Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3621] ibiro2012-11-17 23:23:49

Határozzuk meg az összes a és b primszámot melyekre 2a-5b=19 .

[3620] Lóczi Lajos2012-11-08 12:42:38

Egyetértek (amennyiben \alpha=a) :)

Előzmény: [3619] nadorp, 2012-11-08 11:51:04
[3619] nadorp2012-11-08 11:51:04

Egy próbálkozás:

\matrix { \alpha<0               & 0 \cr\cr
           \alpha=0               & 2 \cr\cr
           0<\alpha<\frac1{8\ln2} & \infty \cr\cr
           \alpha=\frac1{8\ln2}   & 0 \cr\cr
           \alpha>\frac1{8\ln2}   & -\infty}

Előzmény: [3618] Lóczi Lajos, 2012-11-06 19:28:38
[3618] Lóczi Lajos2012-11-06 19:28:38

Az a valós paraméter értékétől függően számítsuk ki az alábbi határértéket:

\lim_{k\to\infty} k^{a-1} \left(k^{a/k}+2 k^{\frac{a+k}{k}}-16 k^2 \left(2^{a/k}-1\right)\right)

[3617] HoA2012-10-16 21:28:34

Az meg már nem matematika hanem pszichológia, hogy miért emlékeztem 5 tagú bizottságra a 4 pénztáros helyett.

Előzmény: [3616] lorantfy, 2012-10-16 17:04:31
[3616] lorantfy2012-10-16 17:04:31

Köszi! Jó, hogy pont én tettem fel. 500. feladat volt.

Előzmény: [3615] HoA, 2012-10-15 14:13:30
[3615] HoA2012-10-15 14:13:30

A feladat korábban szerepelt itt a fórumon abban a változatban, hogy egy 5 tagú bizottságból 3 tag jelenléte szükséges a páncélszekrény kinyitásához. Az ott közölt megoldás itt is alkalmazható.

Igaz-e, hogy csak olyan kulcs elosztás létezik, melynél mindegyik pénztáros ugyanannyi kulccsal rendelkezik?

Előzmény: [3614] lorantfy, 2012-10-14 21:58:35
[3614] lorantfy2012-10-14 21:58:35

540. Egy bank páncélszekrényén 6 zár van. Kulcsaikat úgy osztották el a 4 pénztáros között, hogy a páncélszekrény kinyitásához legalább hármójuknak jelen kell lennie, de mind a négynek nem. Egy zárhoz többüknél is van kulcs, illetve egy pénztárosnál több kulcs is van. Hány olyan kulcs elosztás van, melynél mindegyik pénztáros ugyanannyi kulccsal rendelkezik?

[3613] lorantfy2012-10-14 21:52:02

Szép megoldás és általánosabb is mint amit az eredeti feladat kívánt. Az eredetit is hasonlóan, még egyszerűbben be lehet látni.

Előzmény: [3612] SztranyákA, 2012-10-14 11:50:43
[3612] SztranyákA2012-10-14 11:50:43

Úgy látszik, nem lett annyira érdekes a feladat. Akkor megmutatnék egy megoldást.

Az 1.)-re Jonas példája rendben van.

A 2.)-ra azt fogjuk megmutatni, hogy nem lehetséges, hogy 11 egymást követő egész szám közül ki lehet választani 10 különbözőt, úgy, hogy azokkal kitölthető jól a bűvös ötszög.

Indirekt tegyük fel, hogy ilyen kiválasztás, és elrendezés lehetséges. Nyilván akkor lehetséges az is, hogy az 1,2,...,10,11 számok közül hagyunk el egyet, és a maradék 10 számmal töltjük ki a bűvös ötszöget. Legyen V: a vonalakon szereplő 4-4 szám összege, míg S: az ötszögben szereplő 10 szám összege.

Mivel minden az ötszögben szereplő szám két vonalon szerepel 2S=5V\implies5|2S\implies5|S

Mivel S=1+2+...10+11-"a hiányzó szám"=66-"a hiányzó szám", ezért "a hiányzó szám" csak az 1,6,11 közül kerülhet ki. Ha az 1-t, vagy a 11-t választjuk, akkor Lórántfy 3605-s feladatát kapjuk (az hasonlóan, ahogy most fogunk dolgozni megmutatható, hogy nem teljesíthető!), így válasszuk kimaradónak a 6-t!

Vagyis most S=66-6=60 , és így V=2S/5=24.

