Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3399] Róbert Gida2010-12-30 22:11:56

518. feladat: lnko(21000000-1,31000000-1)=?

[3398] ibiro2010-12-29 22:20:00

Tényleg jó az oldal, kösz szépen. Amit ott láttam nem matematikai megoldás, tehát akit érdekel érdemes valami matematikai megoldást is keresni.

Előzmény: [3397] Tóbi, 2010-12-29 01:37:14
[3397] Tóbi2010-12-29 01:37:14

Kiszámítottam az első pár tagot, arra rákerestem, ezen az oldalon, ahol a nevezetes egész sorozatokat tartják számon. Itt van minden hivatkozás a sorozattal kapcsolatban, utána lehet nézni, ha érdekel. Egyébként valóban csak az első 43 tag egész, utána egyik sem az. Szerintem nagyon hasznos a fenti adatbázis, sokat segített volna a Kömalban is, de sajnos csak az egyetemen hallottam róla először.

Előzmény: [3396] ibiro, 2010-12-28 23:03:29
[3396] ibiro2010-12-28 23:03:29

517.feladat. Adott az (an) sorozat, ahol a1=1 és a_{n+1}=\frac{1+a_1^2+...+a_n^2}n, \foralln\ge1, n\inN.

Bízonyitsuk be, hogy a sorozat minden eleme természetes szám.

PS. Sajnos (még) nem tudom a megoldást, de valahol azt láttam hogy ez igaz a43-ig, de a44 már nem természetes.

[3395] Fálesz Mihály2010-12-26 22:26:21

Az év vége alkalmából egy Szellemes játék

[3394] jonas2010-12-10 19:28:36

Az 511-hez persze még azt a kiegészítést érdemes tudni, hogy a mátrix nullától különböző elemei éppen a Catalan-számok.

Előzmény: [3393] jonas, 2010-12-10 19:27:40
[3393] jonas2010-12-10 19:27:40

Az 511-re lényegében jó a válaszod, de csak akkor ez a képlet, ha m+n páros, különben hm,n=0.

Az 512-re jó a válaszod, a tanulság pedig az, hogy ha csak az 511-re adott képletet látnád, akkor sokkal nehezebb lenne megkapni a determinánst, mint így.

Az 513-ra vagy nem egészen jó a megoldásod, vagy a feladatot adtam fel rosszul, mert nem csupa nullák vannak a szorzatban.

Előzmény: [3392] stray dog, 2010-12-10 13:13:34
[3392] stray dog2010-12-10 13:13:34

Szia Ambrus!

Akkor a válaszok a feladataidra:

511. H_{m,n} = \binom{m+n}{\frac{m+n}{2}} - \binom{m+n}{\frac{m+n}{2}-1}

512. |H|=1

513. CU=0

Előzmény: [3368] jonas, 2010-11-23 22:19:07
[3391] SAMBUCA2010-12-09 21:56:54

A+B = C+25

Előzmény: [3390] apci, 2010-12-09 21:22:52
[3390] apci2010-12-09 21:22:52

Sziasztok! Ezzel a feladattal nem boldogulok:

[3389] Tóbi2010-12-07 22:25:50

Először is egy átfordítás nem hozhat létre kört, és amíg nincs kör, mindig lesz átfordítható csúcs. Tehát a folyamat végtelen sokáig fog tartani. Azt kellene igazolni, hogy minden csúcs végtelen sokszor átfordul. Ekkor Mariska néni eljuthat K-ból A-ba: kinéz egy tetszőleges irányítatlan K-A utat, és átmegy az egyes éleken, mikor azok a megfelelő irányba fordulnak. Tekintsünk egy minimális csúcsszámú gráfot, ahol az állítás nem igaz. Tegyük fel, hogy P olyan csúcs, ami csak véges sokszor fordul át. Ekkor egy idő után P már nem forog, és a P-ből kimenő élek száma monoton nő. Egy idő után ez is megáll. Hasonló igaz a P-ből elérhető pontokra, majd az azokból elérhetőekre is stb. Az elérhető csúcsok halmaza legyen S. Ha V(G)=S akkor egy idő után nem lenne több átfordulás, ez kizárt. Tehát néhány pont kimarad, egy idő után ezek közt zajlana minden átfordulás, mégpedig az S-el nem szomszédosak közt. Tekintsük most a V(G)\S csúcsai által adott részgráfot, és legyen ebben P' egy S-sel szomszédos pont (ilyen létezik az összefüggőség miatt). Ez egy kisebb ellenpélda lenne az állításra.

Előzmény: [3385] Fálesz Mihály, 2010-12-07 12:48:40
[3388] Sirpi2010-12-07 14:46:12

Jogos, tényleg ez volt leírva, kösz.

Előzmény: [3387] Fálesz Mihály, 2010-12-07 13:59:05
[3387] Fálesz Mihály2010-12-07 13:59:05

A második héten, amikor B a forrás, az összes B-ből induló utat meg kell fordítani.

