Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[343] Hajba Károly2004-04-27 00:15:48

Kedveseim!

Az alábbi feladatok még megoldóra várnak. Kellemes töprendést!

HK

[342] Csimby2004-04-23 14:09:11

Kedves Géza, Onogur és Mindenki aki veszi a fáradságot, hogy nyomonkövesse a szigetes feladat megoldását!

Azért nem írok (legalábbis egyenlőre) olyan hozzászólást amiben minden benne van, mert vki úgyis beleköt (ez persze nem baj) és akkor írhatnám újra az egészet. Egyenlőre tehát a legutóbb feltett kérdésekre válszolok:

I. Esetleg valaki meg is előzhette a-t? A hittérítők sorban haladnak, nem hagyhatnak ki falut és egy faluban egyszerre csak egy hittérítő tartózkodhat, tehát nincsen előzés.

II. Ha az a-ból induló misszionárius b-ben végzi, miért ne indulhatott volna közben más pap a kettő között? [326] hozzászólás: "ha lettek volna innen induló papok, akkor a pap meghalt volna az a faluhoz legözelebbi ilyen indulási faluban" (legyen ez a falu y ) Bővebben: Az a és b falu között indulók közül y az a-hoz legközelebbi indulásipont, tehát az a és b között indulók közül csak y járhatott y-ban. Mivel feltettük, hogy időben a az első hittérítő, és I.szerint nicsen előzés, ezért nem lehetséges az sem, hogy valaki a falu előttről indult és így jutott el az a utáni falutól y-ig tartó partszakszra. Tehát a-tól y-ig még senki sem járt egy faluban sem, y-ban pedig egy ember járt, vagyis ha lenne ilyen y falu, akkor a pap y-ban halt volna meg és nem b-ben. Ami ellentmondás! Ebből az is következik, hogy az a-tól a halálozási falujáig, (b-ig) terjedő partszakaszon a-n kívül senki sem indult időben b előtt.

Ha a b-ből induló misszionárius c-ben végzi, nem indulhatott volna közben más pap a kettő között, mert: ha lettek volna innen induló papok, akkor b pap meghalt volna a b faluhoz legözelebbi ilyen indulási faluban. (legyen ez a falu z ) Bővebben: A b és c falu között indulók közül z a b-hez legközelebbi indulásipont, tehát a b és c között indulók közül csak z járhatott z-ben. Mivel az a-tól b-ig terjedő partszakaszon a-n kívül senki sem indult időben b előtt, és I.szerint nicsen előzés, ezért nem lehetséges az sem, hogy valaki b falu előttről indult és így jutott el a b utáni falutól z-ig tartó partszakszra. Tehát b-től z-ig még senki sem járt egy faluban sem, z-ben pedig egy ember járt, vagyis ha lenne ilyem z falu, akkor b pap z-ben halt volna meg és nem c-ben. Ami ellentmondás! Ebből az is következik, hogy a b-től b halálozási falujáig, (c-ig) terjedő partszakaszon b-n kívül senki sem indult időben c előtt.

Bármely két falura bizonyítható az állítás ugyanezzel a gondolatmenettel ...

III. Ha az x-edik faluba megérkezik a majd b , akkor x=a vagy x=b? Azt feltettem, hogy a és b az első két ember aki x-ben jár, tehát a és b közül a második aki oda ér biztosan meghal (legyen ez b). De II. szerint b és a között nem indulhatott senki, tehát a-nak x-ből kellett indulnia.

Csimby

[341] Hajba Károly2004-04-22 20:08:44

77. feladat: (Felesben legel e kecske)

Egy kecskepásztor egyik nap egy kerek legelőre vitte ki egyetlen kecskéjét legelni. De hogy ne kelljen másnap újabb legelő után nézni, úgy szeretné kikötni, hogy csak a legelő felét tudja a kecskéje lelegelni. A karót a legelő szélén verte le. Milyen hosszúra kell a kecske kötelékét engednie?

HK

[340] Kós Géza2004-04-22 16:52:21

Kedves Csimby,

Ha nem veszed zokon, még egy kicsit megdolgoztatlak. A túrórudi csak teljes megoldásért jár, amin nem fog semmilyen javítói kötekedés. :-)

Egy KöMaL-javító szinte minden mondat végén odaírná pirossal, hogy "Miért?". Például miért igaz, hogy ha az x-edik faluba megérkezik a majd b, akkor x=a vagy x=b? Ha az a-ból induló misszionárius b-ben végzi, miért ne indulhatott volna közben más pap a kettő között? (Esetleg valaki meg is előzhette a-t...)

