Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3381] Füge2010-11-30 18:12:07

Tóbi, a második részben te csak azt az esetet nézed, mikor egy szelvénnyel nyerünk nem? A véletlen miatt többel is nyerhetünk egyszerre, ilyenkor meg nagyobb részét kapjuk meg a nyereménynek\left(\frac{nN}{k}\right).Róbert Gida elmondanád kicsit részletesebben, hogy mi nem jó az én képletemben, mert nem igazán értem. Adott k érték esetén kiszámolom a nyereményem várható értékét, ezeket beszorzom a valószínűséggel, majd összegzem. Legalább is ezt akartam leírni.

[3380] Tóbi2010-11-30 01:10:28

M2-ben persze \binom{a+k-1}{i} van, nem \binom{a}{i}.

Előzmény: [3379] Tóbi, 2010-11-30 01:08:15
[3379] Tóbi2010-11-30 01:08:15

Legyen a=8000000,~k=\binom{90}{5}, a nyeremény 1. Az első esetet Füge már jól kiszámolta:

M_1=\sum_{i=1}^{a} \binom{a}{i} k^{-i}(1-\frac{1}{k})^{a-i} \frac{1}{i+1}=0.91392

A 2. estben k szelvény van, mindegyik 1/k eséllyel nyer, így a nyeremény várható értéke egyenlő egy biztosan nyerő szelvény várható értékével. Ez az előzőek szerint számolható, csak a helyett a+k-1 további szelvény rontja az esélyeinket.

M_2=\sum_{i=1}^{a+k-1} \binom{a}{i} k^{-i}(1-\frac{1}{k})^{a+k-1-i} \frac{1}{i+1}=0.58515~(<0.63212=1-e^{-1})

Az összegeket Maple-lel számoltam ki, i=100-ig.

Előzmény: [3376] Róbert Gida, 2010-11-29 15:39:04
[3378] Róbert Gida2010-11-29 22:43:33

A második nem jó: b-ből kiválasztod a telitalálatosokat, aztán pedig a \binom {90}{5} szelvényből a telitalálatosokat.

Amúgy, ha csak közelítő eredmények érdeklik az embert, akkor elég elmenni addig, hogy legfeljebb mondjuk 100 telitalálat volt (már 100-nak is roppant kicsi az esély), továbbá nem racionális számokkal számolni, hanem lebegőpontossal, ha nem akarunk több millió jegyű számokkal szórakozni.

Előzmény: [3377] Füge, 2010-11-29 20:23:06
[3377] Füge2010-11-29 20:23:06

Ha mindegyik szelvényt különbözően töltjük ki akkor biztosan 1 szelvénnyel fogunk nyerni, tehát a nyereményünk csak attól függ, hogy a többi szelvényből hány db nyert. Legyen a nyeremény: N, i db 5ös találat a 8.000.000 szelvényből és az egyszerűség kedvéért 8.000.000=a

M_1=\sum_{i=0}^a\left[\binom{a}{i}\left[\frac{1}{\binom{90}{5}}\right]^i\left[1-\frac{1}{\binom{90}{5}}\right]^{(a-i)}\frac{N}{i+1}\right]

A második részt két változóval írtam fel, összesen k db telitalálat, ebből n db a miénk. b=8.000.000+\binom{90}{5}

M_2=\sum_{k=1}^b\left[\binom{b}{k}\left[\frac{1}{\binom{90}{5}}\right]^k\left[1-\frac{1}{\binom{90}{5}}\right]^{b-k}\sum_{n=0}^k\left[\binom{\binom{90}{5}}{n}\left[\frac{1}{\binom{90}{5}}\right]^n\left[1-\frac{1}{\binom{90}{5}}\right]^{\binom{90}{5}-n}\frac{nN}{k}\right]\right]

Gondolom, erre lehetne írni egy programot, ami szépen kiszámolja, de sajnos én nem tudok. Remélem, hogy jó, mert megszenvedtem a TeX-szel mire beírtam :)

[3376] Róbert Gida2010-11-29 15:39:04

A példa amúgy az idei Ankéton szerepelt: http://www.komal.hu/hirek/anket/2010/program2010.h.shtml Juhász István előadása.

Ez viszont már saját:

515. feladat Tegyük fel, hogy amikor már sokan játszanak a nagy nyereményért 8 millió szelvény érkezik be egy héten átlagosan. Mi történik, ha csak mi beszállunk és beküldünk \binom {90}{5} szelvényt. Mikor nagyobb a várható nyereményünk és mennyi (csak az ötös nyereményosztályban), ha véletlenszerűen töltjük ki a szelvényeket, vagy, ha mindegyiket különbözően?