Előzmény: [3386] Sirpi, 2010-12-07 13:20:04
[3386] Sirpi2010-12-07 13:20:04

Nagyon jó a megfogalmazás :-)

Csak lehet, hogy valamit félreértek, mert túl könnyűnek tűnik ellenpéldát gyártani:

Legyen 3 város, A, B és C, és a kezdeti kétirányú (összefüggő) úthálózat álljon az AB és BC utakból (Mariska néni A-ban lakik, C-be akar eljutni). A kezdeti irányítás legyen C->B->A, ez Mariska néninek nyilván nem fog tetszeni. Erre CB-t megfordítják: C<-B->A, de ekkor B lesz forrás, így CB-t megint megfordítják: C->B->A s.í.t., Mariska néni pedig hoppon marad (persze ha másodszor nem CB-t, hanem BA-t fordítjuk meg, akkor meg is van a kívánt út, szóval meg lehet oldani, hogy eljusson, de azt is, hogy ne).

Ja, és ez nem csak 3 városra ellenpélda, mert nyilván ha B-be becsatlakozik még egy csomó másik út, mondjuk mind B-ből kifelé, akkor is ugyanezt el lehet mondani).

Előzmény: [3385] Fálesz Mihály, 2010-12-07 12:48:40
[3385] Fálesz Mihály2010-12-07 12:48:40

516. feladat (Valamikor réges-régen, egy nem annyira távoli galaxisban, olimpiai előkészítőn volt.)

 

Bergengóciában olyan az úthálózat, hogy a városok közötti utak nem ágaznak el, minden út két várost köt össze. Az úthálózat összefüggő, vagyis az utakon bármelyik városból bármelyik városba el lehetett jutni --- legalábbis a múlt hétig. A világgazdasági válság miatt ugyanis a bergengóc kormány változatos megszorításokra kényszerült. Az Utazásról Leszoktató Minisztérium például a következőket rendelte el:

56789/2010. Min. rendelet a helyváltoztatás szabadságának megőrzéséről és védelméről

1.§ (a) Az ország mindegyik útját egyirányúsítani kell.

(b) Az utak irányítását olyan módon kell megválasztani, hogy ne lehessen körbe utazni több város között.

Az intézkedés bevezetése ellen hevesen tiltakoztak a kukutyiniak, mert hozzájuk minden út befelé vezetett, és emiatt sehova nem tudtak utazni. A demonstráció vezérszónoka Mariska néni volt, aki az unokahúga nagybátya sógorának a régi kollégiumi szobatárását szerette volna meglátogatni Alsómocsoládon. A tiltakozások eredményeként a minisztérium a következővel egészítette ki a rendeletet:

2.§ (a) Minden héten, ha van olyan város, ahonnan csak kifelé vezet út, akkor ezek közül ki kell választani az egyiket, és az innen kifelé vezető utak irányítását meg kell fordítani.

(b) Az (a) pont rendelkezéseiben előírtaktól eltekintve, a többi út irányítása nem változik.

Eljuthat-e Mariska néni Kukutyinból Alsómocsoládra?

[3384] Tóbi2010-12-01 02:43:46

Tényleg van explicit megoldás. Ha k lehetséges végkimenetel van, a idegen egymástól függetlenül a szelvényt vesz, mi pedig k darabot, akkor a nyereményünk várható összege \lambda=\frac{a}{k} jelöléssel:

M_1=\frac{k}{a}(1-(1-1/k)^a)\sim \frac{k}{a}(1-e^{-a/k})=\frac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}

ha különböző szelvényeket veszünk,

M_2=\frac{k}{a+k}(1-(1-1/k)^{a+k})\sim \frac{k}{a+k}(1-e^{-(a+k)/k})=\frac{1-e^{-(\lambda +1)}}{\lambda +1}

ha véletlenszerűen töltjük ki a szelvényeket.

Előzmény: [3383] Róbert Gida, 2010-11-30 21:22:46
[3383] Róbert Gida2010-11-30 21:22:46

Persze i=0-tól kell összegezni. Később vettem észre, hogy a szumma kifejezhető explicit alakban is (végig összegezve, azaz i=100-nál nem állunk meg)!

Előzmény: [3380] Tóbi, 2010-11-30 01:10:28
[3382] Róbert Gida2010-11-30 21:20:15

Itt szerintem neked feltételes valószínűséget kéne számolnod, ha összesen k darab telitalálat volt, akkor mennyi a valószínűsége, hogy ebből nekünk n darab telitalálatunk volt (persze 0\len\lek). Amit te csinálsz a második szummában sehol nem jelenik meg k a valószínűségben, mást számolsz.

Az, hogy rossz, legkönnyebben úgy látod: b=k azaz, ha minden szelvény telitalálatos, ekkor persze csak az lehet, hogy az összes szelvényünk nyert, ami a te formuládból nem következik.

Egyszerűbb egyébként úgy számolni, hogy k1 darab telitalálat volt a 8 millió szelvényből, és k2 darab volt nekünk (dupla szumma lesz itt is). Tóbi megoldása mindenesetre szellemesebb és rövidebb.

