Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3608] jonas2012-10-06 19:12:03

Hmm, várj csak, a feladatkiírásban pozitív egész számokat kérsz. Akkor növeld meg a kitöltésemben mindegyik számot eggyel, így az összeg majdnem mindegyik vonalon 23 lesz.

Előzmény: [3607] jonas, 2012-10-06 19:10:44
[3607] jonas2012-10-06 19:10:44

Valóban nincs megoldás. A legközelebb talán az ábrán látható kitöltés áll, ahol majdnem minden vonalon a számok összege 19.

Előzmény: [3606] Róbert Gida, 2012-10-06 17:53:27
[3606] Róbert Gida2012-10-06 17:53:27

Géppel végignézve 10! esetet nincs megoldás.

Előzmény: [3605] lorantfy, 2012-10-05 19:35:38
[3605] lorantfy2012-10-05 19:35:38

Be lehet-e írni tíz egymást követő, pozitív egész számot az alábbi ábra köreibe úgy, hogy az egy egyenesen elhelyezkedő számok összege egyenlő legyen?

[3604] Lóczi Lajos2012-06-29 14:58:13

Szép, tömör levezetés!

Előzmény: [3603] Tóbi, 2012-06-29 13:51:41
[3603] Tóbi2012-06-29 13:51:41

Mivel A elemei nemnegatívak, A2  k. sorának k. eleme

\sum_{i=1}^{n} a_{ik} a_{ki} \geq a_{kk}^2

Ezért négyzetes-számtani közép közti egyenlőtlenség szerint

tr(A^2)\geq \sum_{k=1}^{n} a_{kk}^2 \geq \frac{1}{n} \left(\sum_{k=1}^{n} a_{kk}\right)^2=\frac{tr^2(A)}{n}

Tehát cn=n megfelelő konstans.

Előzmény: [3602] Lóczi Lajos, 2012-06-28 17:26:08
[3602] Lóczi Lajos2012-06-28 17:26:08

Szokás szerint jelölje tr(A) az A mátrix nyomát és nevezzünk egy mátrixot nemnegatívnak, ha minden eleme nemnegatív valós szám. Rögzítsünk egy tetszőleges n pozitív egész számot.

538. feladat. Megadható-e olyan cn valós konstans, hogy tetszőleges, n×n-es nemnegatív A mátrix esetén teljesül a

tr2(A)\lecn.tr(A2)

egyenlőtlenség?

[3601] Cckek2012-06-28 09:42:13

Köszönöm a szép levezetést. Sajnos ezt azt jelenti, hogy másfelé kell probálkoznom:D.

Előzmény: [3600] Lóczi Lajos, 2012-06-28 04:06:50
[3600] Lóczi Lajos2012-06-28 04:06:50

Gondolom, hogy \ell2-re valós Hilbert-térként gondolsz, a "szokásos" skaláris szorzattal. E skaláris szorzat által indukált normát jelöljük a szokásos módon ||.||2-vel. Egy x sorozat esetén az n-edik komponensét xn jelölje.

Ekkor S nem zárt altere a \ell2 Hilbert-térnek.

Tetszőleges, de rögzített N pozitív egész esetén jelölje ugyanis x(N) az alábbi sorozatot:

x^{(N)}:=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{N},0,0,0,\cdots\right),

ahol tehát az N-edik pozíció után csupa 0 áll. Jelölje továbbá x^{(\infty)} az alábbi sorozatot:

x^{(\infty)}:=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\cdots\right),

ahol pedig tetszőleges n pozitív egészre az n-edik tag \frac{1}{n}.

Minden fix N-re nyilván x(N)\inS.

Az is világos, hogy x^{(\infty)}\notin S.

Viszont N\to\infty esetén x^{(N)}\to x^{(\infty)} (\ell2-normában), hiszen ha N\to\infty, akkor

||x^{(\infty)}-x^{(N)}||_2^2=\sum_{n=1}^\infty (x_n^{(\infty)}-x_n^{(N)})^2=\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n^2}\to 0.

Előzmény: [3599] Cckek, 2012-06-27 23:56:13
[3599] Cckek2012-06-27 23:56:13

Koszi sokat segitettetek, akkor meg lenne egy kerdesem:

Legyen S azon (x_n)_{n\in N}\in l_2 sorozatok ( l2 a negyzetesen osszegezheto sorozatok tere) halmaza melyekre

\sum_{n\ge 1}\left(-\sum_{k<n}x_k^2+\sum_{k>n}x_k^2\right)x_n

konvergens. Ekkor Hilbert resztere-e S l2-nek?

Előzmény: [3593] Cckek, 2012-06-27 18:31:59
[3598] Lóczi Lajos2012-06-27 22:02:40

Nem tűnik igaznak. Legyen pl. x2=-7, y1=-2 és y2=-99, az összes többi tag nulla, ekkor a bal oldal nagyobb a jobb oldalnál.