Mindez persze csak akadékoskodás, de azért nem értelmetlen. Egy teljes megoldásban nem lehetnek ilyen homályos pontok, mert ezek hibák forrásai lehetnek. Én úgy látom, hogy közel vagy a megoldáshoz, sok mindent látsz, amin múlik, de a megoldás pontos leírása még mindig hiányzik. (Jó lenne az elejétől a végéig leírni, nem olyan hosszú, és könnyebb elolvasni, ha nem hivatkozik korábi hozzászólásokra.)

Géza

Előzmény: [339] Csimby, 2004-04-22 00:20:43
[339] Csimby2004-04-22 00:20:43

Kedves Onogur!

Legyen x olyan falu ahol 2-nél többen is megfordultak. Legyen az első két ember aki járt x-ben a és b. Ekkor x=a vagy x=b, legyen most x=a. Tehát b pap a faluban halt meg. Vagyis a és b azon papok csoportjába tartozik, akiket [326]-os hozzászólásomban a megoldás elején felsoroltam. De az ebbe a csoportba tartozó papok "váltják" egymást (onnan következik egy új ahol a régi meghalt) vagyis elképzelhetetlen, hogy egy harmadik c pap is átmenjen x-en (ha c is a papoknak ebbe a csoportjába tartozik), mert az ebbe a csoportba tartozó papok útvonalai pontosan lefedik a partot és nincs olyan szakasz amin két pap járt volna. A másik csoportba tartozó papok sem mehetnek át x-en, mert x-ből nem indulhatnak (hiszen onnan már a indult) és ők az induló falujukban meghalnak.

Előzmény: [338] Hajba Károly, 2004-04-21 22:15:25
[338] Hajba Károly2004-04-21 22:15:25

Kedves Csimby!

A feladat szép és elegáns befejezéséhez azt kellene kizárni, hogy semmi szín alatt nem jöhet egy faluba 2-nél több térítő. (Természetesen nem lehet ilyen ellenpéldát mutatni, de bizonyítani igen.)

HK

Előzmény: [337] Csimby, 2004-04-21 15:39:02
[337] Csimby2004-04-21 15:39:02

Tehát ha jó az amiket leírtam, akkor mindegyik faluba pontosan 2 pap érkezik (összesen). Ez egy kicsit meglepő, de most hirtelenjében nem találok ellenpéldát...

Előzmény: [336] Csimby, 2004-04-21 15:15:13
[336] Csimby2004-04-21 15:15:13

Kedves Onugor!

A térítőket két csoportra oszthatjuk: Akik beleférnek a megoldásom elején adott felsorolásba és akik nem. A két csoport közül melyiknél gondolod, hogy fenn állhat ez a problema? (én úgy gondolom, egyikben sem)

Előzmény: [335] Hajba Károly, 2004-04-21 13:49:04
[335] Hajba Károly2004-04-21 13:49:04

Kedves Csimby!

A megoldásod helyes, de elvileg nincs kizárva egy olyan fiktív eset, mikor a vizsgált térítőnk esetleg úgy érkezik egy pogány faluba, hogy ott már két térítő is járt. (Az egyik térített a másik vacsora lett :o) Ha ilyen eset létrejöhetne, akkor két falu térített maradna, s ez befolyásolhatja a végeredményt.

HK

Előzmény: [325] Csimby, 2004-04-20 23:50:43
[334] Hajba Károly2004-04-21 13:27:48

Kedves Zoli!

Gratula és fürge voltál.

HK

Előzmény: [333] SchZol, 2004-04-21 12:45:26
[333] SchZol2004-04-21 12:45:26

76.feladat megoldása:

Mivel az N-dik lépcső fokra az N-1. vagy N-2. lépcsőről juthatunk el ezért N. lépcsőfokra annyi eset van, mint az N-1. és N-2. összegére. Tehát a Fibonacci sorozat N+1. eleme adja meg, hogy az N. lépcsőre hányféleképpen tudunk feljutni. (Mert az első lépcsőre 1 másodikra 2 féleképpen stb tudunk jutni.)

Üdv, Zoli

Előzmény: [332] Hajba Károly, 2004-04-21 11:57:52
[332] Hajba Károly2004-04-21 11:57:52

76. feladat:

Hányféleképpen lehet N lépcsőfokon 1 vagy 2 lépcsőfokot lépve felmenni.