Előzmény: [3381] Füge, 2010-11-30 18:12:07
[3381] Füge2010-11-30 18:12:07

Tóbi, a második részben te csak azt az esetet nézed, mikor egy szelvénnyel nyerünk nem? A véletlen miatt többel is nyerhetünk egyszerre, ilyenkor meg nagyobb részét kapjuk meg a nyereménynek\left(\frac{nN}{k}\right).Róbert Gida elmondanád kicsit részletesebben, hogy mi nem jó az én képletemben, mert nem igazán értem. Adott k érték esetén kiszámolom a nyereményem várható értékét, ezeket beszorzom a valószínűséggel, majd összegzem. Legalább is ezt akartam leírni.

[3380] Tóbi2010-11-30 01:10:28

M2-ben persze \binom{a+k-1}{i} van, nem \binom{a}{i}.

Előzmény: [3379] Tóbi, 2010-11-30 01:08:15
[3379] Tóbi2010-11-30 01:08:15

Legyen a=8000000,~k=\binom{90}{5}, a nyeremény 1. Az első esetet Füge már jól kiszámolta:

M_1=\sum_{i=1}^{a} \binom{a}{i} k^{-i}(1-\frac{1}{k})^{a-i} \frac{1}{i+1}=0.91392

A 2. estben k szelvény van, mindegyik 1/k eséllyel nyer, így a nyeremény várható értéke egyenlő egy biztosan nyerő szelvény várható értékével. Ez az előzőek szerint számolható, csak a helyett a+k-1 további szelvény rontja az esélyeinket.

M_2=\sum_{i=1}^{a+k-1} \binom{a}{i} k^{-i}(1-\frac{1}{k})^{a+k-1-i} \frac{1}{i+1}=0.58515~(<0.63212=1-e^{-1})

Az összegeket Maple-lel számoltam ki, i=100-ig.

Előzmény: [3376] Róbert Gida, 2010-11-29 15:39:04
[3378] Róbert Gida2010-11-29 22:43:33

A második nem jó: b-ből kiválasztod a telitalálatosokat, aztán pedig a \binom {90}{5} szelvényből a telitalálatosokat.

Amúgy, ha csak közelítő eredmények érdeklik az embert, akkor elég elmenni addig, hogy legfeljebb mondjuk 100 telitalálat volt (már 100-nak is roppant kicsi az esély), továbbá nem racionális számokkal számolni, hanem lebegőpontossal, ha nem akarunk több millió jegyű számokkal szórakozni.

Előzmény: [3377] Füge, 2010-11-29 20:23:06
[3377] Füge2010-11-29 20:23:06

Ha mindegyik szelvényt különbözően töltjük ki akkor biztosan 1 szelvénnyel fogunk nyerni, tehát a nyereményünk csak attól függ, hogy a többi szelvényből hány db nyert. Legyen a nyeremény: N, i db 5ös találat a 8.000.000 szelvényből és az egyszerűség kedvéért 8.000.000=a

M_1=\sum_{i=0}^a\left[\binom{a}{i}\left[\frac{1}{\binom{90}{5}}\right]^i\left[1-\frac{1}{\binom{90}{5}}\right]^{(a-i)}\frac{N}{i+1}\right]

A második részt két változóval írtam fel, összesen k db telitalálat, ebből n db a miénk. b=8.000.000+\binom{90}{5}

M_2=\sum_{k=1}^b\left[\binom{b}{k}\left[\frac{1}{\binom{90}{5}}\right]^k\left[1-\frac{1}{\binom{90}{5}}\right]^{b-k}\sum_{n=0}^k\left[\binom{\binom{90}{5}}{n}\left[\frac{1}{\binom{90}{5}}\right]^n\left[1-\frac{1}{\binom{90}{5}}\right]^{\binom{90}{5}-n}\frac{nN}{k}\right]\right]

Gondolom, erre lehetne írni egy programot, ami szépen kiszámolja, de sajnos én nem tudok. Remélem, hogy jó, mert megszenvedtem a TeX-szel mire beírtam :)

[3376] Róbert Gida2010-11-29 15:39:04

A példa amúgy az idei Ankéton szerepelt: http://www.komal.hu/hirek/anket/2010/program2010.h.shtml Juhász István előadása.

Ez viszont már saját:

515. feladat Tegyük fel, hogy amikor már sokan játszanak a nagy nyereményért 8 millió szelvény érkezik be egy héten átlagosan. Mi történik, ha csak mi beszállunk és beküldünk \binom {90}{5} szelvényt. Mikor nagyobb a várható nyereményünk és mennyi (csak az ötös nyereményosztályban), ha véletlenszerűen töltjük ki a szelvényeket, vagy, ha mindegyiket különbözően?

(Csak egy hétig játszunk. Lottónál egy adott nyereményosztályban mindenki ugyanannyit kap.)

Előzmény: [3371] Füge, 2010-11-28 19:55:48
[3375] Sirpi2010-11-29 14:16:38

Mert \lim_{n \to \infty}(1 + \frac an)^n = e^a, és most a=-1, meg van egy 1+ az elején.

Előzmény: [3374] Füge, 2010-11-29 12:43:49

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]