Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3374] Füge2010-11-29 12:43:49

És ez miért van?

[3373] R.R King2010-11-28 21:23:52

1-1/e

Előzmény: [3372] Róbert Gida, 2010-11-28 20:21:04
[3372] Róbert Gida2010-11-28 20:21:04

Helyes. Szép matematikai konstanssal mihez van közel a valószínűség?

Előzmény: [3371] Füge, 2010-11-28 19:55:48
[3371] Füge2010-11-28 19:55:48

p=1-\left(\frac{\binom{90}{5}-1}{\binom{90}{5}}\right)^\binom{90}{5}\approx 0,632

Előzmény: [3370] Róbert Gida, 2010-11-28 16:59:50
[3370] Róbert Gida2010-11-28 16:59:50

514. feladat Véletlenszerűen kitöltünk \binom {90}{5} db ötöslottó szelvényt. Mennyi a valószínűsége, hogy lesz legalább egy öttalálatosunk?

[3369] stray dog2010-11-26 16:18:14

Köszönöm szépen!

Amúgy anno kihoztam hogy ha létezik vmelyik n-re ellenpélda, akkor minden m>n-re sem lehet igaz az állítás. Jelen esetben n=5, így minden 5-nél nagyobb értékre már nem teljesül az egyenlőtlenség.

Előzmény: [3367] Tóbi, 2010-11-23 21:44:13
[3368] jonas2010-11-23 22:19:07

Ez a feladatcsokor a kedvencem, gonosz módon föladva. Ha így nehéz, kérhettek segítséget, mert tudok olyat mondani, ami még nem lő le mindent.

Legyen bármely n,k nemnegatív egészre ha n és k paritása azonos, akkor


c_{n,k} := \left(\binom{n}{(n-k)/2}-\binom{n}{(n-k-2)/2}\right),

ha viszont n és k paritása különböző, akkor cn,k:=0. Épüljön fel a C négyzetes mátrix ezekből az elemekből, vagyis valamilyen N méretre legyen


{\bf C} = \left(\matrix{
c_{0,0} & c_{0,1} & c_{0,2} & \dots & c_{0,N-1}\cr
c_{1,0} & c_{1,1} & c_{1,2} & \dots & c_{1,N-1}\cr
:\cr
c_{N-1,0} & c_{N-1,1} & c_{N-1,2} & \dots & c_{N-1,N-1}\cr
}\right)

Legyen H=CCT, azaz a H mátrix elemei

 
h_{m,n} = \sum_{0\le k} c_{m,k}c_{n,k}

511. feladat Lássuk be, hogy a H visszafele csíkozott, azaz hm,n függvénye m-n-nek. Például h7,5=h8,4=h9,3=132.

512. feladat Mennyi H determinánsa?

Legyen bármely n,k nemnegatív egészre Un(x) az x-nek az az n-edfokú polinomja, amire Un(cos \theta)=sin ((n+1)\theta)/sin \theta (ezeket másodfajú Csebisev-polinomnak hívják), és legyen un,k az xk együtthatója ebben a polinomban. Képezzük az un,k számokból is egy N méretű négyzetes U mátrixot.

513. feladat Számítsuk ki a CU szorzatot.

[3367] Tóbi2010-11-23 21:44:13

Ez pontosan az egyik kedvenc feladatom, pár éve magamtól vetettem fel, és hosszú agyalás után sikerült megoldani. Egy kis segítség a megoldáshoz:

\frac{1}{1+2}+\frac{2}{1+3}+\frac{3}{2+2}+\frac{2}{3+1}+\frac{1}{2+1}=\frac{29}{12}<\frac{5}{2}

Próbálj ellenpéldát találni minden n\geq5-re és bizonyítani n=3,4-re. Végül határozd meg a kifejezés lehetséges legkisebb értékét (infimum). (Itt nem írok végeredményt, hadd gondolkodjon más is.)

Előzmény: [3365] stray dog, 2010-11-23 12:56:09
[3366] D. Tamás2010-11-23 18:11:41

n=3 esetén pont a Nesbitt-egyenlőtlenséget kapjuk, ami nevezetes. Egyébként a feladat igazolható a Titu-lemmával és a Számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség felhasználásával.

Előzmény: [3365] stray dog, 2010-11-23 12:56:09
[3365] stray dog2010-11-23 12:56:09

Sziasztok!

Igazából nem tudom hogy ebbe a topicba való-e, de ezt találtam a megfelelőbbnek. Szóval anno még középiskolásként a következő feladattal találkoztam:

Igaz-e, hogy ha x1,x2,...,xn tetsz. poz. valós számok, és n\geq3, akkor mindig fennáll a köv. egyenlőtlenség:

\frac{x_1}{x_n + x_2} + \frac{x_2}{x_1 + x_3} \dots + \frac{x_{n-1}}{x_{n-2} + x_n} + \frac{x_n}{x_{n-1} + x_1} \geq \frac{n}{2}

Az igazsághoz hozzátartozik még, hogy akkor nem tudtam megoldani. Most, hoszzú évek után, ismét kedvet kaptam egy kis matekozáshoz, de sajnos már nem rendelkezem a megfelelő ismerettel. Így a segítségeteket kérem. Az is jó, ha vki már látta a feladatot, és megadja, hogy hol érdemes utánanézni. Nekem úgy rémlik hogy a The American Mathematical Monthly-ban szerepelt még nagyon régen (60-as évek?), és akkor még mint megoldatlan probléma. Előre is köszönöm a segítséget! :)

[3364] Róbert Gida2010-11-17 23:25:37

Igen, de KÖMAL megoldók (is) olvassák a fórumot. Nem tételeztem fel semmit.

