Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3633] w2012-11-26 19:19:32

A megoldás nagyon egyszerű: k a p és q prímek között van, amik szomszédosak, ezzel k nem prím, azaz összetett.

A "hasonló nehézségű prímszámos feladat" irónikus is és "hazugság" is. Nagyon könnyű, de ha valakit ezzel megtévesztenek, akkor könnyűszerrel túlbonyolítható, én viccnek szántam. A Te feladatod például iszonyatosan nehéz lehet, ahhoz hasonlítottam.

Mindenesetre a megfejtés most már nem titkos.

A feladatodnak a megoldása azonban bizonyos értelemben szintén titkos, ugyanis igen kevesen tudják megoldani, ezért meg sem kell kérned senkit, hogy tartsa a választ titokban; a kérés elhanyagolhatóan változtatná meg az állapotot, így akár meg is tehetted volna. Furcsállom, hogy ilyen példát raksz fel egy középiskolás fórumra.

Talán fölülbecsültem a feladat összetettségét, és egy számomra ismeretlen tétellel lezúzható. Nem akarok vitát kezdeni, csak nagyon érdekelne a megoldás.

Előzmény: [3630] ibiro, 2012-11-26 16:57:18
[3632] HoA2012-11-26 17:04:43

Ez ugye nem a feladat megoldása? Csak az első "néhány" számítógéppel megtalált megfelelő szám.

Előzmény: [3623] Lóczi Lajos, 2012-11-23 00:07:43
[3631] ibiro2012-11-26 17:03:41

Kösz hogy felsoroltál egy néhány megoldást, de engem az érdekelne hogyan lehet bebizonyítani a végtelen sok megoldást és van-e olyan (szükséges és elégséges) feltétel amelyre két szám egyidejűleg prím lesz ?

Előzmény: [3623] Lóczi Lajos, 2012-11-23 00:07:43
[3630] ibiro2012-11-26 16:57:18

Mihez "hasonló nehézségű prímszámos feladat" ? És miért titok a feladatod megfejtése ?

Előzmény: [3625] w, 2012-11-24 23:52:01
[3629] Lóczi Lajos2012-11-26 14:31:19

Tessék

Előzmény: [3628] rizsesz, 2012-11-26 14:19:07
[3628] rizsesz2012-11-26 14:19:07

Sziasztok! Valaki meg tudja mondani, hogy angolul hogyan hivjak a ANYA + APA = SZÜLŐ tipusu egyenleteket? Nem mintha magyarul tudnam :-).

[3627] w2012-11-25 17:24:04

Igen, valóban :). Kérlek, ne írd le, hogyan jött ki.

Előzmény: [3626] m2mm, 2012-11-25 01:21:27
[3626] m2mm2012-11-25 01:21:27

Semmilyenre.

Előzmény: [3625] w, 2012-11-24 23:52:01
[3625] w2012-11-24 23:52:01

Egy hasonló nehézségű prímszámos feladat: Legyenek p és q szomszédos prímek. Összegük páros, 2k alakú. Mely p-kre és q-kra lesz k prímszám?

[3624] Lóczi Lajos2012-11-23 00:19:27

Az előbbi sorozat szomszédos elemeinek különbségéből képezett sorozat képe (szakaszokkal összekötve a pontokat):

Előzmény: [3623] Lóczi Lajos, 2012-11-23 00:07:43
[3623] Lóczi Lajos2012-11-23 00:07:43

Az első 10000 természetes szám közül állításod az alábbi n értékekre teljesül:

