Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3576] Sirpi2012-05-31 19:13:36

Ez is jó, de ennél egy nagyságrenddel kisebb függvény is megfelelő.

Előzmény: [3575] Róbert Gida, 2012-05-31 16:23:08
[3575] Róbert Gida2012-05-31 16:23:08

Legyen f(n)=22n-1.

Előzmény: [3574] Sirpi, 2012-05-31 15:41:04
[3574] Sirpi2012-05-31 15:41:04

Adjunk meg képlettel olyan f(n):Z+\toZ+ függvényt, amire teljesül, hogy f(n)-nek és f(n)+1-nek is legalább annyi osztója van, mint n-nek.

[3573] jonas2012-05-31 11:44:54

Értem. A gráfokat motivációnak gondoltam, nem a megoldás eszközének.

Előzmény: [3572] Lóczi Lajos, 2012-05-31 00:28:56
[3572] Lóczi Lajos2012-05-31 00:28:56

Elképzelhető, bár bizonyos differenciálegyenletek numerikus megoldásakor szintén gyakran lépnek fel ilyen mátrixok. (De ez a konkrét feladat természetesen teljesen elemi eszközökkel is megoldható.)

Előzmény: [3571] jonas, 2012-05-30 22:19:27
[3571] jonas2012-05-30 22:19:27

Az 537. feladatban említett “valaki” tippem szerint egy kombinatorikus, aki gráfok sajátértékével foglalkozik.

Előzmény: [3570] Lóczi Lajos, 2012-05-30 10:10:36
[3570] Lóczi Lajos2012-05-30 10:10:36

537. feladat. Valaki sávos mátrixoknak az alábbi sorozatát vizsgálta:

\left(\matrix{3&1&-4\cr -4&3&1\cr1&-4&3\cr}\right), \left(\matrix{3 & 0 & 1 & -4\cr  -4 & 3 & 0 & 1\cr  1 & -4 & 3 & 0\cr 0 & 1 & -4 & 3\cr}\right), \left(\matrix{3 & 0 & 0 & 1 & -4\cr -4 & 3 & 0 & 0 & 1\cr  1 & -4 & 3 & 0 & 0\cr 0 & 1 & -4 & 3 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & -4 & 3\cr}\right), és így tovább, vagyis a jobb felső sarokban mindig a megadott három elem áll, a főátló és az alatta lévő két átló egyre "nyúlik", végül a maradék helyeken csupa 0 áll.

Ahogy e mátrixok mérete egyre növekszik, a mátrixok sajátértékeit a komplex síkon kirajzolva érdekes szabályszerűséget figyelhetünk meg, melyet az ábra mutat: mintha a sajátértékek mind egy zárt görbén helyezkednének el.

Meg tudjuk keresni ezt a görbét?

[3569] Lóczi Lajos2012-05-25 20:07:16

Egyetértek a sejtéseddel.

Előzmény: [3568] Róbert Gida, 2012-05-25 12:56:22
[3568] Róbert Gida2012-05-25 12:56:22

Legyen x=\frac{997718293}{1000000000};
y=-\frac{526882921}{1000000000};
z=\frac{462035853}{1000000000}

Sejtésem szerint ez már az optimális x-től kevesebb, mint 10-9-re van.

Előzmény: [3567] Lóczi Lajos, 2012-05-25 02:12:15
[3567] Lóczi Lajos2012-05-25 02:12:15

Keressünk minél nagyobb olyan valós x számot, melyhez megadhatók alkalmas y és z valós számok, hogy az

x8+2y8+3z8\leq1 és x3+7z3\geq3+9y3

egyenlőtlenségek fennállnak.

[3566] Lóczi Lajos2012-05-12 23:11:31

535. feladat. Adjuk meg a háromdimenziós térben az a\ge0, b\ge0, c\ge0, 0\le\frac{1}{2}-a, a(a-b)\le \frac{1}{2}-b és c\le1+bc egyenlőtlenségek által definiált test mindhárom tengelyre eső merőleges vetületének a hosszát.

[3565] jonas2012-05-07 20:29:50

Hát, ha senki nem vállalja, itt a gyors magyarázat.