HK

[331] Hajba Károly2004-04-21 11:54:03

75. feladat:

Vegyünk 1000 darab egységkockát, mely egy része fémből, másik része fából van. Legfeljebb hány fémkockák lehet beépíteni egy belőlük kialakított nagy 10*10*10-es kockába úgy, hogy ezen nagykocka bármely két szemközti lapja között ne legyen fémes vezetőképesség. (Az egységkockák élei legömbölyítettek, tehát csak két lapszomszédos fémkocka között fut áram)?

HK

ps: A megoldásról Sirpinek van egy szép ábrája, gondolom a végén majd beilleszti, s aki ismeri mélyen hallgasson. :o)

[330] Hajba Károly2004-04-21 08:57:16

Ragozzuk tovább a 74. feladatot:

Keressünk 2-es, 3-as, stb. számrendszer alapszámaira hasonló táblázatokat. Pl a 2-esre:

... db 0

... db 1

HK

Előzmény: [329] Hajba Károly, 2004-04-21 08:53:34
[329] Hajba Károly2004-04-21 08:53:34

Kedves Zoli!

Na, így már jó. De ahogy gyermekkorunk cirkuszi bohóca mondta, mikor elvették tőle a hegedűjét:

Van másiiiiiiiiiiiiiiiiik!!! :o)

HK

Előzmény: [328] SchZol, 2004-04-21 08:45:54
[328] SchZol2004-04-21 08:45:54

Akkor talán így jó lesz:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1db 7db 3db 2db 1db 1db 1db 2db 1db 1db

Előzmény: [327] Hajba Károly, 2004-04-21 08:30:43
[327] Hajba Károly2004-04-21 08:30:43

Kedves Zoli!

Valamit félreérthettél, mivel minden szám szerepel már egyszer a táblázatban, így a kitöltendő helyre 0 már nem kerülhet, de legalább 1 vagy nagyobb számnak kell lennie.

A már beírt és a még beírandó számok figyelembevételével kell kitölteni a táblázatot. :o)

HK

Előzmény: [326] SchZol, 2004-04-21 07:47:45
[326] SchZol2004-04-21 07:47:45

74.feladat megoldása:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6db 2db 1db 0db 0db 0db 1db 0db 0db 0db

Remélem jól értettem a feladatot!

Előzmény: [324] Hajba Károly, 2004-04-20 23:31:13
[325] Csimby2004-04-20 23:50:43

Újabb próbálkozás a 3. feladat megoldására és a túrórudi másik felének megszerzésére:

Megpróbáltam átgondolni azt a megoldást amit hónapokkal ezelőtt írtam és megpróbálom kicsit összeszedettebben leírni, de a lényeg ugyanaz:

Az abc kis betűi nem a konkrét papokra és falujukra utalnak, hanem változónevek. (de x paphoz most is x falu tartozik) Legyen időben az első hittérítő: a, ő a faluból indul. Legyen az a falu, ahol meghal: b. Az a és b között terjedő partszakaszról biztosan nem indult még senki mire a pap b faluba ért (hiszen ha lettek volna innen induló papok, akkor a pap meghalt volna az a faluhoz legözelebbi ilyen indulási faluban). Tekintsük most a b papot. Ő b-ből indult. Az a falu amelyben megették legyen c. A b és c között terjedő partszakaszról még biztosan nem indult senki sem mire b pap a c faluba ért. Vizsgáljuk a c papot. Ő c-ből indult. Az a falu amelyben megették legyen d. A c és d között terjedő partszakaszról még biztosan nem indult senki sem mire c pap a d faluba ért. ... Így szépen végighaladunk óramutatóval ellentétes irányban a szigeten (mindig az a következő pap akinek az útját így végig követjük, aki onnan indult, ahol az előző meghalt). Előbb-utóbb találunk egy olyan papot, aki az a faluban halt meg, hiszen ebből a "papmegfigyelő" módszerből amit leírtam világos, hogy az ilyen módon megfigyelt papok közül semelyik kettő sem halhatott meg ugyanabban a faluban, de mivel 26 falu és 26 pap van, biztosan lesz aki a faluban halt meg. Ez még nem jelenti azt, hogy már minden pap meghalt, minden falu pogány lett. De most már olyan helyzetben vagyunk, hogy azok a faluk amelyekből eddig indultak papok, pogányok lettek (hiszen utoljára mindegyikben megettek egy papot). Időben azoktól a papoktól függetlenül akikkel már foglalkoztam, akármikor akár honnan ha indul egy pap akivel eddig még nem foglalkoztam , az rögtön meghal, hiszen azok a faluk amikből eddig nem indultak papok, hívő faluk lettek (akkor amikor ezek a faluk még pogány faluk voltak, nem indulhattak onnan, hiszen akkor ezekkel a papokkal már foglalkoztunk volna, az elején a felsorolásban). Így az összes indulási falu pogány lesz, vagyis mind a 26 falu pogány lesz.