Előzmény: [3594] Cckek, 2012-06-27 19:23:00
[3597] Róbert Gida2012-06-27 21:06:56

Ha minden n-re xn=yn akkor igaz, sőt egyenlőség van, de ezt gondolom te is láttad.

Előzmény: [3594] Cckek, 2012-06-27 19:23:00
[3596] Cckek2012-06-27 20:24:06

Gyonyoru es gyors. Tudnal estleg veges nem pozitiv tagu sorozatot is adni?

Előzmény: [3595] Tóbi, 2012-06-27 19:47:39
[3595] Tóbi2012-06-27 19:47:39

Legyen x_n=-\frac{1}{n} (n=1,2,...) Ekkor \sum_{n\geq 1} x_n^2=\frac{\pi^2}{6}.

Ha n\geq4, akkor \left( -\sum_{k<n} x_k^2 +\sum_{k>n} x_k^2  \right)x_n = \frac{1}{n} \left( \sum_{k<n} x_k^2 -\sum_{k>n} x_k^2  \right)\geq \frac{1}{n} Ezért a második sor divergens.

Előzmény: [3593] Cckek, 2012-06-27 18:31:59
[3594] Cckek2012-06-27 19:23:00

Még egy feladat ami bonyolultnak tűnik de nagyon örülnék, ha valakinek sikerülne (pozitiv:) választ adni. Legyenek (x_n)_{n\in N} illetve (y_n)_{n\in N} négyzetesen öszegezhető sorozatok és legyen \sum_{n\ge 1} x_n^2=s illetve \sum_{n\ge 1}y_n^2=p. Igaz-e a következő egyenlőtlenség:

\sum_{n\ge 1}(x_n^6+y_n^6)-2s\sum_{n\ge 1}x_n(x_n^3-y_n^3)+2p\sum_{n\ge 1}y_n(x_n^3-y_n^3)-2\sum_{n\ge 1}x_n^3y_n^3+2(1-ps)\sum_{n\ge 1}x_ny_n\le s+p-s^3-p^3?

[3593] Cckek2012-06-27 18:31:59

Adjunk példát olyan (x_n)_{n\in {N}} sorozatra melyre \sum_{n\ge 1}x_n^2 konvergens és \sum_{n\ge 1}\left(-\sum_{k<n}x_k^2+\sum_{k>n}x_k^2\right)x_n pedig divergens!

[3592] sakkmath2012-06-21 09:54:08

A feladat láttán az Euler-egyenes jutott az eszembe:

Az én olvasatomban a két keretezett eredmény együtt jelenthet egyfajta típusba sorolást. Erre úgy fókuszálhat a feladat, ha a szövegében kikötjük, hogy a háromszög nem szabályos és nem derékszögű.

Előzmény: [3588] Cckek, 2012-06-17 19:16:49
[3591] Lóczi Lajos2012-06-17 22:39:54

Fokokban:

(A,B,C)=(66.612276..., 41.849268..., 71.538454...) hegyes.

(A,B,C)=(60, 60, 60) szabályos.

(A,B,C)=(90, 12.8295..., 77.1705...) derékszögű.

(A,B,C)=(100.114..., 2.60435..., 77.2821...) tompa.

(A,B,C)=(167.34..., 6.33017..., 6.33017...) egyenlő szárú.

Előzmény: [3590] Cckek, 2012-06-17 22:20:48
[3590] Cckek2012-06-17 22:20:48

Tehát: hegyes-, tompa-, derék-szögű, egyenlö szárú esetleg szabályos?

Előzmény: [3589] Lóczi Lajos, 2012-06-17 22:16:55
[3589] Lóczi Lajos2012-06-17 22:16:55

Mit értesz egy háromszög "típusa" alatt?

Előzmény: [3588] Cckek, 2012-06-17 19:16:49
[3588] Cckek2012-06-17 19:16:49

Határozzuk meg annak az ABC háromszögnek a tipusát melynek szögeire fennáll a

8\sin(A)\cos(B)\cos(C)=\sqrt{3}

összefüggés.

[3587] Lóczi Lajos2012-06-12 18:43:24

Sok.

Előzmény: [3585] Renus88, 2012-06-12 14:17:35
[3586] Renus882012-06-12 14:24:42

:D

Előzmény: [23] Csimby, 2003-11-05 18:21:35
[3585] Renus882012-06-12 14:17:35

Hányféleképpen irhatók a Paralelepipedon szó betűi???

[3584] sakkmath2012-06-09 17:28:26

A 2 + \sqrt3, a sejtésem tehát megdőlt. Köszönöm.

Előzmény: [3583] Lóczi Lajos, 2012-06-09 17:14:40

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]