Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3526] Lóczi Lajos2011-12-07 10:14:29

Ezt már próbáltam, de a kérdéses limesz végtelen lett. (Még ellenőrzöm a számolást egyszer.)

Előzmény: [3525] Fálesz Mihály, 2011-12-07 09:59:33
[3525] Fálesz Mihály2011-12-07 09:59:33

Próbáljuk ki ezt: f2(x)=x.ln ln x

Előzmény: [3524] Lóczi Lajos, 2011-12-07 04:27:31
[3524] Lóczi Lajos2011-12-07 04:27:31

Egyelőre én is pont eddig jutottam. Igen, jonas, a bizonyítás talán 1 oldalban összefoglalható lenne, tehát teljesen elemi megfontolásokat használtam csak (az Li függvényről is).

Ha f1(x):=xln (x), akkor tehát eddig azt tudjuk, hogy \lim_{\infty}\frac{y}{f_1}=1. Az is egyszerűen adódik, hogy \lim_{\infty}{(y-f_1)}=\infty.

A továbblépéshez keresendő tehát egy f2, hogy \lim_{\infty}\frac{y-f_1}{f_2} egy véges, nemnulla valós szám legyen. Aztán általában fk, hogy \lim_{\infty}\frac{y-\sum_{k=1}^n f_k}{f_{n+1}} létezik, véges és nemnulla.

Előzmény: [3521] nadorp, 2011-12-06 15:36:04
[3523] nadorp2011-12-06 16:29:38

Ezt az állítást asszem igen, de azért a Li(x) függvényről felhasználtakat nem biztos, hogy kéne :-)

Előzmény: [3522] jonas, 2011-12-06 15:52:50
[3522] jonas2011-12-06 15:52:50

Be is tudod bizonyítani?

Előzmény: [3521] nadorp, 2011-12-06 15:36:04
[3521] nadorp2011-12-06 15:36:04

Az megfelel-e, hogy

\lim_{x\to\infty}\frac{y(x)}{x\ln x}=1

Előzmény: [3520] Lóczi Lajos, 2011-12-01 19:51:40
[3520] Lóczi Lajos2011-12-01 19:51:40

Igen, én is erre. A további kérdés persze az, hogy x^\alpha helyett a nevezőbe milyen függvényt írjunk, hogy véges, nemnulla limeszt kapjunk a végtelenben. Vagyis adjuk meg az y függvény aszimptotikus sorának elejét.

Előzmény: [3519] nadorp, 2011-12-01 17:04:13
[3519] nadorp2011-12-01 17:04:13

Egyelőre erre jutottam

\lim_{x\to\infty}\frac{y(x)}{x^\alpha}=\left\{\matrix{\infty &ha&\alpha\le1 \cr 0 &ha& \alpha>1}\right.

Előzmény: [3518] Lóczi Lajos, 2011-11-28 21:14:23
[3518] Lóczi Lajos2011-11-28 21:14:23

Tekintsük az

y'(x)=ln (y(x))

differenciálegyenlet azon megoldását, amelyre y(0)=2.

Határozzuk meg a

\lim_{x\to \infty} \frac{y(x)}{x^\alpha}

határértéket, ahol \alpha egy adott valós szám.

[3517] lorantfy2011-11-11 15:54:05

Na előtűntek az igazi adatok: az utaskihasználásnak itt nincs értelme, a billentési idő 0.01 h/t (és nem t/h), vagyis a 15t lerakodása 0,15 h=9 perc. A 30 km/h az 2 perces km-eket jelent, tehát egy kocsi menetideje 36 perc+9perc rakodás=45 perc. Ezalatt (45x60):400=6,75 kocsit rakodnak meg. Szóval a folyamat semmiképpen sem lesz folyamatos. Ha 7 kocsi van, akkor a rakodógépnek kell várakoznia, ha meg 8, akkor a kocsiknak.

