyanolyan jó.

Előzmény: [3164] Valezius, 2010-01-13 18:19:41
[3166] jonas2010-01-13 21:07:05

Szerintem ha 10 golyó van, akkor hármat kell húzni, mert akkor a várható nyeremény 2,16, míg ha csak kettőt húzunk, akkor 1,8. Még négyet is jobb húzni, mint kettőt.

Előzmény: [3165] Valezius, 2010-01-13 18:33:36
[3165] Valezius2010-01-13 18:33:36

Ja nem bocs, 10-nél 2 golyónál kell megállni a logika szerint.

Előzmény: [3164] Valezius, 2010-01-13 18:19:41
[3164] Valezius2010-01-13 18:19:41

Idáig én is eljutottam, csak még nem találtam ki, hogy kéne kezelni, ha nem egészre jön ki. A zárójel az egész részt jelent nálad?

Mert 10-re, akkor ez 2,7-et ad, azaz 2-őt. De ott az elv alapján 3 golyónál kell megállni.

Előzmény: [3163] HoA, 2010-01-13 17:17:06
[3163] HoA2010-01-13 17:17:06

A megoldás elárulása nélkül egy eredmény tipp:

k_{max} = \left [\frac{\sqrt{1 + 4n}+1}{2}\right ]

Előzmény: [3160] Sirpi, 2010-01-13 12:28:55
[3162] Sirpi2010-01-13 13:31:01

1) igen, 1-től n-ig, mindegyik egyszer

2) igen, a k. külünbözzön az első k-1 mindegyikétől.

3) igen, k a nyeremény.

Szóval bár pongyola voltam, mindent jól gondoltál :-)

Előzmény: [3161] HoA, 2010-01-13 12:40:06
[3161] HoA2010-01-13 12:40:06

- A golyók 1-től n-ig vannak számozva - minden szám egyszer szerepel?

- A "nem húztunk 2 egyformát" úgy értendő, hogy a k-iknak kihúzott golyó száma az addig kihúzott k-1 golyó egyikének számával sem egyezik?

- a nyeremény a kihúzott golyók DARABszáma, esetünkben k ?

Előzmény: [3160] Sirpi, 2010-01-13 12:28:55
[3160] Sirpi2010-01-13 12:28:55

Akkor egy saját feladat:

Adott n számozott golyó, amik közül visszatevéssel húzunk. Bármikor megállhatunk, és ha nem húztunk 2 egyformát, akkor nyereményként a kihúzott golyók számát kapjuk, ha viszont igen, akkor így jártunk, nem kapunk semmit. A kérdés az, hogy adott n-re hány golyót kell kihúznunk, hogy maximalizáljuk a várható nyereményünket.

[3159] djuice2010-01-11 11:45:23

Köszi, igazad van! Amúgy ma délelőtt újra végiggondoltam és teljesen mindegy hogy milyen sorrendbe és hányan érkeznek egyszerre, mert amely elsőleg megtérített feluból elindulnak, a következő oda érkezőt ott megeszik, tehát azon falu pogány marad. Akkor is ez áll fenn, ha egyszerre egy térítő működik, mert a kiindulási pontjához visszajutva (feltételezem, nem tudja mikor továbbindul az előző faluból, hogy a következő melyik lesz) ott őt is elkapják, ergo ekkor n-1, azaz 25 keresztény falu várja az odaérkezőket, akik automatikusan halálra vannak itélve, mert csak a megtérített falukba mehetnek, hisz nekik mind más a nevük kezdőbetűje. Tehát ha egyedül, ha többen érkeznek, mindig a kiinduló falvak a ciklus végére pogányok lesznek, ahová a nevük alapján már elsőnek nem érkezhet új térítő, ergo csak megtérített falvakba juthatnak először = kampec nekik. Ha mind a 26 egyszerre érkezne, akkor (nyilván egymás munkájáról nem tudva) az első továbbinduláskor automatikusan minden falu pogánnyá válik és ők elpusztulnak.

