Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3508] bily712011-11-05 11:52:13

Egy erősebb állítás is igaz: \foralls\inN* \existsq\inP : u<s,

ahol u a q kitevője a \prod_{a\in{A_q}}a=q^{u}\cdot{v} szorzatban (u,v\inN), ugyanis, ha az ellenkezője igaz, vagyis \existss\inN* \forallq\inP : u\ges, akkor \prod_{q\in{\rm{p}}}\frac{q^s}{q^{s}-1}\ge1 az előző feladat megoldásában részletezett okok miatt, de ez nem lehet, ugyancsak az ott részletezett okok miatt, tehát az eredeti állítás az igaz..

Előzmény: [3506] bily71, 2011-11-05 09:42:29
[3507] bily712011-11-05 09:46:44

Javítás: "alakú lesz, ahol r\ge1".

Előzmény: [3506] bily71, 2011-11-05 09:42:29
[3506] bily712011-11-05 09:42:29

Tegyük fel az ellenkezőjét: \existss\inN* \forallq\inP : |Aq|\ges!

Ekkor egyrészt \prod_{q\in{\rm{P}}}\frac{q^s}{q^{s}-1}\le1, mivel a szorzat számlálójában minden prím kitevője s és a nevezőben minden prím s-nél nagyobb kitevővel szerepel, továbbá a számlálóban és a nevezőben is előfordul az összes prím, ezért az egyszerűsítések végrehajtása után \prod_{q\in{\rm{P}}}\frac{q^s}{q^{s}-1}=\frac1r alakú lesz, ahol r>1,

másrészt \prod_{q\in{\rm{P}}}\frac{q^s}{q^{s}-1}>1, mivel bármely q-ra \frac{q^s}{q^{s}-1}>1, így ezek szorzata is nagyobb, mint egy.

Ellentmondásra jutottunk, amiből következik, hogy a feltevésünk hamis, vagyis az ellenkezője igaz: \foralls\inN* \existsq\inP : |Aq|<s.

Megjegyzés: Használhattuk volna azt is, hogy \prod_{q\in{\rm{P}}}\frac{q^s}{q^{s}-1}=\prod_{q\in{\rm{P}}}\frac1{\frac{q^{s}-1}{q^{s}}}=\prod_{q\in{\rm{P}}}\frac1{1-\frac1{q^{s}}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}>1, mivel 1=\frac1{1^s}<\frac1{1^s}+\frac1{2^s}<\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}.

Ennél több is igaz: végtelen sok ilyen q létezik, ugyanis, ha véges sok lenne, akkor az egyszerűsítések végrehajtása után \prod_{q\in{\rm{P}}}\frac{q^s}{q^{s}-1}="\frac{t}{\infty}"=0-át kapnánk, ahol t\inN*.

Felmerül a kérdés, hogy \existsq\inP : |Aq|=0? Ha van, akkor hány ilyen q van?

Előzmény: [3505] bily71, 2011-11-03 21:42:36
[3505] bily712011-11-03 21:42:36

534. feladat. Legyen A:={ap\inP, s\inN*a=ps-1}, ahol s rögzített, P={ prímek}, N*={1,2,3,...}.

Mutassuk meg, hogy \foralls\inN* \existsq\inP : |Aq|<s,

ahol Aq:={aq\inP, a\inAq|a}, ahol q|a jelentése: q osztója a-nak, (Aq\subsetA)!

[3504] jonas2011-10-28 17:57:58

Azt hiszem, mivel elég rég óta nem szólt hozzá senki, most már elárulhatom, melyik ismert geometriai tétel is a [3489] hozzászólás-beli feladat.

A Papposz-Pascal tételről van szó. Ennek a kimondását és egy analitikus bizonyítást meg lehet találni a Reiman: Geometria és határterületei könyvben a 17.4. szakaszban.

Előzmény: [3496] Lóczi Lajos, 2011-10-09 15:55:52
[3503] jonas2011-10-10 21:25:11

Egyébként nektek sosincs bűntudatotok, ha itt olyan jó feladatokat adtok föl, amit jobban is föl lehetne használni, mondjuk KöMaL feladatnak, más versenyre, vagy valamilyen gyakorlaton házi- vagy vizsgafeladatként?