Vegyünk egy olyan számot, mint

t=1234567.

Ha ezt megszorozzuk tízzel, akkor ugyanazt a sort kapjuk, csak eltolva.

10t=12345670.

Most vonjuk ki egymásból a kettőt. A szemléletesség kedvéért illesszük egymás alá a számjegyeket, így jobban látszik:


\matrix{
10t + 8 =  & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \cr
-t = -     &   & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \cr
9t + 8 =   & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
}

Az utolsó kivételével minden helyiértéken két szomszédos számjegyet vonunk ki az eredeti számban, és ebből a két szomszédos számjegyből az első eggyel nagyobb, így mindenhol 1 lesz a különbség. (Az utolsó helyiértéknél csaljunk egy kicsit.)

Most vonjunk ki t-t még egyszer:


\matrix{
9t + 7 =   & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \cr
-t = -     &   & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \cr
8t + 7 =   &   & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 \cr
}

Ezt úgy kell elképzelni, hogy a t minden számjegyét a 9t+7 eggyel nagyobb helyiértéken lévő számjegyéből vonjuk ki, tehát mindegyik számjegyet 10-ből. Így a 10-ből sorra kivonjuk a számokat 1-től valameddigig, ezért az eredmények sorra 9-től mennek egyesével lefelé.

Természetesen ugyanez megy 16-os számrendszerben is:

E16.1234567816+816=FEDCBA9816.

E16.12345678916+916=FEDCBA98716.

E16.123456789A16+A16=FEDCBA987616.

Előzmény: [3564] lorantfy, 2012-05-05 14:02:27
[3564] lorantfy2012-05-05 14:02:27

Adjatok erre egy gyors magyarázatot! Megy ez 16-os számrendszerben is?

[3563] Fálesz Mihály2012-04-23 10:19:11

Alapvetően Attilával értek egyet. A feladattal a baj a kérdésben levő visszacsatolás. A helyes válasz attól függ, hogy mi a helyes válasz.

Számtalan ilyen logikai paradoxon ismert. Ha ez az állítás igaz, akkor én vagyok a Mikulás. Mi a legkisebb pozitív egész, amit nem lehet 1000-nél kevesebb karakterrel definiálni?

Az adott kérdésben a 0 az egyetlen "stabil" válasz, de lehetne próbálkozni a 0/25/25/50 (nincs stabil válasz) vagy a 25/75/75/75 (a 0, 25 és a 75 is stabil) változatokkal is...

* * *

Ha az "én most nem mondok igazat" mondatba beleteszünk egy kis elektronikus késleltetést, akkor hívhatjuk astabil multivibrátornak. :-)

[3562] Sirpi2012-04-23 09:18:07

Azért ne félj a %-tól (\%-nak kell írni).

Előzmény: [3561] lorantfy, 2012-04-22 19:49:21
[3561] lorantfy2012-04-22 19:49:21

Szerintem nem kell ahhoz 100 emberrel megoldatnunk a feladatot, hogy tudjuk, az A, B, C, D lehetőségek közül véletlenül kiválasztva egyet 1/4 lesz a kiválasztás esélye. Mivel véletlenszerűen választunk nem is nézzük meg milyen számokat takarnak ezek a válaszok. Négy egyforma boríték közül választunk, melyekben egy papíron ott vannak az adott számok. Mit jelent az, hogy helyes a választásod? Azt, hogy kinyitva a borítékot amit választottál, olyan szám lesz benne, amilyen valószínűséggel kiválaszthattad éppen azt a számot. A feladatban viszont látjuk ezeket a számokat és éppen az okozza az ellentmondást, hogy egyik értéke sem egyezik meg azzal az eséllyel amivel ő maga kiválasztható. A kérdés szerintem feltehető, és lenne is jó válasz a kérdésre, ha a válaszok pl.ezek lennének? A)15 B)50 C)35 D)50 Ekkor az 50 jó válasz lenne. (A százalékokat az ismert okok miatt elhagytam.)

Előzmény: [3558] jenei.attila, 2012-04-22 18:08:49
[3560] SmallPotato2012-04-22 19:19:05

Javítás az elveszett végű bekezdéshez.