Előzmény: [3514] szorgos diák, 2011-11-08 22:09:37
[3516] lorantfy2011-11-10 16:07:39

Legyen a kocsik átlagsebessége 60 km/h és tartson a lerakodás 2 percig (mert csak odaáll és ledönti). Akkor a 9 km megtétele oda-vissza, meg még a lerakodás éppen 20 perc. Egy kocsit 10x40=400 sec= 6 perc 40 sec-ig pakolnak. Vagyis a szállítási idő pont 3 rakodási idővel egyenlő. Tehát amíg az egyik kocsi szállít, éppen 3 másik kocsit raknak meg mire visszaér, szóval 4 kocsi kell. Én ilyen adatokat adtam volna meg és tartok tőle, hogy az eredeti adatok is ezek voltak.

Előzmény: [3514] szorgos diák, 2011-11-08 22:09:37
[3515] Moderátor2011-11-10 15:55:58

A százalékjeleket kijavítottam, most már remélhetőleg a teljes szöveg látszik.

Előzmény: [3513] SmallPotato, 2011-11-09 22:14:10
[3513] SmallPotato2011-11-09 22:14:10

Szerintem a szöveg egy %-jellel folytatódott (azaz hogy a járművek kihasználtsága 100 % lehet), és azt minden rákövetkező szöveggel együtt a rendszer levágta; szorgos diákunk pedig nem vette észre, hogy így (vélhetően) a sebesség információja (is) elsikkadt.

Előzmény: [3510] HoA, 2011-11-09 16:52:43
[3512] Moderátor2011-11-09 19:22:32

A témát összevontam egy másikkal. Egy apró programhiba miatt ilyenkor az eredeti téma utolsó hozzászólója látszik az új helyett.

Előzmény: [3510] HoA, 2011-11-09 16:52:43
[3511] bily712011-11-09 18:07:11

"Hová lett Billy ma reggeli hozzászólása?"

Ezen én is elgondolkoztam, az az érdekes, hogy hozzá sem szóltam...:)

Előzmény: [3510] HoA, 2011-11-09 16:52:43
[3510] HoA2011-11-09 16:52:43

Hová lett Billy ma reggeli hozzászólása? ( ábra )

Tudni kéne a teherautók sebességét + a lerakodáshoz szükséges időt, hogy kiderüljön, mennyi idő múlva jöhet ismét ugyanaz a kocsi.

Mi az, hogy a járművek teherbírása 100? 100 micsoda? És akkor mit jelent a 15t teherbírású gk?

Előzmény: [3514] szorgos diák, 2011-11-08 22:09:37
[3509] Róbert Gida2011-11-08 22:28:27

"szorgos diák", jó vicc.

Előzmény: [3514] szorgos diák, 2011-11-08 22:09:37
[3514] szorgos diák2011-11-08 22:09:37

A feladatban egy közlekedés üzemviteli cég irányítói vagyunk. Egy szállítási feladatot kell megoldanunk.

Adatok:

A föld kitermelését és a rakodását rakodógép végzi 1 m3 kanállal. A föld térfogattömege 1,5t/ m3. A rakodógép ciklusideje 40s (ciklus: a rakodógép odamegy, felveszi kanállal a földet, felemeli, gépre önti) A fuvarozást 15t teherbírású gépkocsik végzik 9 km-es szállítási távolságra. A járművek teherbírása 100%, utaskihasználás 60%, menetsebesség 30 km/h, billentési idő 0.01 t/h

Feladatok: a.)Mennyi gépkocsira van szükség a rakodógép folyamatos rakodásához? b.)Hány percenként kell érkezniük a gépkocsiknak érkezniük, hogy ne várakozzanak?

[3508] bily712011-11-05 11:52:13

Egy erősebb állítás is igaz: \foralls\inN* \existsq\inP : u<s,

ahol u a q kitevője a \prod_{a\in{A_q}}a=q^{u}\cdot{v} szorzatban (u,v\inN), ugyanis, ha az ellenkezője igaz, vagyis \existss\inN* \forallq\inP : u\ges, akkor \prod_{q\in{\rm{p}}}\frac{q^s}{q^{s}-1}\ge1 az előző feladat megoldásában részletezett okok miatt, de ez nem lehet, ugyancsak az ott részletezett okok miatt, tehát az eredeti állítás az igaz..