1, 3, 6, 12, 15, 27, 33, 45, 48, 57, 60, 78, 87, 90, 96, 108, 111, 123, 162, 165, 186, 228, 237, 243, 246, 255, 276, 288, 291, 306, 321, 330, 360, 363, 372, 390, 396, 402, 405, 417, 456, 495, 507, 510, 516, 522, 552, 585, 600, 603, 606, 633, 636, 705, 720, 741, 750, 753, 771, 792, 801, 831, 837, 852, 867, 873, 906, 915, 918, 978, 981, 1035, 1065, 1068, 1098, 1131, 1146, 1161, 1188, 1200, 1251, 1263, 1275, 1326, 1347, 1368, 1380, 1410, 1476, 1482, 1566, 1572, 1578, 1581, 1590, 1641, 1665, 1698, 1707, 1716, 1725, 1737, 1746, 1770, 1782, 1797, 1812, 1821, 1863, 1875, 1923, 1926, 1971, 1977, 2010, 2028, 2106, 2157, 2175, 2202, 2301, 2355, 2367, 2385, 2388, 2397, 2451, 2523, 2535, 2553, 2565, 2586, 2622, 2640, 2673, 2712, 2745, 2838, 2853, 2862, 2868, 2880, 2952, 2958, 3018, 3030, 3036, 3051, 3057, 3063, 3081, 3123, 3126, 3132, 3135, 3162, 3165, 3168, 3225, 3246, 3288, 3291, 3342, 3363, 3375, 3405, 3522, 3540, 3552, 3561, 3597, 3603, 3606, 3630, 3660, 3687, 3708, 3711, 3735, 3771, 3816, 3867, 3921, 3972, 3993, 4017, 4023, 4035, 4107, 4122, 4173, 4218, 4233, 4245, 4257, 4296, 4323, 4371, 4512, 4530, 4533, 4647, 4668, 4680, 4686, 4701, 4728, 4740, 4785, 4791, 4815, 4848, 4890, 4941, 4980, 4995, 5037, 5058, 5121, 5157, 5160, 5190, 5202, 5226, 5256, 5295, 5307, 5337, 5352, 5391, 5403, 5421, 5451, 5466, 5478, 5520, 5571, 5592, 5598, 5643, 5673, 5682, 5685, 5703, 5736, 5766, 5772, 5820, 5823, 5865, 5907, 5916, 5937, 5955, 5970, 6021, 6045, 6060, 6063, 6093, 6102, 6105, 6165, 6168, 6171, 6192, 6213, 6282, 6312, 6327, 6336, 6348, 6360, 6366, 6462, 6525, 6528, 6543, 6567, 6606, 6747, 6753, 6777, 6786, 6795, 6798, 6912, 6942, 6945, 6987, 7053, 7071, 7116, 7125, 7143, 7152, 7188, 7257, 7281, 7332, 7341, 7347, 7416, 7431, 7470, 7482, 7503, 7530, 7677, 7701, 7713, 7755, 7815, 7827, 7830, 7848, 7878, 7887, 7962, 7965, 7977, 7998, 8007, 8016, 8040, 8091, 8145, 8151, 8172, 8193, 8196, 8250, 8256, 8322, 8340, 8406, 8412, 8478, 8508, 8571, 8601, 8625, 8628, 8646, 8658, 8667, 8676, 8685, 8718, 8817, 8823, 8832, 8886, 8901, 8991, 9000, 9021, 9138, 9195, 9222, 9231, 9237, 9255, 9285, 9378, 9393, 9405, 9411, 9468, 9477, 9510, 9546, 9615, 9651, 9675, 9678, 9717, 9777, 9798, 9831, 9840, 9846, 9888, 9948, 9957, 9960, 9966

Előzmény: [3622] ibiro, 2012-11-22 22:01:46
[3622] ibiro2012-11-22 22:01:46

Az előbbi feladat másképpen: Milyen n értékekre lesz 10n+7 és 4n-1 egyidejűleg prímszám ?

[3621] ibiro2012-11-17 23:23:49

Határozzuk meg az összes a és b primszámot melyekre 2a-5b=19 .