V=24, ami 3-mal osztható. Vagyis minden vonalon a 4 szám összegének 3-mal oszthatónak kell lennie! Most csoportosítsuk a 10 ötszögbe került számunkat a 3-as maradékaik szerint! 2db 0 maradékot ad (3,9), 4 darab 1 maradékot ad (1,4,7,10), és 4 darab 2 maradékot ad (2,5,8,11) 3-mal osztva. A 3-asra, és a 9-re fogunk figyelni!

Bármely két vonalnak egyértelműen létezik metszéspontja, így az ötszögbe került bármely két A,B számhoz (akár egy vonalon vannak, akár nem) van legalább egy harmadik olyan C szám, mellyel mindketten egy vonalon vannak (hiszen minden számra pontosan két vonal illeszkedik, azaz A,B-nek létezik legalább egy-egy nem közös vonala), méghozzá úgy, hogy A,B,C nincs mind egy közös vonalon.

Legyen A=3, B=9, és vizsgáljuk C-t! Mivel C nem osztható 3-mal 1,vagy 2 maradékot ad.

Legyen most C 1 maradékot adó. Az A,C vonalon lévő két másik szám is 1-1 maradékot kell adjon 3-mal osztva (mivel egyik sem adhat 0 maradékot, hiszen B más vonalon van)! Hasonlóan a B,C vonalon lévő másik két szám is 1 maradékot kell adjon! Igen ám, de akkor C, az A,C vonal két másik száma, illetve a B,C vonal két másik száma, azaz 5 különböző szám ad 3-mal osztva 1 maradékot, ami lehetetlen! (Ha abból indulunk ki, hogy C 2 maradékot ad, akkor pedig 5 darab 2 maradékot adó különböző számunk lenne!)

Ellentmondáshoz jutottunk, vagyis valóban lehetetlen a feltételeknek megfelelő bűvös ötszöget csinálni.

Előzmény: [3609] SztranyákA, 2012-10-07 11:10:56
[3611] lorantfy2012-10-11 16:38:55

Ha nincs megoldás, akkor biz. be, hogy nincs!

Előzmény: [3610] jonas, 2012-10-07 13:36:09
[3610] jonas2012-10-07 13:36:09

Tegnap, amikor a majdnem-megoldást kerestem, megállapítottam, hogy van olyan megoldás, amiben három vonalon azonos az összeg (24), és a két kimaradó vonalon is azonos (19). Egy ilyen megoldást mutatok a bal oldali ábrán ((1 7 3 8), (8 5 9 2), (2 4 7 6), (6 3 5 10), (10 9 4 1)).

Ha ebben a megoldásban a 7-est kicseréled 12-esre, ahogy a második ábrán látható, az megoldja a második kérdésedet, hiszen 12 egymás utáni számból használ fel 10 különbözőt, és minden vonalon az összeg 24.

Előzmény: [3609] SztranyákA, 2012-10-07 11:10:56
[3609] SztranyákA2012-10-07 11:10:56

Aranyos feladat, egy kicsit belepiszkálnék, két plusz kérdést hozzácsapva.

1.) Lehetséges-e, hogy 12 egymást követő egész szám közül ki lehet választani 10 különbözőt, úgy, hogy azokkal kitölthető jól a bűvös ötszög?

2.) Lehetséges-e, hogy 11 egymást követő egész szám közül ki lehet választani 10 különbözőt, úgy, hogy azokkal kitölthető jól a bűvös ötszög?

Valószínűleg a kérések sugallnak valamit, de ez talán belefér. (Ja, és persze mindkettőre van "szép", programot nem használó megoldás.)

Előzmény: [3605] lorantfy, 2012-10-05 19:35:38
[3608] jonas2012-10-06 19:12:03

Hmm, várj csak, a feladatkiírásban pozitív egész számokat kérsz. Akkor növeld meg a kitöltésemben mindegyik számot eggyel, így az összeg majdnem mindegyik vonalon 23 lesz.

Előzmény: [3607] jonas, 2012-10-06 19:10:44
[3607] jonas2012-10-06 19:10:44

Valóban nincs megoldás. A legközelebb talán az ábrán látható kitöltés áll, ahol majdnem minden vonalon a számok összege 19.

Előzmény: [3606] Róbert Gida, 2012-10-06 17:53:27
[3606] Róbert Gida2012-10-06 17:53:27

Géppel végignézve 10! esetet nincs megoldás.

