[3514] szorgos diák | 2011-11-08 22:09:37 |
A feladatban egy közlekedés üzemviteli cég irányítói vagyunk. Egy szállítási feladatot kell megoldanunk.
Adatok:
A föld kitermelését és a rakodását rakodógép végzi 1 m3 kanállal. A föld térfogattömege 1,5t/ m3. A rakodógép ciklusideje 40s (ciklus: a rakodógép odamegy, felveszi kanállal a földet, felemeli, gépre önti) A fuvarozást 15t teherbírású gépkocsik végzik 9 km-es szállítási távolságra. A járművek teherbírása 100%, utaskihasználás 60%, menetsebesség 30 km/h, billentési idő 0.01 t/h
Feladatok: a.)Mennyi gépkocsira van szükség a rakodógép folyamatos rakodásához? b.)Hány percenként kell érkezniük a gépkocsiknak érkezniük, hogy ne várakozzanak?
|
|
[3508] bily71 | 2011-11-05 11:52:13 |
Egy erősebb állítás is igaz: sN* qP : u<s,
ahol u a q kitevője a szorzatban (u,vN), ugyanis, ha az ellenkezője igaz, vagyis sN* qP : us, akkor az előző feladat megoldásában részletezett okok miatt, de ez nem lehet, ugyancsak az ott részletezett okok miatt, tehát az eredeti állítás az igaz..
|
Előzmény: [3506] bily71, 2011-11-05 09:42:29 |
|
|
[3506] bily71 | 2011-11-05 09:42:29 |
Tegyük fel az ellenkezőjét: sN* qP : |Aq|s!
Ekkor egyrészt , mivel a szorzat számlálójában minden prím kitevője s és a nevezőben minden prím s-nél nagyobb kitevővel szerepel, továbbá a számlálóban és a nevezőben is előfordul az összes prím, ezért az egyszerűsítések végrehajtása után alakú lesz, ahol r>1,
másrészt , mivel bármely q-ra , így ezek szorzata is nagyobb, mint egy.
Ellentmondásra jutottunk, amiből következik, hogy a feltevésünk hamis, vagyis az ellenkezője igaz: sN* qP : |Aq|<s.
Megjegyzés: Használhattuk volna azt is, hogy , mivel .
Ennél több is igaz: végtelen sok ilyen q létezik, ugyanis, ha véges sok lenne, akkor az egyszerűsítések végrehajtása után -át kapnánk, ahol tN*.
Felmerül a kérdés, hogy qP : |Aq|=0? Ha van, akkor hány ilyen q van?
|
Előzmény: [3505] bily71, 2011-11-03 21:42:36 |
|
[3505] bily71 | 2011-11-03 21:42:36 |
534. feladat. Legyen A:={a| pP, sN*, a=ps-1}, ahol s rögzített, P={ prímek}, N*={1,2,3,...}.
Mutassuk meg, hogy sN* qP : |Aq|<s,
ahol Aq:={a| qP, aA, q|a}, ahol q|a jelentése: q osztója a-nak, (AqA)!
|
|
[3504] jonas | 2011-10-28 17:57:58 |
Azt hiszem, mivel elég rég óta nem szólt hozzá senki, most már elárulhatom, melyik ismert geometriai tétel is a [3489] hozzászólás-beli feladat.
A Papposz-Pascal tételről van szó. Ennek a kimondását és egy analitikus bizonyítást meg lehet találni a Reiman: Geometria és határterületei könyvben a 17.4. szakaszban.
|
Előzmény: [3496] Lóczi Lajos, 2011-10-09 15:55:52 |
|
[3503] jonas | 2011-10-10 21:25:11 |
Egyébként nektek sosincs bűntudatotok, ha itt olyan jó feladatokat adtok föl, amit jobban is föl lehetne használni, mondjuk KöMaL feladatnak, más versenyre, vagy valamilyen gyakorlaton házi- vagy vizsgafeladatként?
|
|
|
[3501] jonas | 2011-10-10 21:18:37 |
Azt mondod, a térgörbékhez kapcsolódik? Akkor biztos az a jeleti a görbe általános pontjának első deriváltját, mivel az szerepel legtöbbször; b talán a második derivált és így az (a×b)×b mondjuk a görbület iránya.
|
Előzmény: [3497] Lóczi Lajos, 2011-10-09 16:31:48 |
|
|
[3499] jonas | 2011-10-09 17:53:04 |
Miért maradt ki a d betű? Talán azért, hogy egyértelmű legyen, egyrészt az a,b,c vektorok tartoznak egybe (látható is a képletekből, hogy lehet egymás között cserélgetni őket), a d,e,f vektorok pedig egy másik hármast alkotnak. (Mi lehet a d vektor? Nos, d=r×s=s×t=t×r.)