[3620] Lóczi Lajos2012-11-08 12:42:38

Egyetértek (amennyiben \alpha=a) :)

Előzmény: [3619] nadorp, 2012-11-08 11:51:04
[3619] nadorp2012-11-08 11:51:04

Egy próbálkozás:

\matrix { \alpha<0               & 0 \cr\cr
           \alpha=0               & 2 \cr\cr
           0<\alpha<\frac1{8\ln2} & \infty \cr\cr
           \alpha=\frac1{8\ln2}   & 0 \cr\cr
           \alpha>\frac1{8\ln2}   & -\infty}

Előzmény: [3618] Lóczi Lajos, 2012-11-06 19:28:38
[3618] Lóczi Lajos2012-11-06 19:28:38

Az a valós paraméter értékétől függően számítsuk ki az alábbi határértéket:

\lim_{k\to\infty} k^{a-1} \left(k^{a/k}+2 k^{\frac{a+k}{k}}-16 k^2 \left(2^{a/k}-1\right)\right)

[3617] HoA2012-10-16 21:28:34

Az meg már nem matematika hanem pszichológia, hogy miért emlékeztem 5 tagú bizottságra a 4 pénztáros helyett.

Előzmény: [3616] lorantfy, 2012-10-16 17:04:31
[3616] lorantfy2012-10-16 17:04:31

Köszi! Jó, hogy pont én tettem fel. 500. feladat volt.

Előzmény: [3615] HoA, 2012-10-15 14:13:30
[3615] HoA2012-10-15 14:13:30

A feladat korábban szerepelt itt a fórumon abban a változatban, hogy egy 5 tagú bizottságból 3 tag jelenléte szükséges a páncélszekrény kinyitásához. Az ott közölt megoldás itt is alkalmazható.

Igaz-e, hogy csak olyan kulcs elosztás létezik, melynél mindegyik pénztáros ugyanannyi kulccsal rendelkezik?

Előzmény: [3614] lorantfy, 2012-10-14 21:58:35
[3614] lorantfy2012-10-14 21:58:35

540. Egy bank páncélszekrényén 6 zár van. Kulcsaikat úgy osztották el a 4 pénztáros között, hogy a páncélszekrény kinyitásához legalább hármójuknak jelen kell lennie, de mind a négynek nem. Egy zárhoz többüknél is van kulcs, illetve egy pénztárosnál több kulcs is van. Hány olyan kulcs elosztás van, melynél mindegyik pénztáros ugyanannyi kulccsal rendelkezik?

[3613] lorantfy2012-10-14 21:52:02

Szép megoldás és általánosabb is mint amit az eredeti feladat kívánt. Az eredetit is hasonlóan, még egyszerűbben be lehet látni.

Előzmény: [3612] SztranyákA, 2012-10-14 11:50:43
[3612] SztranyákA2012-10-14 11:50:43

Úgy látszik, nem lett annyira érdekes a feladat. Akkor megmutatnék egy megoldást.

Az 1.)-re Jonas példája rendben van.

A 2.)-ra azt fogjuk megmutatni, hogy nem lehetséges, hogy 11 egymást követő egész szám közül ki lehet választani 10 különbözőt, úgy, hogy azokkal kitölthető jól a bűvös ötszög.

Indirekt tegyük fel, hogy ilyen kiválasztás, és elrendezés lehetséges. Nyilván akkor lehetséges az is, hogy az 1,2,...,10,11 számok közül hagyunk el egyet, és a maradék 10 számmal töltjük ki a bűvös ötszöget. Legyen V: a vonalakon szereplő 4-4 szám összege, míg S: az ötszögben szereplő 10 szám összege.

Mivel minden az ötszögben szereplő szám két vonalon szerepel 2S=5V\implies5|2S\implies5|S

Mivel S=1+2+...10+11-"a hiányzó szám"=66-"a hiányzó szám", ezért "a hiányzó szám" csak az 1,6,11 közül kerülhet ki. Ha az 1-t, vagy a 11-t választjuk, akkor Lórántfy 3605-s feladatát kapjuk (az hasonlóan, ahogy most fogunk dolgozni megmutatható, hogy nem teljesíthető!), így válasszuk kimaradónak a 6-t!

