Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3583] Lóczi Lajos2012-06-09 17:14:40

Véleményem szerint a maximum helye a vízszintes tengelyen kb. 3.7320508075688772935-nél van (amiből rögtön látható, hogy ez melyik algebrai szám akar lenni).

Előzmény: [3582] sakkmath, 2012-06-09 17:02:19
[3582] sakkmath2012-06-09 17:02:19

Érdekes összefüggést vélek felfedezni e feladat és egy saját régi (geometriai (!)) feladatom között. Ránézésre úgy tűnik, mintha az általam - egészen más úton - kapott görbét affin zsugorítással az 537. feladatban feltételezett görbébe vihetnénk. Ez még csak egy halvány sejtés, s könnyen lehet, hogy tévedek.

A sejtést erősítené, vagy cáfolná, ha valaki válaszolna a következő kérdésre:

Igaz-e, hogy az 537. feladat görbéje első negyedbe eső ágának maximuma az x\approx3,77464 helyen van?

Előzmény: [3570] Lóczi Lajos, 2012-05-30 10:10:36
[3581] Lóczi Lajos2012-06-02 21:35:40

Szép megoldóképletet találtál. Az egyenleteid a de Moivre-féle ötödfokú egyenletek kétparaméteres családjának speciális esetei (a keresőkben pl. "de Moivre quintic"), amely család gyökképlettel megoldható, és az 5 megoldás egyike az általad felírt egyik képlet.

A több tucat írás közül hadd ajánljak két szép cikket ebből az irányból, amelyek a Galois-elmélet konkrét alkalmazásai:

1.) D. S. Dummit: Solving Solvable Quintics (Mathematics of Computation, Volume 57, Number 195, July 1991, Pages 387-401) -- ebben a szerző belátja, hogy az x5+px3+qx2+rx+s=0 alakú racionális együtthatós ötödfokú egyenlet pontosan akkor oldható meg gyökképlettel, ha a

q8-13pq6r+p5q2r2+65p2q4r2-4p6r3-128p3q2r3+17q4r3+48p4r4-16pq2r4-192p2r5+256r6-4p5q3s-12p2q5s+18p6qrs+12p3q3rs-124q5rs+196p4qr2s+590pq3r2s-160p2qr3s-1600qr4s-27p7s2-150p4q2s2-125pq4s2-99p5rs2-725p2q2rs2+1200p3r2s2+3250q2r2s2-2000pr3s2-1250pqrs3+3125p2s4-9375rs4+

x(-2pq6+19p2q4r-51p3q2r2+3q4r2+32p4r3+76pq2r3-256p2r4+512r5-31p3q3s-58q5s+117p4qrs+105pq3rs+260p2qr2s-2400qr3s-108p5s2-325p2q2s2+525p3rs2+2750q2rs2-500pr2s2+625pqs3-3125s4)+

x2(p2q4-6p3q2r-8q4r+9p4r2+76pq2r2-136p2r3+400r4-50pq3s+90p2qrs-1400qr2s+625q2s2+500prs2)+

x3(-2q4+21pq2r-40p2r2+160r3-15p2qs-400qrs+125ps2)+x4(2pq2-6p2r+40r2-50qs)+x5(8r)+x6=0

hatodfokú egyenletnek van racionális gyöke (amit egyszerű eldönteni a konkrét esetekben).

A te x5/2-5x3+10x-y=0 paraméteres ötödfokú egyenletedre akkor alkalmazható a fenti eredmény, ha y racionális, mert belátható, hogy ekkor a fent definiált hatodfokú egyenletnek az x=40 mindig gyöke.

2.) A de Moivre-egyenletől és sok másról lásd pl. a Spearman--Williams-cikket (http://people.math.carleton.ca/~williams/papers/pdf/185.pdf vagy a sok példát tartalmazó http://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function oldalt), ebben valós y-ra is szerepel a megoldóképlet.