Hogy melyik geometriai tétel van a háttérben, azt még nem mondom el, hadd gondolkozzon egy kicsit a többi olvasó.
|
Előzmény: [3496] Lóczi Lajos, 2011-10-09 15:55:52 |
|
[3498] jonas | 2011-10-09 17:09:56 |
Igen, azt hiszem az “antikommutatív” tényleg jobb. Továbbá azt kellett volna írnom, hogy a skaláris szorzat és a vektoriális szorzat is “bilineáris”, vagyis bármely tényezőben lineáris.
Utánanéztem ennek a Jacobi-azonosságnak. Azt mondja ki, hogy bármely x,y,z térbeli vektorokra
(x×y)×z+(y×z)×x+(z×x)×y=0
Nekem ez az azonosság nem volt túl ismerős. Megnéztem: a Reiman könyvben nem szerepel (ez a régi, 1986-os kiadás).
Az arányossági konstans látható a [3491] hozzászólás-beli bizonyításból: a tényező a -cd=-(a×b)c vegyes szorzat.
|
Előzmény: [3495] Lóczi Lajos, 2011-10-09 15:48:06 |
|
[3497] Lóczi Lajos | 2011-10-09 16:31:48 |
Itt van végül még egy azonosság. Legyenek a, b és c térvektorok, jelölje . a skaláris, × pedig a vektoriális szorzást.
533. feladat. Számítsuk ki az alábbi kifejezés értékét:
[(a×c)×a+(a×b)×b][(a×b).(a×b)][a.a]-[(a×b)×a][((a×b)×a).((a×c)×a+(a×b)×b)]+a[(a×b).(a×b)]2-(a×b)[a.a]2[(a×b).c]
Végül egy kérdés:
-- vajon melyik geometriai tétel áll a háttérben? (Segítség: a [3486]-beli és a fenti azonosság a térgörbék tulajdonságainak leírásához használt egyik klasszikus formulahármas lineáris algebrai bizonyításánál használható fel. A harmadik szükséges azonosság [3491]-ben már szerepelt.)
|
|
|
[3495] Lóczi Lajos | 2011-10-09 15:48:06 |
Csak három megjegyzés:
-- a "negatív kommutatív" helyett inkább az antikommutatív a bevett szóhasználat
-- a vektoriális szorzat fontos tulajdonsága még pl. a Jacobi-azonosság is
-- a feladatbeli két vektor párhuzamosságát mutató arányossági konstans abszolút értéke éppen az a, b és c vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata
|
Előzmény: [3491] jonas, 2011-10-08 19:43:27 |
|
|
[3493] jonas | 2011-10-09 00:55:05 |
Van olyan egyszerű módszer, amivel az ilyen feladatokat mindig meg lehet oldani úgy is, hogy csak ezekhez hasonló vektor azonosságokat alkalmazunk, nem pedig koordinátánként írjuk föl őket? Én nem tudom a választ, de kíváncsi lennék rá.
|
Előzmény: [3491] jonas, 2011-10-08 19:43:27 |
|
[3492] jonas | 2011-10-08 19:50:47 |
Az én számolásomból mellesleg az is látszik, hogy a két vektor nem mindig ellentétes irányú, hanem lehet azonos irányú is. Pontosabban ha az (a×b)c hármas szorzat pozitív, akkor ellentétes irányúak, különben azonos irányúak.
|
Előzmény: [3490] lorantfy, 2011-10-08 11:36:57 |
|
[3491] jonas | 2011-10-08 19:43:27 |
Elmondom akkor az én megoldásomat.
Az ilyen feladatokat sokszor meg lehet oldani úgy, hogy formális átalakításokat végzünk a vektoriális szorzat és a skaláris szorzat azonosságait használva. Ezt a Reiman: A geometria és határterületei könyv 2. fejezete szépen elmagyarázza.
Ha ez nem segít, akkor utána kifejthetjük koordinátánként az összes kifejezést. Ezzel elvileg az összes hasonló feladatot meg tudjuk oldani mechanikusan, mivel a koordináták polinomjait kapjuk. Csakhogy ez a megoldás egy bonyolultabb feladatra kézzel nagyon körülményes lehet, tehát mindenképp érdemes megpróbálkozni először ezekkel a vektor azonosságokkal egyszerűsíteni a feladatot.
A teljesség kedvéért hadd soroljam föl itt az azonosságokat, azokat is, amiket most nem használok. Tetszőleges x,y,z,w térbeli vektorokra és , valós számokra igazak a következők.
A skaláris szorzat lineáris.
(x)y=x(y)=(xy),
(x+y)z=xz+yz,
x(y+z)=xy+xz.
A skaláris szorzat kommutatív.
xy=yx.
A vektoriális szorzat lineáris.
(x)×y=x×(y)=(x×y),
(x+y)×z=x×z+y×z,
x×(y+z)=x×y+x×z.