Vagyis most S=66-6=60 , és így V=2S/5=24.

V=24, ami 3-mal osztható. Vagyis minden vonalon a 4 szám összegének 3-mal oszthatónak kell lennie! Most csoportosítsuk a 10 ötszögbe került számunkat a 3-as maradékaik szerint! 2db 0 maradékot ad (3,9), 4 darab 1 maradékot ad (1,4,7,10), és 4 darab 2 maradékot ad (2,5,8,11) 3-mal osztva. A 3-asra, és a 9-re fogunk figyelni!

Bármely két vonalnak egyértelműen létezik metszéspontja, így az ötszögbe került bármely két A,B számhoz (akár egy vonalon vannak, akár nem) van legalább egy harmadik olyan C szám, mellyel mindketten egy vonalon vannak (hiszen minden számra pontosan két vonal illeszkedik, azaz A,B-nek létezik legalább egy-egy nem közös vonala), méghozzá úgy, hogy A,B,C nincs mind egy közös vonalon.

Legyen A=3, B=9, és vizsgáljuk C-t! Mivel C nem osztható 3-mal 1,vagy 2 maradékot ad.

Legyen most C 1 maradékot adó. Az A,C vonalon lévő két másik szám is 1-1 maradékot kell adjon 3-mal osztva (mivel egyik sem adhat 0 maradékot, hiszen B más vonalon van)! Hasonlóan a B,C vonalon lévő másik két szám is 1 maradékot kell adjon! Igen ám, de akkor C, az A,C vonal két másik száma, illetve a B,C vonal két másik száma, azaz 5 különböző szám ad 3-mal osztva 1 maradékot, ami lehetetlen! (Ha abból indulunk ki, hogy C 2 maradékot ad, akkor pedig 5 darab 2 maradékot adó különböző számunk lenne!)

Ellentmondáshoz jutottunk, vagyis valóban lehetetlen a feltételeknek megfelelő bűvös ötszöget csinálni.

Előzmény: [3609] SztranyákA, 2012-10-07 11:10:56
[3611] lorantfy2012-10-11 16:38:55

Ha nincs megoldás, akkor biz. be, hogy nincs!

Előzmény: [3610] jonas, 2012-10-07 13:36:09
[3610] jonas2012-10-07 13:36:09

Tegnap, amikor a majdnem-megoldást kerestem, megállapítottam, hogy van olyan megoldás, amiben három vonalon azonos az összeg (24), és a két kimaradó vonalon is azonos (19). Egy ilyen megoldást mutatok a bal oldali ábrán ((1 7 3 8), (8 5 9 2), (2 4 7 6), (6 3 5 10), (10 9 4 1)).

Ha ebben a megoldásban a 7-est kicseréled 12-esre, ahogy a második ábrán látható, az megoldja a második kérdésedet, hiszen 12 egymás utáni számból használ fel 10 különbözőt, és minden vonalon az összeg 24.

Előzmény: [3609] SztranyákA, 2012-10-07 11:10:56
[3609] SztranyákA2012-10-07 11:10:56

Aranyos feladat, egy kicsit belepiszkálnék, két plusz kérdést hozzácsapva.

1.) Lehetséges-e, hogy 12 egymást követő egész szám közül ki lehet választani 10 különbözőt, úgy, hogy azokkal kitölthető jól a bűvös ötszög?

2.) Lehetséges-e, hogy 11 egymást követő egész szám közül ki lehet választani 10 különbözőt, úgy, hogy azokkal kitölthető jól a bűvös ötszög?

Valószínűleg a kérések sugallnak valamit, de ez talán belefér. (Ja, és persze mindkettőre van "szép", programot nem használó megoldás.)

Előzmény: [3605] lorantfy, 2012-10-05 19:35:38

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]