Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3279] Lóczi Lajos2010-04-23 23:34:25

(Szélsőérték szempontjából) milyen típusú pontja az f(x,y):=x4-x2-2xy+y4-y2 felületnek az origó?

[3278] HoA2010-04-23 17:38:03

Gondolatébresztőnek kezdjük az általános esettel, a térkép hasonlatnál maradva legyen az origó felett közönséges domboldal. Ekkor a szintvonal két irányába mutat v1=v0 és v2=-v0 és ezekre merőleges a gradiens, e=g és c=-g . ( A minusz jelek nálam nem igazán jól látszanak. ) Érdekesebbek a speciális terepalakulatok - csúcs , nyereg, töbör .

Előzmény: [3277] Lóczi Lajos, 2010-04-17 14:04:34
[3277] Lóczi Lajos2010-04-17 14:04:34

A térbeli x-y-z koordinátarendszerben tekintsünk egy sima "domborzati térképet" az x-y alapsík fölött, azaz legyen adott egy f:R2\toR deriválható függvény. Tekintsük az alapsíkban az összes origó kezdőpontú egységvektort, és jelöljük meg ezek közül mindazokat az e, c és v vektorokat, amelyek irányában az f felület origó fölötti f(0) pontjában rendre: legmeredekebb az emelkedés, legnagyobb a csökkenés, illetve a pontbeli adott irányú érintőegyenes vízszintes.

Milyen összefüggések állapíthatók meg az e, c és v vektorok között?

[3276] Tóbi2010-04-14 15:35:35

Vegyük az egyenlőtlenség logaritmusát. k*log(a)=<L*log(b)<k*log(a)+log(2) Tulajdonképpen itt log(b) olyan többszörösét keressük, amit maradékosan osztva log(a)-val, a maradék legfeljebb log(2) lesz. Amennyiben log(a)/log(b) racionális a maradék 0 is lehet, ha irracionális, tetszőlegesen megközelíti a 0-t, így log(2) alá is megy.

Előzmény: [3272] m2mm, 2010-04-13 23:21:09
[3275] m2mm2010-04-14 14:25:25

Ja, persze: elírtam ak\lebl<2ak a kérdéses egyenlőtlenség.

Előzmény: [3273] Tóbi, 2010-04-13 23:48:42
[3274] Hajba Károly2010-04-14 01:20:12

a=1,2

b=1,1

k=2

l=5

Előzmény: [3272] m2mm, 2010-04-13 23:21:09
[3273] Tóbi2010-04-13 23:48:42

a=4, b=2 esetén ez nem igaz. (Vagy bármilyen a=b*b, b>=2 esetén.) Ha nem szigorú egyenlőtlenséget akarunk, akkor lehet, hogy igaz.

Előzmény: [3272] m2mm, 2010-04-13 23:21:09
[3272] m2mm2010-04-13 23:21:09

Igaz-e, hogyha a>b>1 a és b valós, akkor létezik pozitív egész k,l, hogy ak<bl<2ak?

[3271] lgdt2010-03-30 19:41:05

Igen. Elnéztem.

Előzmény: [3267] R.R King, 2010-03-30 06:32:40
[3270] Ali2010-03-30 08:48:15

Korán van: \frac{1}{\sqrt{e}}, amit írtatok.

Előzmény: [3269] Ali, 2010-03-30 08:41:16
[3269] Ali2010-03-30 08:41:16

Javít: a=e-re valóban 1/e.

Előzmény: [3268] Ali, 2010-03-30 07:51:31
[3268] Ali2010-03-30 07:51:31

+\infty ha a<e, 1 ha a=e és 0 ha a>e.

Előzmény: [3265] Lóczi Lajos, 2010-03-25 22:55:31
[3267] R.R King2010-03-30 06:32:40

a=e-re adja azt a határértéket amit írtál nem?

Előzmény: [3266] lgdt, 2010-03-29 23:40:36
[3266] lgdt2010-03-29 23:40:36

Ha jól gondolom, akkor ez csak a = \frac{1}{e} esetén érdekes, és akkor meg \frac{1}{\sqrt{e}}.

Előzmény: [3265] Lóczi Lajos, 2010-03-25 22:55:31
[3265] Lóczi Lajos2010-03-25 22:55:31

Legyen a>0 adott valós szám. Mi lesz n\to\infty esetén az


\frac{(n+1)^{n^2}}{(a n^n)^n}

sorozat határértéke?

[3264] Láda192010-02-26 07:28:23

Az előző hozzászólásomban az adott helyett szerencsésebb lenne az ismert, vagy a konkrét kifejezés.

Előzmény: [3263] Láda19, 2010-02-25 19:57:00
[3263] Láda192010-02-25 19:57:00

Szerintem is függ ettől. Úgy gondolom, hogy csak adott rendezett elem k-asra lehet a problémát tárgyalni.

Előzmény: [3262] Alma, 2010-02-25 17:12:18
[3262] Alma2010-02-25 17:12:18

Szerintem függ, hogy melyik az az adott elem k-as. Vegyük például azt a leegyszerűsített esetet, hogy a kockának két oldala van: 1,2 és n=3szor dobunk.

Azok a számsorok, melyekben az 11 elemkettes pontosan egyszer fordul elő: 112 és 211.

Azok a számsorok, melyekben a 12 elemkettes pontosan egyszer fordul elő: 112, 121, 122, 212.

A két eseménynek nem egyenlő a valószínűsége.