(Csak egy hétig játszunk. Lottónál egy adott nyereményosztályban mindenki ugyanannyit kap.)

Előzmény: [3371] Füge, 2010-11-28 19:55:48
[3375] Sirpi2010-11-29 14:16:38

Mert \lim_{n \to \infty}(1 + \frac an)^n = e^a, és most a=-1, meg van egy 1+ az elején.

Előzmény: [3374] Füge, 2010-11-29 12:43:49
[3374] Füge2010-11-29 12:43:49

És ez miért van?

[3373] R.R King2010-11-28 21:23:52

1-1/e

Előzmény: [3372] Róbert Gida, 2010-11-28 20:21:04
[3372] Róbert Gida2010-11-28 20:21:04

Helyes. Szép matematikai konstanssal mihez van közel a valószínűség?

Előzmény: [3371] Füge, 2010-11-28 19:55:48
[3371] Füge2010-11-28 19:55:48

p=1-\left(\frac{\binom{90}{5}-1}{\binom{90}{5}}\right)^\binom{90}{5}\approx 0,632

Előzmény: [3370] Róbert Gida, 2010-11-28 16:59:50
[3370] Róbert Gida2010-11-28 16:59:50

514. feladat Véletlenszerűen kitöltünk \binom {90}{5} db ötöslottó szelvényt. Mennyi a valószínűsége, hogy lesz legalább egy öttalálatosunk?

[3369] stray dog2010-11-26 16:18:14

Köszönöm szépen!

Amúgy anno kihoztam hogy ha létezik vmelyik n-re ellenpélda, akkor minden m>n-re sem lehet igaz az állítás. Jelen esetben n=5, így minden 5-nél nagyobb értékre már nem teljesül az egyenlőtlenség.

Előzmény: [3367] Tóbi, 2010-11-23 21:44:13
[3368] jonas2010-11-23 22:19:07

Ez a feladatcsokor a kedvencem, gonosz módon föladva. Ha így nehéz, kérhettek segítséget, mert tudok olyat mondani, ami még nem lő le mindent.

Legyen bármely n,k nemnegatív egészre ha n és k paritása azonos, akkor


c_{n,k} := \left(\binom{n}{(n-k)/2}-\binom{n}{(n-k-2)/2}\right),

ha viszont n és k paritása különböző, akkor cn,k:=0. Épüljön fel a C négyzetes mátrix ezekből az elemekből, vagyis valamilyen N méretre legyen


{\bf C} = \left(\matrix{
c_{0,0} & c_{0,1} & c_{0,2} & \dots & c_{0,N-1}\cr
c_{1,0} & c_{1,1} & c_{1,2} & \dots & c_{1,N-1}\cr
:\cr
c_{N-1,0} & c_{N-1,1} & c_{N-1,2} & \dots & c_{N-1,N-1}\cr
}\right)

Legyen H=CCT, azaz a H mátrix elemei

 
h_{m,n} = \sum_{0\le k} c_{m,k}c_{n,k}

511. feladat Lássuk be, hogy a H visszafele csíkozott, azaz hm,n függvénye m-n-nek. Például h7,5=h8,4=h9,3=132.

512. feladat Mennyi H determinánsa?

Legyen bármely n,k nemnegatív egészre Un(x) az x-nek az az n-edfokú polinomja, amire Un(cos \theta)=sin ((n+1)\theta)/sin \theta (ezeket másodfajú Csebisev-polinomnak hívják), és legyen un,k az xk együtthatója ebben a polinomban. Képezzük az un,k számokból is egy N méretű négyzetes U mátrixot.

513. feladat Számítsuk ki a CU szorzatot.

[3367] Tóbi2010-11-23 21:44:13

Ez pontosan az egyik kedvenc feladatom, pár éve magamtól vetettem fel, és hosszú agyalás után sikerült megoldani. Egy kis segítség a megoldáshoz:

\frac{1}{1+2}+\frac{2}{1+3}+\frac{3}{2+2}+\frac{2}{3+1}+\frac{1}{2+1}=\frac{29}{12}<\frac{5}{2}

Próbálj ellenpéldát találni minden n\geq5-re és bizonyítani n=3,4-re. Végül határozd meg a kifejezés lehetséges legkisebb értékét (infimum). (Itt nem írok végeredményt, hadd gondolkodjon más is.)

Előzmény: [3365] stray dog, 2010-11-23 12:56:09
[3366] D. Tamás2010-11-23 18:11:41

n=3 esetén pont a Nesbitt-egyenlőtlenséget kapjuk, ami nevezetes. Egyébként a feladat igazolható a Titu-lemmával és a Számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség felhasználásával.