Visszatérve arra kérdésedre, hogy "Ha igaz, lehet-e finomítani a[z x>2] becslésen?" -- először pontosan definiálnod kell, hogy a négyzetgyökök és az ötödik gyökök mely komplex értékeit válasszuk meg. De pl. a fenti 2.)-es Spearman--Williams cikkben erre is választ kapunk.

Előzmény: [3580] gyula60, 2012-06-02 17:34:56
[3580] gyula602012-06-02 17:34:56

Igaz-e a következő sejtés?

A \phi(x)=:\frac{x^5}2-5x^3+10x és az f(x)=:\root5\of{x-\sqrt{x^2-32}}+\root5\of{x+\sqrt{x^2-32}} függvényekre x>2 esetén

\phiof=fo\phi=x

Ha igaz, lehet-e finomítani a becslésen?

(Megjegyzés. Először jelentkezek be ide. Ötletecskéit szeretné egy idősebb úr megosztani a fiatalsággal. Lehet, hogy nem tartozik az érdekes matek feladatok körébe, bármilyen iránymutatást elfogadok. Köszönettel)

[3579] Róbert Gida2012-05-31 21:38:00

Igen, bár nagyságrendben nem sokkal jobb.

A Fermat számos viszont tovább javítható, mert h(n)=2^{2^{ceil(1+\frac {\log(n)}{\log(4)})}}-1 is jó lesz.

Ami nagyságrendileg 2^{\sqrt n}, sőt azt sem nehéz látni, hogy tetszőleges \epsilon>0-ra 2^{n^{\epsilon}} is írható nagyságrendileg.

Előzmény: [3578] Sirpi, 2012-05-31 20:44:02
[3578] Sirpi2012-05-31 20:44:02

Akkor állítás: 2n-1 is elég.

Előzmény: [3577] Róbert Gida, 2012-05-31 20:26:40
[3577] Róbert Gida2012-05-31 20:26:40

Valóban: legyen g(n)=2^{2^{ceil(\frac {\log n}{\log 2})}}-1, ahol ceil(x)=felső egészrész x. Sőt ez sokkal több, mint egy nagyságrenddel kisebb.

Előzmény: [3576] Sirpi, 2012-05-31 19:13:36
[3576] Sirpi2012-05-31 19:13:36

Ez is jó, de ennél egy nagyságrenddel kisebb függvény is megfelelő.

Előzmény: [3575] Róbert Gida, 2012-05-31 16:23:08
[3575] Róbert Gida2012-05-31 16:23:08

Legyen f(n)=22n-1.

Előzmény: [3574] Sirpi, 2012-05-31 15:41:04
[3574] Sirpi2012-05-31 15:41:04

Adjunk meg képlettel olyan f(n):Z+\toZ+ függvényt, amire teljesül, hogy f(n)-nek és f(n)+1-nek is legalább annyi osztója van, mint n-nek.

[3573] jonas2012-05-31 11:44:54

Értem. A gráfokat motivációnak gondoltam, nem a megoldás eszközének.

Előzmény: [3572] Lóczi Lajos, 2012-05-31 00:28:56
[3572] Lóczi Lajos2012-05-31 00:28:56

Elképzelhető, bár bizonyos differenciálegyenletek numerikus megoldásakor szintén gyakran lépnek fel ilyen mátrixok. (De ez a konkrét feladat természetesen teljesen elemi eszközökkel is megoldható.)

Előzmény: [3571] jonas, 2012-05-30 22:19:27
[3571] jonas2012-05-30 22:19:27

Az 537. feladatban említett “valaki” tippem szerint egy kombinatorikus, aki gráfok sajátértékével foglalkozik.