Előzmény: [3261] Láda19, 2010-02-25 16:21:43
[3261] Láda192010-02-25 16:21:43

Lenne egy valószínűségszámítási probléma, amit a napokban kérdeztek tőlem, de még nem tudtam megoldani. Szeretném, ha valaki segítene.

Egy dobókockával n-szer dobunk, majd a dobások eredményét leírjuk egymás mellé. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számokból képezett, adott elem k-as (k<n) pontosan egyszer előfordul az n hosszúságú számsorban?

[3260] bily712010-02-25 11:50:28

Sajnos a párosítgatás módszerével nem, de más úton sikerült belátnom, hogy ha p=3k-1 és a\inZ és 1\lea\lep-1, akkor minden a-hoz létezik x egész, hogy a\equivx3 (mod p), ha pedig p=3k+1, a akkor, és csak akkor kubikus maradék, ha a(p-1)/3\equiv1 (mod p).

Előzmény: [3259] Fálesz Mihály, 2010-02-19 12:51:14
[3259] Fálesz Mihály2010-02-19 12:51:14

Újabb gondolkodnivaló. Legyen p egy 3k+1 alakú prím.

Használhatjuk-e a párosítgatás módszerét annak bizonyítására, hogy 1\lea\lep-1 akkor és csak akkor teljes köb -- kubikus maradék :-) --, azaz létezik olyan x egész, amire a\equivx3 (mod p), ha a(p-1)/3\equiv1 (mod p)?

Előzmény: [3258] Fálesz Mihály, 2010-02-19 12:41:32
[3258] Fálesz Mihály2010-02-19 12:41:32

Számomra inkább az érdekes, hogy ezzel a módszerrel primitív gyökök felhasználása nélkül is ilyen röviden be lehet bizonyítani azt, hogy a akkor és csak akkor kvadradikus maradék mod p, ha a(p-1)/2\equiv1(mod p), különben a(p-1)/2\equiv-1.

(A kis Fermat-tétel párosítgatás és Wilson-tétel nélkül is kijön a szokásos bizonyítással: összeszorozzuk az a,2a,...,(p-1)a maradékokat.)

Előzmény: [3256] bily71, 2010-02-17 23:30:28
[3257] bily712010-02-18 21:45:01

Én arra jutottam, hogy a le nem fedett számok halmaza végtelen. Gondoltmenetem a következő:

Vonjuk össze az egy modulushoz tartozó számtani sorozatokat, így minden 3-nál nagyobb prímhez kapunk egy olyan számsorozatot, amelyben két differencia váltja egymást. Írjuk fel a sorokat egymás után képzeletben. A sorok táblázatba rendezhetőek, a táblázatban a számok a prímek szorzata egyhatodának alsó, vagy felső egészrészének felelnek meg. Ezt a táblázatot azt hiszem már jól ismerjük.

Ha a le nem fedett számok halmaza véges lenne, akkor létezne k természetes szám, hogy e szám nem, de minden nála nagyobb fedett. Ez csak úgy lehetséges, ha minden új sorozat legkisebb olyan tagja, amely eddig egyik sorozatnak sem volt tagja fedi a k után következő olyan számot, amelyet az előző sorozatok nem fedtek le, (remélem eddig érthetően fogalmaztam).

Jelölje an az n-edik le nem fedett számot, bn pedig az n-edik sorozat azon legkisebb tagját, amely nem szerepelt egyik eddigi sorozatban sem. Mivel a táblázat a főátlóra szimmetrikus, ezért a_n<\left[\frac{p_n^2}{6}\right]\le{b_n}, ebből következik, hogy an<bn, így soha nem fedheti, mert az an=bn soha nem teljesül.

Jól következtettem? Eléggé tömören fogalmaztam, ha nem érthető, bővebben kifejtem.

A nem fedett számok egy nevezetes számsorozat tagjaival egyértelműen megfeleltethetőek .

Előzmény: [3253] bily71, 2010-02-16 20:04:32
[3256] bily712010-02-17 23:30:28

Két eset lehetséges:

1. a nem kvadratikus maradék modulo p. Ekkor a Wilson-tétel miatt

a^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1~(\mod{p}),

ebből

ap-1\equiv1 (mod p),

ebből

ap\equiva (mod p).

2. a kvadratikus maradék modulo p. Ekkor a Wilson-tétel miatt

a^{\frac{p-3}{2}}(-a)\equiv-1~(\mod{p}),

ebből

a^{\frac{p-1}{2}}\equiv1~(\mod{p}),

ebből ugyancsak a kis Fermat-tételt kapjuk.

(Az előző megoldásom második része részben hibás).

Előzmény: [3252] Fálesz Mihály, 2010-02-15 10:16:52
[3255] jonas2010-02-16 20:54:36

Nem, én azt állítom, hogy a következő egy lefedő rendszer:

x0\equiv0(mod p0)

x1\equiv1(mod p1)

x2\equiv-1(mod p2)

x3\equiv2(mod p3)

x4\equiv-2(mod p4)

x5\equiv3(mod p5)

stb, ahol pi mondjuk a prímszámok sorozata.

Ez akkor is működik, ha mondjuk pi=10i+1: ilyenkor a kongruenciák közül bármelyik véges sok együtt csak a természetes számok legfeljebb egy kilenced részét fedi le, mégis az összes kongruencia együtt már lefedi az összes egész számot.

Előzmény: [3248] bily71, 2010-02-14 23:10:38

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]