[3502] Lóczi Lajos2011-10-10 21:23:56

Igen, valóban, és c jelenti a harmadik deriváltat.

Előzmény: [3501] jonas, 2011-10-10 21:18:37
[3501] jonas2011-10-10 21:18:37

Azt mondod, a térgörbékhez kapcsolódik? Akkor biztos az a jeleti a görbe általános pontjának első deriváltját, mivel az szerepel legtöbbször; b talán a második derivált és így az (a×bb mondjuk a görbület iránya.

Előzmény: [3497] Lóczi Lajos, 2011-10-09 16:31:48
[3500] jonas2011-10-10 14:50:56

Úgy tűnik, az 533. feladatnak 0 az eredménye.

Előzmény: [3497] Lóczi Lajos, 2011-10-09 16:31:48
[3499] jonas2011-10-09 17:53:04

Miért maradt ki a d betű? Talán azért, hogy egyértelmű legyen, egyrészt az a,b,c vektorok tartoznak egybe (látható is a képletekből, hogy lehet egymás között cserélgetni őket), a d,e,f vektorok pedig egy másik hármast alkotnak. (Mi lehet a d vektor? Nos, d=r×s=s×t=t×r.)

Hogy melyik geometriai tétel van a háttérben, azt még nem mondom el, hadd gondolkozzon egy kicsit a többi olvasó.

Előzmény: [3496] Lóczi Lajos, 2011-10-09 15:55:52
[3498] jonas2011-10-09 17:09:56

Igen, azt hiszem az “antikommutatív” tényleg jobb. Továbbá azt kellett volna írnom, hogy a skaláris szorzat és a vektoriális szorzat is “bilineáris”, vagyis bármely tényezőben lineáris.

Utánanéztem ennek a Jacobi-azonosságnak. Azt mondja ki, hogy bármely x,y,z térbeli vektorokra

(x×yz+(y×zx+(z×xy=0

Nekem ez az azonosság nem volt túl ismerős. Megnéztem: a Reiman könyvben nem szerepel (ez a régi, 1986-os kiadás).

Az arányossági konstans látható a [3491] hozzászólás-beli bizonyításból: a tényező a -cd=-(a×b)c vegyes szorzat.

Előzmény: [3495] Lóczi Lajos, 2011-10-09 15:48:06
[3497] Lóczi Lajos2011-10-09 16:31:48

Itt van végül még egy azonosság. Legyenek a, b és c térvektorok, jelölje . a skaláris, × pedig a vektoriális szorzást.

533. feladat. Számítsuk ki az alábbi kifejezés értékét:

[(a×ca+(a×bb][(a×b).(a×b)][a.a]-[(a×ba][((a×ba).((a×ca+(a×bb)]+a[(a×b).(a×b)]2-(a×b)[a.a]2[(a×b).c]

Végül egy kérdés:

-- vajon melyik geometriai tétel áll a háttérben? (Segítség: a [3486]-beli és a fenti azonosság a térgörbék tulajdonságainak leírásához használt egyik klasszikus formulahármas lineáris algebrai bizonyításánál használható fel. A harmadik szükséges azonosság [3491]-ben már szerepelt.)

[3496] Lóczi Lajos2011-10-09 15:55:52

Az állítás igaz, mert

r+s+t=0.

Két kérdés:

-- miért maradt ki a betűzésből a d betű (a,b,c,e,f)?

-- melyik geometriai tétel van a háttérben?

Előzmény: [3489] jonas, 2011-10-07 16:41:32
[3495] Lóczi Lajos2011-10-09 15:48:06

Csak három megjegyzés:

-- a "negatív kommutatív" helyett inkább az antikommutatív a bevett szóhasználat

-- a vektoriális szorzat fontos tulajdonsága még pl. a Jacobi-azonosság is

-- a feladatbeli két vektor párhuzamosságát mutató arányossági konstans abszolút értéke éppen az a, b és c vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata

Előzmény: [3491] jonas, 2011-10-08 19:43:27
[3494] lorantfy2011-10-09 08:54:39

Valóban, nem mindig ellentétes irányú. A c vektortól függően lehet azonos irányú is.