Előzmény: [3570] Lóczi Lajos, 2012-05-30 10:10:36
[3570] Lóczi Lajos2012-05-30 10:10:36

537. feladat. Valaki sávos mátrixoknak az alábbi sorozatát vizsgálta:

\left(\matrix{3&1&-4\cr -4&3&1\cr1&-4&3\cr}\right), \left(\matrix{3 & 0 & 1 & -4\cr  -4 & 3 & 0 & 1\cr  1 & -4 & 3 & 0\cr 0 & 1 & -4 & 3\cr}\right), \left(\matrix{3 & 0 & 0 & 1 & -4\cr -4 & 3 & 0 & 0 & 1\cr  1 & -4 & 3 & 0 & 0\cr 0 & 1 & -4 & 3 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & -4 & 3\cr}\right), és így tovább, vagyis a jobb felső sarokban mindig a megadott három elem áll, a főátló és az alatta lévő két átló egyre "nyúlik", végül a maradék helyeken csupa 0 áll.

Ahogy e mátrixok mérete egyre növekszik, a mátrixok sajátértékeit a komplex síkon kirajzolva érdekes szabályszerűséget figyelhetünk meg, melyet az ábra mutat: mintha a sajátértékek mind egy zárt görbén helyezkednének el.

Meg tudjuk keresni ezt a görbét?

[3569] Lóczi Lajos2012-05-25 20:07:16

Egyetértek a sejtéseddel.

Előzmény: [3568] Róbert Gida, 2012-05-25 12:56:22
[3568] Róbert Gida2012-05-25 12:56:22

Legyen x=\frac{997718293}{1000000000};
y=-\frac{526882921}{1000000000};
z=\frac{462035853}{1000000000}

Sejtésem szerint ez már az optimális x-től kevesebb, mint 10-9-re van.

Előzmény: [3567] Lóczi Lajos, 2012-05-25 02:12:15
[3567] Lóczi Lajos2012-05-25 02:12:15

Keressünk minél nagyobb olyan valós x számot, melyhez megadhatók alkalmas y és z valós számok, hogy az

x8+2y8+3z8\leq1 és x3+7z3\geq3+9y3

egyenlőtlenségek fennállnak.

[3566] Lóczi Lajos2012-05-12 23:11:31

535. feladat. Adjuk meg a háromdimenziós térben az a\ge0, b\ge0, c\ge0, 0\le\frac{1}{2}-a, a(a-b)\le \frac{1}{2}-b és c\le1+bc egyenlőtlenségek által definiált test mindhárom tengelyre eső merőleges vetületének a hosszát.

[3565] jonas2012-05-07 20:29:50

Hát, ha senki nem vállalja, itt a gyors magyarázat.

Vegyünk egy olyan számot, mint

t=1234567.

Ha ezt megszorozzuk tízzel, akkor ugyanazt a sort kapjuk, csak eltolva.

10t=12345670.

Most vonjuk ki egymásból a kettőt. A szemléletesség kedvéért illesszük egymás alá a számjegyeket, így jobban látszik:


\matrix{
10t + 8 =  & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \cr
-t = -     &   & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \cr
9t + 8 =   & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
}

Az utolsó kivételével minden helyiértéken két szomszédos számjegyet vonunk ki az eredeti számban, és ebből a két szomszédos számjegyből az első eggyel nagyobb, így mindenhol 1 lesz a különbség. (Az utolsó helyiértéknél csaljunk egy kicsit.)

Most vonjunk ki t-t még egyszer:


\matrix{
9t + 7 =   & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \cr
-t = -     &   & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \cr
8t + 7 =   &   & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 \cr
}

Ezt úgy kell elképzelni, hogy a t minden számjegyét a 9t+7 eggyel nagyobb helyiértéken lévő számjegyéből vonjuk ki, tehát mindegyik számjegyet 10-ből. Így a 10-ből sorra kivonjuk a számokat 1-től valameddigig, ezért az eredmények sorra 9-től mennek egyesével lefelé.

Természetesen ugyanez megy 16-os számrendszerben is:

E16.1234567816+816=FEDCBA9816.