[324] Hajba Károly2004-04-20 23:31:13

74. feladat:

Töltsétek ki helyesen azalábbi táblázatot:

[323] Kós Géza2004-04-20 11:40:35

Mi a helyzet az emberevők szigetével? Jó lenne megbeszélni a megoldást.

[322] Csimby2004-04-19 01:17:18

Kedves László!

A feladatot jól értetted, de sajnos ez:

"Ez azt jelenti, hogy van legalább egy piros mező, amely nem érhető el másik piros mezőről sem vizszintes, sem függőleges sorból, sem átlósan. Tehát ezen piros mező sorában, oszlopában és átlóiban csak kék mezők állhatnak. "

Nem igaz! Először én is itt száltam el ... Elég könnyű olyan konstrukciót mutatni, ahol noha nem bejárható egy szín, mégis az ezzel a színnel színezett négyzetek mindegyikéhez van vele egy átlóban/sorban/oszlopban másik ugyanilyen színű négyzet és így ketten (vagy esetleg még többen) alkotnak olyan elszigetelt csoportot amely nem kapcsolódik a többi, ugyanilyen színű négyzethez.

Egyenlőre tehát csak annyit tehetünk fel, hogy ha egy szín nem bejárható, akkor van legalább két erre a színre színezett négyzet amely nincs egy átlóban/oszlopban/sorban.

Előzmény: [321] lorantfy, 2004-04-19 00:18:28
[321] lorantfy2004-04-19 00:18:28

Kedves Csimbi!

Remélem jól értem a feladatot és egy adott szinű mezőre a bejáráskor többször is ráléphetünk.

71. feladat megoldása: Színezzük ki a sakktáblánkat két színnel, pl. piros és kék és tegyük fel, hogy mondjuk a piros színű mezők nem járhatók be a királynővel a kívánt módon.

Ez azt jelenti, hogy van legalább egy piros mező, amely nem érhető el másik piros mezőről sem vizszintes, sem függőleges sorból, sem átlósan. Tehát ezen piros mező sorában, oszlopában és átlóiban csak kék mezők állhatnak.

Ez viszont azt jelenti, hogy ezekből a kék mezőkből a tábla minden sorában és oszlopában álló kék mező elérhető, hiszen nincs olyan sor vagy oszlop melyben ne lenne legalább egy kék mező. ( Az ábrán üresen hagyott mezők lehetnek kékek vagy pirosak.)

Előzmény: [316] Csimby, 2004-04-16 21:46:51
[320] lorantfy2004-04-18 18:35:16

Kedves Suhanc!

Kösz az egyszerű megoldást! Az összeg tényleg mindig 260 lesz!

Én úgy csináltam, hogy legyen a sorok száma s és számozzunk 0-tól 7ig és legyen az oszlopok száma o, itt 1-től 8-ig számozunk. Ekkor a mezőre írt számok 8s+o alakban írhatók. Mivel minden oszlopból és sorból kell választanunk, minden s és o érték elő fog fordulni, így

S=(0+1+2+3+4+5+6+7)8+(1+2+3+4+5+6+7+8)=260 lesz.

Ha a mezők számozását 0-val kezdjük és a számokat 8-as számrendszerbe írjuk át, akkor mindkét helyiértéken minden számnak elő kell fordulnia. Igy a számok összege:

(0+1+2+3+4+5+6+7)(8+1)=252

De minden számot meg kell növelnünk 1-el. Mivel 8 számot választottunk ki, az összeg: 252+8=260.

nxn-es tábla esetén n alapú számrendszerbe írhatjuk át...

Előzmény: [318] Suhanc, 2004-04-17 22:12:21
[319] Hajba Károly2004-04-18 14:03:32

Kedves László és Suhanc!

Ismerek egy ehhez hasonló kis feladatot én is. Íme a 73. feladat:

Adott egy nagy táblázat, számokkal kitöltve. Vesszük minden sorból a legkisebbet, ezek közül a legnagyobbikat megjelöljük pirossal. Vesszük minden oszlopból a legnagyobbat, ezek legkisebbikét megjelöljük kékkel. Mit mondhatunk a két megjelölt szám viszonyáról?

HK

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]