Előzmény: [3605] lorantfy, 2012-10-05 19:35:38
[3605] lorantfy2012-10-05 19:35:38

Be lehet-e írni tíz egymást követő, pozitív egész számot az alábbi ábra köreibe úgy, hogy az egy egyenesen elhelyezkedő számok összege egyenlő legyen?

[3604] Lóczi Lajos2012-06-29 14:58:13

Szép, tömör levezetés!

Előzmény: [3603] Tóbi, 2012-06-29 13:51:41
[3603] Tóbi2012-06-29 13:51:41

Mivel A elemei nemnegatívak, A2  k. sorának k. eleme

\sum_{i=1}^{n} a_{ik} a_{ki} \geq a_{kk}^2

Ezért négyzetes-számtani közép közti egyenlőtlenség szerint

tr(A^2)\geq \sum_{k=1}^{n} a_{kk}^2 \geq \frac{1}{n} \left(\sum_{k=1}^{n} a_{kk}\right)^2=\frac{tr^2(A)}{n}

Tehát cn=n megfelelő konstans.

Előzmény: [3602] Lóczi Lajos, 2012-06-28 17:26:08
[3602] Lóczi Lajos2012-06-28 17:26:08

Szokás szerint jelölje tr(A) az A mátrix nyomát és nevezzünk egy mátrixot nemnegatívnak, ha minden eleme nemnegatív valós szám. Rögzítsünk egy tetszőleges n pozitív egész számot.

538. feladat. Megadható-e olyan cn valós konstans, hogy tetszőleges, n×n-es nemnegatív A mátrix esetén teljesül a

tr2(A)\lecn.tr(A2)

egyenlőtlenség?

[3601] Cckek2012-06-28 09:42:13

Köszönöm a szép levezetést. Sajnos ezt azt jelenti, hogy másfelé kell probálkoznom:D.

Előzmény: [3600] Lóczi Lajos, 2012-06-28 04:06:50
[3600] Lóczi Lajos2012-06-28 04:06:50

Gondolom, hogy \ell2-re valós Hilbert-térként gondolsz, a "szokásos" skaláris szorzattal. E skaláris szorzat által indukált normát jelöljük a szokásos módon ||.||2-vel. Egy x sorozat esetén az n-edik komponensét xn jelölje.

Ekkor S nem zárt altere a \ell2 Hilbert-térnek.

Tetszőleges, de rögzített N pozitív egész esetén jelölje ugyanis x(N) az alábbi sorozatot:

x^{(N)}:=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{N},0,0,0,\cdots\right),

ahol tehát az N-edik pozíció után csupa 0 áll. Jelölje továbbá x^{(\infty)} az alábbi sorozatot:

x^{(\infty)}:=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\cdots\right),

ahol pedig tetszőleges n pozitív egészre az n-edik tag \frac{1}{n}.

Minden fix N-re nyilván x(N)\inS.

Az is világos, hogy x^{(\infty)}\notin S.

Viszont N\to\infty esetén x^{(N)}\to x^{(\infty)} (\ell2-normában), hiszen ha N\to\infty, akkor

||x^{(\infty)}-x^{(N)}||_2^2=\sum_{n=1}^\infty (x_n^{(\infty)}-x_n^{(N)})^2=\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n^2}\to 0.

Előzmény: [3599] Cckek, 2012-06-27 23:56:13
[3599] Cckek2012-06-27 23:56:13

Koszi sokat segitettetek, akkor meg lenne egy kerdesem:

Legyen S azon (x_n)_{n\in N}\in l_2 sorozatok ( l2 a negyzetesen osszegezheto sorozatok tere) halmaza melyekre

\sum_{n\ge 1}\left(-\sum_{k<n}x_k^2+\sum_{k>n}x_k^2\right)x_n

konvergens. Ekkor Hilbert resztere-e S l2-nek?

Előzmény: [3593] Cckek, 2012-06-27 18:31:59
[3598] Lóczi Lajos2012-06-27 22:02:40

Nem tűnik igaznak. Legyen pl. x2=-7, y1=-2 és y2=-99, az összes többi tag nulla, ekkor a bal oldal nagyobb a jobb oldalnál.

Előzmény: [3594] Cckek, 2012-06-27 19:23:00
[3597] Róbert Gida2012-06-27 21:06:56

Ha minden n-re xn=yn akkor igaz, sőt egyenlőség van, de ezt gondolom te is láttad.

Előzmény: [3594] Cckek, 2012-06-27 19:23:00

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]