E16.12345678916+916=FEDCBA98716.

E16.123456789A16+A16=FEDCBA987616.

Előzmény: [3564] lorantfy, 2012-05-05 14:02:27
[3564] lorantfy2012-05-05 14:02:27

Adjatok erre egy gyors magyarázatot! Megy ez 16-os számrendszerben is?

[3563] Fálesz Mihály2012-04-23 10:19:11

Alapvetően Attilával értek egyet. A feladattal a baj a kérdésben levő visszacsatolás. A helyes válasz attól függ, hogy mi a helyes válasz.

Számtalan ilyen logikai paradoxon ismert. Ha ez az állítás igaz, akkor én vagyok a Mikulás. Mi a legkisebb pozitív egész, amit nem lehet 1000-nél kevesebb karakterrel definiálni?

Az adott kérdésben a 0 az egyetlen "stabil" válasz, de lehetne próbálkozni a 0/25/25/50 (nincs stabil válasz) vagy a 25/75/75/75 (a 0, 25 és a 75 is stabil) változatokkal is...

* * *

Ha az "én most nem mondok igazat" mondatba beleteszünk egy kis elektronikus késleltetést, akkor hívhatjuk astabil multivibrátornak. :-)

[3562] Sirpi2012-04-23 09:18:07

Azért ne félj a %-tól (\%-nak kell írni).

Előzmény: [3561] lorantfy, 2012-04-22 19:49:21
[3561] lorantfy2012-04-22 19:49:21

Szerintem nem kell ahhoz 100 emberrel megoldatnunk a feladatot, hogy tudjuk, az A, B, C, D lehetőségek közül véletlenül kiválasztva egyet 1/4 lesz a kiválasztás esélye. Mivel véletlenszerűen választunk nem is nézzük meg milyen számokat takarnak ezek a válaszok. Négy egyforma boríték közül választunk, melyekben egy papíron ott vannak az adott számok. Mit jelent az, hogy helyes a választásod? Azt, hogy kinyitva a borítékot amit választottál, olyan szám lesz benne, amilyen valószínűséggel kiválaszthattad éppen azt a számot. A feladatban viszont látjuk ezeket a számokat és éppen az okozza az ellentmondást, hogy egyik értéke sem egyezik meg azzal az eséllyel amivel ő maga kiválasztható. A kérdés szerintem feltehető, és lenne is jó válasz a kérdésre, ha a válaszok pl.ezek lennének? A)15 B)50 C)35 D)50 Ekkor az 50 jó válasz lenne. (A százalékokat az ismert okok miatt elhagytam.)

Előzmény: [3558] jenei.attila, 2012-04-22 18:08:49
[3560] SmallPotato2012-04-22 19:19:05

Javítás az elveszett végű bekezdéshez.

... Ha a 25 % pontosan egyszer szerepelne a helyes adatok között, akkor korrekt válasz lenne adható. A kérdés egy valószínűség, ami a kedvező és az összes esetek számának konkrét ismeretében egyértelműen eldönthető.

Előzmény: [3559] SmallPotato, 2012-04-22 19:14:48
[3559] SmallPotato2012-04-22 19:14:48

"Bármi más válaszok lennének, akkor is értelmetlen lenne a kérdés."

"A baj az, hogy a kérdés maga értelmetlen, ... nem lehet rá igennel vagy nemmel válaszolni"

Szerintem a kérdés egyáltalán nem értelmetlen. "Ha véletlenszerűen kiválasztasz egy választ, mi az esélye, hogy a helyeset választottad?" Ha a 25

A dolgozatos példádhoz: egy valószínűséget nem lehet (de nem is kell hogy lehessen) egyetlen elemből álló minta várható értékéből megjósolni. (100 dolgozat persze az eredeti kérdésre szintén nem adná meg a választ.)

Előzmény: [3558] jenei.attila, 2012-04-22 18:08:49

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]