... Ha a 25 % pontosan egyszer szerepelne a helyes adatok között, akkor korrekt válasz lenne adható. A kérdés egy valószínűség, ami a kedvező és az összes esetek számának konkrét ismeretében egyértelműen eldönthető.

Előzmény: [3559] SmallPotato, 2012-04-22 19:14:48
[3559] SmallPotato2012-04-22 19:14:48

"Bármi más válaszok lennének, akkor is értelmetlen lenne a kérdés."

"A baj az, hogy a kérdés maga értelmetlen, ... nem lehet rá igennel vagy nemmel válaszolni"

Szerintem a kérdés egyáltalán nem értelmetlen. "Ha véletlenszerűen kiválasztasz egy választ, mi az esélye, hogy a helyeset választottad?" Ha a 25

A dolgozatos példádhoz: egy valószínűséget nem lehet (de nem is kell hogy lehessen) egyetlen elemből álló minta várható értékéből megjósolni. (100 dolgozat persze az eredeti kérdésre szintén nem adná meg a választ.)

Előzmény: [3558] jenei.attila, 2012-04-22 18:08:49
[3558] jenei.attila2012-04-22 18:08:49

Véleményem szerint ennek a feladatnak egész más baja van, mint hogy kétszer szerepel benne a 25 százalék és egyszer az 50 százalék. Bármi más válaszok lennének, akkor is értelmetlen lenne a kérdés. Képzeljük el, hogy 100 emberrel megoldatjuk a feladatot, majd elkezdjük kijavítani a dolgozatokat. Ha 25 százalék a helyes válasz, akkor várhatóan 25 helyes megoldás lesz. De mi a helyes megoldás az első dolgozat javításakor? Már egy dolgozatnál is el kellene tudni dönteni, hogy az adott válasz helyes-e vagy nem. A baj az, hogy a kérdés maga értelmetlen, abban az értelemben, hogy nincs igazságtartalma (nem lehet rá igennel vagy nemmel válaszolni). Ez kb. olyan, mintha azt kérdeznénk: "ez a kérdés igaz?". Önmagáról kérdez (vagy állít) valamit, aminek egyszerűen nincs igazságtartalma. Az ilyen állítások nem megengedhetők. Leginkább talán a Russel paradoxonhoz hasonlít, ami abból adódik, hogy nem lehet "ész nélkül" halmazokat kreálni. Vagy pl. az "ez a mondat hamis" állítás sem igazi állítás, ezért értelmetlen megkérdezni, hogy igaz-e vagy sem. Tehát a feladat sokkal inkább logikai mintsem valószínűségszámítási. Egyébként érdekes feladat, mondjátok el a véleményeteket róla.

Előzmény: [3556] lorantfy, 2012-04-20 22:37:01
[3557] HaliPeu2012-04-21 15:54:28

Szerintem a megoldás 0, mert az pont nullaszor szerepel, ezért 0

[3556] lorantfy2012-04-20 22:37:01

Egy jó választ kell kiválasztanunk a 4 közül, ennek az esélye 0,25. Tehát a jó válasz a 0,25. Ebből viszont kettő van, így a kiválasztásának esélye 0,50. Vagyis a jó válasz az 0,50. Ebből viszont csak 1 van, így a véletlen kiválasztás esélye 0,25... Szóval paradoxon. Akkor lenne megoldása, ha a 0,25 egyszer vagy az 0,50 kétszer szerepelne, de egyszerre csak az egyik.

Előzmény: [3552] Hajba Károly, 2012-04-14 19:44:58
[3555] joe2012-04-14 22:44:56

If you choose an answer to this question at random, what is the chance you will be correct?

A) 50

Előzmény: [3550] lorantfy, 2012-04-13 21:09:24
[3554] Zilberbach2012-04-14 20:06:41

25 + 50 + 60 + 25 = 160

160:4 = 40

[3553] Zilberbach2012-04-14 19:58:01

"Change" helyett: chance.

Előzmény: [3551] jonas, 2012-04-14 16:47:05
[3552] Hajba Károly2012-04-14 19:44:58

Ez nem egy paradoxon?

Előzmény: [3550] lorantfy, 2012-04-13 21:09:24

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]