Előzmény: [3363] nadorp, 2010-11-17 21:27:48
[3363] nadorp2010-11-17 21:27:48

Nyugi, vissza a kardot. Egyrészt már nem vagyok KÖMAL megoldó, Te meg szerencsére nem vagy javító. Másrészt ez csak egy kiinduló ötlet. Valóban még bizonyítani kell, hogy a kapott gyök jó lesz ( bár azt már fel sem tételezted rólam,hogy tudom), amire tényleg jó módszer a konvergencia bizonyítása (pld. a_1=\sqrt x, a_n=\sqrt{x\cdot a_{n-1}} monoton és korlátos)

Előzmény: [3362] Róbert Gida, 2010-11-17 20:59:02
[3362] Róbert Gida2010-11-17 20:59:02

Ez így elég pongyola. Nem indokoltad, hogy miért is lehet egy végtelen szorzatot csak úgy lecserélni. Négyzetre emeléssel hamis gyök is bejöhetett. De akár megoldást is elveszíthettél. Ha Kömal javító lennék simán kerek nulla pontot adnék egy ilyen megoldásra.

Előzmény: [3360] nadorp, 2010-11-17 15:42:56
[3361] jonas2010-11-17 16:47:46

Egyetértek. Ugyanis


\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\dots}}} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x\sqrt{x\dots}}} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{x\dots}}} = \dots = 
\sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} \dots =

=x1/2.x1/4.x1/8.x1/16...=x1/2+1/4+1/8+...=x

Előzmény: [3359] Lóczi Lajos, 2010-11-17 15:29:00
[3360] nadorp2010-11-17 15:42:56

Vagy mindkét oldalt négyzetre emelve

x\sqrt{2010}=2010

Előzmény: [3359] Lóczi Lajos, 2010-11-17 15:29:00
[3359] Lóczi Lajos2010-11-17 15:29:00

A bal oldal határértéke x.

Előzmény: [3358] lorantfy, 2010-11-16 14:56:10
[3358] lorantfy2010-11-16 14:56:10
[3356] Róbert Gida2010-11-07 22:33:18

Lehet azért ésszel is csinálni: csak azokat keresem, ahol a periódus pontosan 10 hosszú (valószínűtlen, hogy nagyobb periódus adná az optimumot). Ha r=\frac pq a rac. számunk, akkor 1010r-et kivonva r-ből egész számot kapunk, magát a periódust, azaz (1010-1)r=K egész, ahol a feltételek miatt K minden számjegyet tartalmaz 0-9-ig (K kezdődhet 0-val), így r=\frac {K}{10^{10}-1}. Ez 10! esetet jelent K-ra. Na ezeket néztem végig géppel, egyszerűsítés után a legkisebb nevezőjű r tört kell. A legkisebbet először \frac{0125398746}{10^{10}-1}=\frac {114}{9091}-nél találta meg.

Előzmény: [3352] vogel, 2010-11-07 20:37:05
[3355] Káli gúla2010-11-07 22:19:55

Szerintem eredményközlésnél elsősorban gratulációnak van hely, a lustaság firtatása kimeríti a személyeskedést, ami kerülendő.

Előzmény: [3351] HoA, 2010-11-07 19:58:13
[3354] jonas2010-11-07 22:10:56

Szerintem megoldotta, de azért nem írta le a megoldást, hogy mi is gondolkozhassunk rajta, és megpróbálhassuk kiszámolni.

Előzmény: [3351] HoA, 2010-11-07 19:58:13
[3353] Sirpi2010-11-07 20:44:48

Nem engem kérdeztetek, de azért reagálok. A feladat valószínűleg nem bennem merült fel először, de nem olvastam sehol, magamtól találtam ki, hogy meg kellene oldani. És nekem is ugyanez jött ki megoldásnak, hozzátéve, hogy rengeteg más számláló is passzol a 9091-es nevezőhöz.

Előzmény: [3352] vogel, 2010-11-07 20:37:05
[3352] vogel2010-11-07 20:37:05

Szerintem leprogramozta. Ezt nem is nagyon lehet máshogy. Vagy igen??

[3351] HoA2010-11-07 19:58:13

Ismerted a feladatot, sőt közismertnek tartottad - mint már annyiszor - és ezért koppintottál ránk az eredmény számszerű közlésével vagy megoldottad de lusta voltál leírni a megoldást?

Előzmény: [3350] Róbert Gida, 2010-11-06 23:17:36
[3350] Róbert Gida2010-11-06 23:17:36

\frac {114}{9091}

Előzmény: [3349] Sirpi, 2010-11-06 20:45:48
[3349] Sirpi2010-11-06 20:45:48

510. feladat: egy racionális számot normálisnak nevezünk, ha a tizedestört-alakjában egy periódusban mind a 10 számjegy ugyanannyiszor fordul elő (pl. 0,(2468013579)(2468013579)...).

Melyik a legkisebb pozitív egész nevező, melyhez van olyan számláló, hogy a számlálót a nevezővel elosztva a kapott hányados normális szám?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]