Előzmény: [3506] bily71, 2011-11-05 09:42:29
[3507] bily712011-11-05 09:46:44

Javítás: "alakú lesz, ahol r\ge1".

Előzmény: [3506] bily71, 2011-11-05 09:42:29
[3506] bily712011-11-05 09:42:29

Tegyük fel az ellenkezőjét: \existss\inN* \forallq\inP : |Aq|\ges!

Ekkor egyrészt \prod_{q\in{\rm{P}}}\frac{q^s}{q^{s}-1}\le1, mivel a szorzat számlálójában minden prím kitevője s és a nevezőben minden prím s-nél nagyobb kitevővel szerepel, továbbá a számlálóban és a nevezőben is előfordul az összes prím, ezért az egyszerűsítések végrehajtása után \prod_{q\in{\rm{P}}}\frac{q^s}{q^{s}-1}=\frac1r alakú lesz, ahol r>1,

másrészt \prod_{q\in{\rm{P}}}\frac{q^s}{q^{s}-1}>1, mivel bármely q-ra \frac{q^s}{q^{s}-1}>1, így ezek szorzata is nagyobb, mint egy.

Ellentmondásra jutottunk, amiből következik, hogy a feltevésünk hamis, vagyis az ellenkezője igaz: \foralls\inN* \existsq\inP : |Aq|<s.

Megjegyzés: Használhattuk volna azt is, hogy \prod_{q\in{\rm{P}}}\frac{q^s}{q^{s}-1}=\prod_{q\in{\rm{P}}}\frac1{\frac{q^{s}-1}{q^{s}}}=\prod_{q\in{\rm{P}}}\frac1{1-\frac1{q^{s}}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}>1, mivel 1=\frac1{1^s}<\frac1{1^s}+\frac1{2^s}<\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}.

Ennél több is igaz: végtelen sok ilyen q létezik, ugyanis, ha véges sok lenne, akkor az egyszerűsítések végrehajtása után \prod_{q\in{\rm{P}}}\frac{q^s}{q^{s}-1}="\frac{t}{\infty}"=0-át kapnánk, ahol t\inN*.

Felmerül a kérdés, hogy \existsq\inP : |Aq|=0? Ha van, akkor hány ilyen q van?

Előzmény: [3505] bily71, 2011-11-03 21:42:36
[3505] bily712011-11-03 21:42:36

534. feladat. Legyen A:={ap\inP, s\inN*a=ps-1}, ahol s rögzített, P={ prímek}, N*={1,2,3,...}.

Mutassuk meg, hogy \foralls\inN* \existsq\inP : |Aq|<s,

ahol Aq:={aq\inP, a\inAq|a}, ahol q|a jelentése: q osztója a-nak, (Aq\subsetA)!

[3504] jonas2011-10-28 17:57:58

Azt hiszem, mivel elég rég óta nem szólt hozzá senki, most már elárulhatom, melyik ismert geometriai tétel is a [3489] hozzászólás-beli feladat.

A Papposz-Pascal tételről van szó. Ennek a kimondását és egy analitikus bizonyítást meg lehet találni a Reiman: Geometria és határterületei könyvben a 17.4. szakaszban.

Előzmény: [3496] Lóczi Lajos, 2011-10-09 15:55:52
[3503] jonas2011-10-10 21:25:11

Egyébként nektek sosincs bűntudatotok, ha itt olyan jó feladatokat adtok föl, amit jobban is föl lehetne használni, mondjuk KöMaL feladatnak, más versenyre, vagy valamilyen gyakorlaton házi- vagy vizsgafeladatként?

[3502] Lóczi Lajos2011-10-10 21:23:56

Igen, valóban, és c jelenti a harmadik deriváltat.

Előzmény: [3501] jonas, 2011-10-10 21:18:37

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]