Ezek alapján, már nekem is világos, hogy a térítők hiába fizetnek életükkel, végül mindenki pogány marad. A tanulság: elég ha egy térítő megy oda, akkor a legnagyobb az eredményessége. :)

Előzmény: [3158] Valezius, 2010-01-11 00:24:22
[3158] Valezius2010-01-11 00:24:22

1. esetben, ha mind egymás után jönnek, akkor végül minden falu pogány lesz. És nem marad egyetlen falu sem, ami keresztény lenne.

Mivel feltételezhető, hogy a feladatnak egyetlen megoldása van, az csak az lehet, hogy minden falu pogány. Persze elképzelhető, hogy el van rontva a feladat, de szerintem ez most nem áll fenn. Legalábbis nekem kijött a megoldás :)

Előzmény: [3156] djuice, 2010-01-09 20:28:48
[3157] Maga Péter2010-01-09 21:30:15

Ha jól látom, a \beta függvény által meghatározott Lebesgue-Stieltjes-mértéknek az \alpha által meghatározott Lebesgue-Stieltjes-mérték szerinti Radon-Nikodym-deriváltja f. Ekkor a Radon-Nikodym-tétel szerint

\int g{\rm d}\beta=\int gf{\rm d}\alpha,

amit bizonyítanunk kellett. Ugye jól látom?

Annyian szoktak itt csintalankodni, most az egyszer én sem tudtam megállni, ezer bocs...:D

Előzmény: [3155] Cokee, 2010-01-08 21:42:15
[3156] djuice2010-01-09 20:28:48

...illetve vannak olyan függvények, melyekre nem értelmezett a deriválás művelete (legjobb tudásom szerint)!

Más, A szigetlakós feladatra spekuláltam kicsit. Ha nem megadott hogy a hittérítők milyen ütemben érkeznek, akkor akár az első érkező is végigmehet sorban a falvakon, és mindenki meg lesz térítve, csak az első falu nem, amelyiknél kezdte, mert akkor ők fogják megenni a látogatót. Ha ilyen módon érkezik a maradék 25 térítő, az utolsónál a teljes sziget pogány lesz, kivéve azt a falut ahol kezdi a pályafutását, mivel a páratlan sorszámú térítőknél az első példájára 26-1 falu lesz keresztény, a párosakra ennek negáltja.

Ha két térítő van egyszerre jelen, körútjuk végén végén a kezdőpontjukat kivéve minden falu megtért lesz kivéve kettőt, azaz páros szám lévén és ezt az ütemet tartva, a 26. térítónél is ue. a felállás. Ha mind a 26 térítő egyszerre érkezik, az első körben a teljes sziget keresztény lesz, de az 1. szomszéd falu meglátogatásával minden hittérítő kihal, és minden falu marad kannibál. Mivel ezek is megoldásai a feladatnak, s a véletlenszerűen érkező térítők milliónyi kombinációs esetéről nem is szólva, általánosan nem határozható meg pontosan szerintem, hogy melyik falu épp milyen állapotban lesz, hisz a pillanatnyi eset a döntő = számtalan megoldás létezik.

Amúgy boldog új évet mindenkinek!

Előzmény: [13] Kritya3, 2003-11-04 16:37:46
[3155] Cokee2010-01-08 21:42:15

Sziasztok!

Akkor látom a feladat kilőve, ha valakit érdekel a teljes megoldás,akkor írjon és felírom,de nekem is a diffegyenletes megoldásom van:-).

Itt egy újabb:

Tegyük fel,hogy f és g folytonos függvények [a,b]-n,és \alpha korlátos változású,és definiáljuk a:

\beta(x)=\int^{x}_{a} f(x) d\alpha(x) integrált (x\in[a,b]).

Bizonyítsuk be, hogy \int^{b}_{a} g(x) d\beta(x)=\int^{b}_{a} g(x)f(x) d\alpha(x).

Üdv.: Cokee

[3154] nadorp2010-01-08 16:19:51

Megoldva az előző differenciálegyenletet, valóban lesz benne arc sin.

http://mathworld.wolfram.com/InverseSine.html (19) képlet.

Előzmény: [3153] R.R King, 2010-01-08 16:04:51

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]