A vektoriális szorzat negatív kommutatív.
x×y=-(y×x).
Egy vektor vektoriális szorzata egy párhuzamos vektorral a nullvektor.
x×(x)=0.
A hármas szorzat kétféleképp írható.
(x×y)z=x(y×z).
Ennek speciális esete, hogy a vektoriális szorzat skaláris szorzata az egyik tényezőjével nulla.
(x×y)y=0,
(x×y)x=0,
x(x×y)=0,
y(x×y)=0.
A hármas szorzat negatív kommutatív (ez ugyan a fentiekből levezethető).
(x×y)z=(y×z)x=(z×x)y=-(x×z)y=-(z×y)x=-(y×x)z.
A dupla vektoriális szorzat kifejtési tétele.
(x×y)×z=(xz)y-(yz)x,
x×(y×z)=(xz)y-(xy)z
Végül ezekből levezethető két vektoriális szorzat skaláris szorzatának kifejtése.
(x×y)(z×w)=(xz)(yw)-(xw)(yz).
* * *
A hosszú bevezető után végre jöjjön [3486] egyszerű bizonyítása.
Vezessük be a d=(a×b) jelölést. Vegyük észre, hogy ad=a(a×b)=0.
A feladat szerint azt kell belátnunk, hogy (d×(a×c))×d párhuzamos a d×a vektorral. Alkalmazzuk a belső vektoriális szorzatra a kifejtési tételt, majd a külső vektoriális szorzatra a linearitást.
(d×(a×c))×d=((cd)a-(ad)c)×d=((cd)a)×d-((ad)c)×d=
=(cd)(a×d)-(ad)(c×d)=(cd)(a×d)=-(cd)(d×a).
Szerencsére pont az ad skaláris szorzat jött be, ami nulla. Tehát azt kaptuk, hogy a bonyolult kifejezés a d×a skalárszorosa, tehát párhuzamos vele.
|
Előzmény: [3490] lorantfy, 2011-10-08 11:36:57 |
|
[3490] lorantfy | 2011-10-08 11:36:57 |
Nyüzsögnek itt a fiatalok és alig várják, hogy megoldhassanak egy példát :-).
Az utóbbi vektor a-ra és (axb)-re merőleges. Az első nyilván merőleges (axb)-re, hiszen ez az utolsó szorzó tényező, így már csak azt kell belátni, hogy a-ra is merőleges.
Az (axb) és (axc) szorzatok mindegyike merőleges a-ra ,így az a-ra merőleges síkban vannak, tehát keresztszorzatuk a-val párhuzamos vektor, így a végső szorzat a-ra is merőleges lesz.
A gyorsan összeütött ábrán (elnézést érte!) az is látható, ami Jonas számolásából is látszik, hogy ellentétes irányúak.
|
|
Előzmény: [3486] Lóczi Lajos, 2011-10-07 00:43:26 |
|
[3489] jonas | 2011-10-07 16:41:32 |
Mondok egy hasonló, de kicsit nehezebb feladatot. Ez egy ismert geometriai tétel analitikus köntösben.
532. feladat. Legyen a,b,c,e,f öt térbeli vektor. Legyen
r=((a×e)×(b×f))×c,
s=((b×e)×(c×f))×a,
t=((c×e)×(a×f))×b.
Lássuk be, hogy az r,s,t vektorok lineárisan összefüggők.
|
|
|
[3487] jonas | 2011-10-07 11:16:49 |
Az ilyen polinom egyenlőségeket először mindig érdemes kipróbálni néhány véletlen bemenetre. Tegyünk egy ilyen próbát.
Legyen mondjuk
a=(93,92,71),
b=(-35,51,49),
c=(-40,-29,99).
Akkor
a×b=(887,-7042,7963),
(a×b)×a=(-1232578,677582,736510),
a×c=(11167,-12047,983),
(a×b)×(a×c)=(89007975,88050900,67952325),
((a×b)×(a×c))×(a×b)=(1179669589350,-648496792650,-704895308250)=-957075((a×b)×a).
Itt tehát párhuzamos lett a két vektor.
Ez után (illetve esetleg több hasonló próba után) érdemes bizonyítást keresni. Nekem van egy bizonyításom, de egyelőre hagyom a fiatalokat kibontakozni.
|
Előzmény: [3486] Lóczi Lajos, 2011-10-07 00:43:26 |
|
[3486] Lóczi Lajos | 2011-10-07 00:43:26 |
Legyenek a,b,c térvektorok, és jelölje × a vektoriális szorzást.
Igaz-e, hogy az
((a×b)×(a×c))×(a×b)
és az
(a×b)×a
vektorok párhuzamosak?
|
|
[3485] phoenix | 2011-10-03 19:43:51 |
Több szem többet lát, köszönöm az útravezetést, Róbert Gida és Sirpi neked is :-)
|
|