Előzmény: [3365] stray dog, 2010-11-23 12:56:09
[3365] stray dog2010-11-23 12:56:09

Sziasztok!

Igazából nem tudom hogy ebbe a topicba való-e, de ezt találtam a megfelelőbbnek. Szóval anno még középiskolásként a következő feladattal találkoztam:

Igaz-e, hogy ha x1,x2,...,xn tetsz. poz. valós számok, és n\geq3, akkor mindig fennáll a köv. egyenlőtlenség:

\frac{x_1}{x_n + x_2} + \frac{x_2}{x_1 + x_3} \dots + \frac{x_{n-1}}{x_{n-2} + x_n} + \frac{x_n}{x_{n-1} + x_1} \geq \frac{n}{2}

Az igazsághoz hozzátartozik még, hogy akkor nem tudtam megoldani. Most, hoszzú évek után, ismét kedvet kaptam egy kis matekozáshoz, de sajnos már nem rendelkezem a megfelelő ismerettel. Így a segítségeteket kérem. Az is jó, ha vki már látta a feladatot, és megadja, hogy hol érdemes utánanézni. Nekem úgy rémlik hogy a The American Mathematical Monthly-ban szerepelt még nagyon régen (60-as évek?), és akkor még mint megoldatlan probléma. Előre is köszönöm a segítséget! :)

[3364] Róbert Gida2010-11-17 23:25:37

Igen, de KÖMAL megoldók (is) olvassák a fórumot. Nem tételeztem fel semmit.

Előzmény: [3363] nadorp, 2010-11-17 21:27:48
[3363] nadorp2010-11-17 21:27:48

Nyugi, vissza a kardot. Egyrészt már nem vagyok KÖMAL megoldó, Te meg szerencsére nem vagy javító. Másrészt ez csak egy kiinduló ötlet. Valóban még bizonyítani kell, hogy a kapott gyök jó lesz ( bár azt már fel sem tételezted rólam,hogy tudom), amire tényleg jó módszer a konvergencia bizonyítása (pld. a_1=\sqrt x, a_n=\sqrt{x\cdot a_{n-1}} monoton és korlátos)

Előzmény: [3362] Róbert Gida, 2010-11-17 20:59:02
[3362] Róbert Gida2010-11-17 20:59:02

Ez így elég pongyola. Nem indokoltad, hogy miért is lehet egy végtelen szorzatot csak úgy lecserélni. Négyzetre emeléssel hamis gyök is bejöhetett. De akár megoldást is elveszíthettél. Ha Kömal javító lennék simán kerek nulla pontot adnék egy ilyen megoldásra.

Előzmény: [3360] nadorp, 2010-11-17 15:42:56
[3361] jonas2010-11-17 16:47:46

Egyetértek. Ugyanis


\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\dots}}} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x\sqrt{x\dots}}} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{x\dots}}} = \dots = 
\sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} \dots =

=x1/2.x1/4.x1/8.x1/16...=x1/2+1/4+1/8+...=x

Előzmény: [3359] Lóczi Lajos, 2010-11-17 15:29:00
[3360] nadorp2010-11-17 15:42:56

Vagy mindkét oldalt négyzetre emelve

x\sqrt{2010}=2010

Előzmény: [3359] Lóczi Lajos, 2010-11-17 15:29:00
[3359] Lóczi Lajos2010-11-17 15:29:00

A bal oldal határértéke x.

Előzmény: [3358] lorantfy, 2010-11-16 14:56:10
[3358] lorantfy2010-11-16 14:56:10
[3356] Róbert Gida2010-11-07 22:33:18

Lehet azért ésszel is csinálni: csak azokat keresem, ahol a periódus pontosan 10 hosszú (valószínűtlen, hogy nagyobb periódus adná az optimumot). Ha r=\frac pq a rac. számunk, akkor 1010r-et kivonva r-ből egész számot kapunk, magát a periódust, azaz (1010-1)r=K egész, ahol a feltételek miatt K minden számjegyet tartalmaz 0-9-ig (K kezdődhet 0-val), így r=\frac {K}{10^{10}-1}. Ez 10! esetet jelent K-ra. Na ezeket néztem végig géppel, egyszerűsítés után a legkisebb nevezőjű r tört kell. A legkisebbet először \frac{0125398746}{10^{10}-1}=\frac {114}{9091}-nél találta meg.

Előzmény: [3352] vogel, 2010-11-07 20:37:05

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]