Előzmény: [3492] jonas, 2011-10-08 19:50:47
[3493] jonas2011-10-09 00:55:05

Van olyan egyszerű módszer, amivel az ilyen feladatokat mindig meg lehet oldani úgy is, hogy csak ezekhez hasonló vektor azonosságokat alkalmazunk, nem pedig koordinátánként írjuk föl őket? Én nem tudom a választ, de kíváncsi lennék rá.

Előzmény: [3491] jonas, 2011-10-08 19:43:27
[3492] jonas2011-10-08 19:50:47

Az én számolásomból mellesleg az is látszik, hogy a két vektor nem mindig ellentétes irányú, hanem lehet azonos irányú is. Pontosabban ha az (a×b)c hármas szorzat pozitív, akkor ellentétes irányúak, különben azonos irányúak.

Előzmény: [3490] lorantfy, 2011-10-08 11:36:57
[3491] jonas2011-10-08 19:43:27

Elmondom akkor az én megoldásomat.

Az ilyen feladatokat sokszor meg lehet oldani úgy, hogy formális átalakításokat végzünk a vektoriális szorzat és a skaláris szorzat azonosságait használva. Ezt a Reiman: A geometria és határterületei könyv 2. fejezete szépen elmagyarázza.

Ha ez nem segít, akkor utána kifejthetjük koordinátánként az összes kifejezést. Ezzel elvileg az összes hasonló feladatot meg tudjuk oldani mechanikusan, mivel a koordináták polinomjait kapjuk. Csakhogy ez a megoldás egy bonyolultabb feladatra kézzel nagyon körülményes lehet, tehát mindenképp érdemes megpróbálkozni először ezekkel a vektor azonosságokkal egyszerűsíteni a feladatot.

A teljesség kedvéért hadd soroljam föl itt az azonosságokat, azokat is, amiket most nem használok. Tetszőleges x,y,z,w térbeli vektorokra és \lambda,\mu valós számokra igazak a következők.

A skaláris szorzat lineáris.

(\lambdax)y=x(\lambday)=\lambda(xy),

(x+y)z=xz+yz,

x(y+z)=xy+xz.

A skaláris szorzat kommutatív.

xy=yx.

A vektoriális szorzat lineáris.

(\lambdaxy=x×(\lambday)=\lambda(x×y),

(x+yz=x×z+y×z,

x×(y+z)=x×y+x×z.

A vektoriális szorzat negatív kommutatív.

x×y=-(y×x).

Egy vektor vektoriális szorzata egy párhuzamos vektorral a nullvektor.

x×(\lambdax)=0.

A hármas szorzat kétféleképp írható.

(x×y)z=x(y×z).

Ennek speciális esete, hogy a vektoriális szorzat skaláris szorzata az egyik tényezőjével nulla.

(x×y)y=0,

(x×y)x=0,

x(x×y)=0,

y(x×y)=0.

A hármas szorzat negatív kommutatív (ez ugyan a fentiekből levezethető).

(x×y)z=(y×z)x=(z×x)y=-(x×z)y=-(z×y)x=-(y×x)z.

A dupla vektoriális szorzat kifejtési tétele.

(x×yz=(xz)y-(yz)x,

x×(y×z)=(xz)y-(xy)z

Végül ezekből levezethető két vektoriális szorzat skaláris szorzatának kifejtése.

(x×y)(z×w)=(xz)(yw)-(xw)(yz).

* * *

A hosszú bevezető után végre jöjjön [3486] egyszerű bizonyítása.

Vezessük be a d=(a×b) jelölést. Vegyük észre, hogy ad=a(a×b)=0.

A feladat szerint azt kell belátnunk, hogy (d×(a×c))×d párhuzamos a d×a vektorral. Alkalmazzuk a belső vektoriális szorzatra a kifejtési tételt, majd a külső vektoriális szorzatra a linearitást.

(d×(a×c))×d=((cd)a-(ad)cd=((cd)ad-((ad)cd=

=(cd)(a×d)-(ad)(c×d)=(cd)(a×d)=-(cd)(d×a).

Szerencsére pont az ad skaláris szorzat jött be, ami nulla. Tehát azt kaptuk, hogy a bonyolult kifejezés a d×a skalárszorosa, tehát párhuzamos vele.

Előzmény: [3490] lorantfy, 2011-10-08 11:36:57
[3490] lorantfy2011-10-08 11:36:57

Nyüzsögnek itt a fiatalok és alig várják, hogy megoldhassanak egy példát :-).

Az utóbbi vektor a-ra és (axb)-re merőleges. Az első nyilván merőleges (axb)-re, hiszen ez az utolsó szorzó tényező, így már csak azt kell belátni, hogy a-ra is merőleges.

Az (axb) és (axc) szorzatok mindegyike merőleges a-ra ,így az a-ra merőleges síkban vannak, tehát keresztszorzatuk a-val párhuzamos vektor, így a végső szorzat a-ra is merőleges lesz.

A gyorsan összeütött ábrán (elnézést érte!) az is látható, ami Jonas számolásából is látszik, hogy ellentétes irányúak.

Előzmény: [3486] Lóczi Lajos, 2011-10-07 00:43:26
[3489] jonas2011-10-07 16:41:32

Mondok egy hasonló, de kicsit nehezebb feladatot. Ez egy ismert geometriai tétel analitikus köntösben.

532. feladat. Legyen a,b,c,e,f öt térbeli vektor. Legyen

r=((a×e)×(b×f))×c,

s=((b×e)×(c×f))×a,

t=((c×e)×(a×f))×b.

Lássuk be, hogy az r,s,t vektorok lineárisan összefüggők.

[3488] Alma2011-10-07 11:38:12

Úgy látom nem is kell számolni, fejben gyorsan végig lehet gondolni az egészet. (Viszont és is hagyom a fiatalabbakat kibontakozni)

Előzmény: [3486] Lóczi Lajos, 2011-10-07 00:43:26
[3487] jonas2011-10-07 11:16:49

Az ilyen polinom egyenlőségeket először mindig érdemes kipróbálni néhány véletlen bemenetre. Tegyünk egy ilyen próbát.

Legyen mondjuk

a=(93,92,71),

b=(-35,51,49),

c=(-40,-29,99).

Akkor

a×b=(887,-7042,7963),

(a×ba=(-1232578,677582,736510),

a×c=(11167,-12047,983),

(a×b)×(a×c)=(89007975,88050900,67952325),

((a×b)×(a×c))×(a×b)=(1179669589350,-648496792650,-704895308250)=-957075((a×ba).

Itt tehát párhuzamos lett a két vektor.

Ez után (illetve esetleg több hasonló próba után) érdemes bizonyítást keresni. Nekem van egy bizonyításom, de egyelőre hagyom a fiatalokat kibontakozni.

Előzmény: [3486] Lóczi Lajos, 2011-10-07 00:43:26
[3486] Lóczi Lajos2011-10-07 00:43:26

Legyenek a,b,c térvektorok, és jelölje × a vektoriális szorzást.

Igaz-e, hogy az

((a×b)×(a×c))×(a×b)

és az

(a×ba

vektorok párhuzamosak?

[3485] phoenix2011-10-03 19:43:51

Több szem többet lát, köszönöm az útravezetést, Róbert Gida és Sirpi neked is :-)

[3484] Róbert Gida2011-10-03 17:07:57

Van egyszerűbb út is: minden sorban van azonos színű pontpár (skatulyaelv), ha van két sorod amikben ugyanott van az azonos színű pontpárod, akkor egyszínű téglalapod van. 3 féle helyen lehet a pontpár, a szín kétféle lehet, így 3*2=6 lehetőség van a helyre+színre. Azaz 7 sornál lesz egyszínű téglalapod (skatulyaelv).

Előzmény: [3482] Sirpi, 2011-10-03 09:03:01

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]